12 bài tập Tính cạnh, góc và diện tích tam giác có lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

tanB = \(\frac{5}{{12}}\) hay \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}\) suy ra AC = \(\frac{5}{{12}}\).BA = 12,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = BC²

30² + 12,5² = BC²

Suy ra BC =32,5 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

cotB = \(\frac{5}{8}\) hay \(\frac{{CB}}{{AC}} = \frac{5}{8}\) suy ra CB = \(\frac{5}{8}\)AC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được:

CB² + CA² = AB²

\(\frac{{25}}{{64}}\)AC² + AC² = 5²

Suy ra \(\frac{{89}}{{64}}\)AC² = 5², do đó AC ≈ 4,24 cm.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 3, 4.

Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 38^\circ ,\widehat C = 30^\circ \) và BC = 11 cm. Gọi N là chân đường cao vuông góc từ A xuống BC.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABN vuông tại N, ta có: AN = tan38°.NB hay BN = \(\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}\).

Xét tam giác ANC vuông tại N, ta có: AN = tan30°.NC hay NC = \(\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}\).

Mà BC = BN + NC = \(\frac{{AN}}{{\tan 38^\circ }}\) + \(\frac{{AN}}{{\tan 30^\circ }}\) = AN.\(\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)\)

Suy ra AN = \(\frac{{BC}}{{\left( {\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}} \right)}} = \frac{{11}}{{\frac{1}{{\tan 30^\circ }} + \frac{1}{{\tan 38^\circ }}}} \approx 3,65\) cm.

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác vuông ANC vuông tại N, \(\widehat C = 30^\circ \).

Ta có: AN = AC.sin 30°, suy ra \(AC = \frac{{AN}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{3,65}}{{0,5}} = 7,3\) (cm).

Đáp án đúng là: D

Ta có: S_ABC = \(\frac{1}{2}AN.BC = \frac{1}{2}.3,65.11 = 20,075\) cm².

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = 5.cot70° ≈ 1,82 cm.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

HC = AH.cot 35° = 5.cot 35° ≈ 7,14 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,82 + 7,14 = 8,96 cm.

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.5.8,96 = 22,4\) cm².

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ADC vuông tại A, ta có: AC = AD.tan\(\widehat {ADC}\) = 3,5.tan 50°.

Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành, ta có:

S = AD.AC = 3,5.3,5.tan 50° ≈ 14,6.

Đáp án đúng là: C

Ta có: S_ABH.S_ACH = 54.96

Suy ra \(\frac{1}{4}\)AB².BH.CH = 54.96

AH⁴ = 4.54.96 = 12⁴

Suy ra AH = 12.

Lại có S_ABC = \(\frac{1}{2}AH.BC\)

Suy ra BC = \(\frac{{2{S_{ABC}}}}{{AH}} = \frac{{2\left( {54 + 96} \right)}}{{12}} = 25\) (cm).

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

Do ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra BH = HC = 4 cm.

Từ ∆ABH vuông tại H, ta có:

sin M = \(\frac{{AH}}{{AM}}\) suy ra \(AM = \frac{{AH}}{{\sin \widehat M}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{0,669}} \approx 10,34\) (cm).

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OPN vuông tại P nên ta có:

OP = ON.sin\(\widehat N\) = 9.sin 38° ≈ 5,54 (cm).

NP = ON.cos\(\widehat N\) = 9.cos 38° ≈ 7,09 (cm).

Xét tam giác OPM vuông tại P nên ta có:

MP = \(\frac{{OP}}{{\tan \widehat M}} = \frac{{5,54}}{{\tan 60^\circ }} = \frac{{5,54}}{{\sqrt 3 }} = 3,2\) (cm).

Ta có: MN = NP – MP = 7,09 – 3,2 – 3,89 (cm).

Do đó, S_OMN = \(\frac{1}{2}OP.MN = \frac{1}{2}.5,55.3,89 \approx 11\) cm².

Vì ∆ABC vuông tại A nên \(\widehat A = 90^\circ \), suy ra \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

AB = cot \(\widehat B\). AC = 12.cot 60° = 12. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) = \(4\sqrt 3 \) ≈ 6,9 cm.

BC² = AC² + AB² = 12² + (\(4\sqrt 3 \))² = 192

Suy ra BC = \(\sqrt {192} = 8\sqrt 3 \approx 13,9\) (cm).

Diện tích tam giác ABC là:

S = \(\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 .12 = 24\sqrt 3 \approx 41,6\) (cm²)

Ta có: AB = BC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại B.

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = 40^\circ \).

Kẻ đường cao BH vuông góc với AC tại H.

Ta có: BH = sin 40°.AB = sin 40°. 3 ≈ 1,93 cm.

           AH = cos 40°.AB = cos 40°. 3 ≈ 2,30 cm.

Do tam giác ABC cân tại B, có BH là đường cao nên H là trung điểm của AC.

Suy ra AC = 2AH = 4,6 cm.

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}.AC.BH = \frac{1}{2}.4,6.1,93 \approx 4,44\) cm².