12 bài tập Tính bán kính đường tròn có lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD. Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = \(\frac{{AC}}{2}\).

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, ta có:

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3\sqrt 2 \)

Suy ra OA = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy bán kính của đường tròn là R = OA = \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) cm.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = \(\frac{{BC}}{2}\).

Theo định lí Pythagore ta có: BC = \(\sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 25\) nên bán kính R = \(\frac{{25}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = \(\frac{{BC}}{2}\).

Theo định lí Pythagore ta có: BC = \(\sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 13\) nên bán kính R = \(\frac{{13}}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm của mỗi đường).

Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{AC}}{2}\).

Theo định lí Pythagore trong tam giác ABC ta có:

AC = \(\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = 13\) cm.

Do đó, R = \(\frac{{AC}}{2}\) = 6,5 cm.

Vậy bán kính cần tìm là R = 6,5 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì DB = AC và I là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{AC}}{2}\).

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

AC = \(\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) nên R = \(\frac{{AC}}{2}\) = 5 cm.

Vậy bán kính cần tìm là R = 5 cm.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Có OH vuông góc với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Xét tam giác HAO vuông tại H có OH = 1 cm và AH = \(\frac{{AB}}{2} = 2\) cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác HOA, ta có:

OA² = OH² + HA² = 1² + 2² = 5

Suy ra OA = \(\sqrt 5 \) cm.

Vậy bán kính đường tròn là \(\sqrt 5 \) cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông BNC, có: ND = BD = DC = \(\frac{1}{2}BC\) (1).

Xét tam giác vuông BMC, có: MD = BD = DC = \(\frac{1}{2}BC\) (2).

Từ (1), (2) suy ra MD = ND = BD = DC = \(\frac{1}{2}BC\).

Nên bốn điểm M, N, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm D bán kính

\(\frac{1}{2}BC\) = 2 cm.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (cùng phụ với \(\widehat {CNE}\)) nên \(\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ \) do đó, CM ⊥ DN.

Gọi I là trung điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM có AI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\). Xét tam giá vuông DEM có EI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\) nên EI = ID = IM = IA = \(\frac{{DM}}{2}\).

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{DM}}{2}\).

Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4 cm, AM = \(\frac{{AB}}{2}\) = 2 cm nên theo định lý Pythagore ta có:

DM = \(\sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là

R = \(\frac{{DM}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác \(\widehat {CAD} = \widehat {DAB}\).

Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \).

Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:

IA = ID = IB = IC = \(\frac{{DA}}{2}\).

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD.

Vì BC = 8 cm suy ra BH = 4 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB, ta có:

AB = \(\sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).

Ta có ∆ABD đồng dạng với ∆HAB suy ra AB² = AH.AD

hay AD = \(\frac{{A{B^2}}}{{AH}} = \frac{{20}}{2}\) = 10 cm.

Vậy đường kính cần tìm là 10 cm.

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABC đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra 3R = \(a\sqrt 3 \) hay a = \(R\sqrt 3 \) = \(4\sqrt 3 \) cm.

Mặt khác O là trọng tâm tam giác ABC và AH vừa là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

Suy ra R = OA = \(\frac{2}{3}\)AH. Hay AH = \(\frac{3}{2}R = \frac{{3.4}}{2} = 6\) (cm).

Diện tích tam giác ABC là S = \(\frac{1}{2}.6.4\sqrt 3 = 12\sqrt 3 \) cm².

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B, C là trung điểm của cạnh huyền BC.

Suy ra A, B, C cùng thuộc một đường tròn bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

Gọi E là trung điểm của BC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = BC²

6² + 8² = BC²

Suy ra BC = 10 cm.

Suy ra bán kính đường tròn đi qua ba cạnh A, B, C là: \(\frac{{BC}}{2}\) = 5 cm.

a) Vì hình vuông ABCD có tâm E suy ra EA = EB = EC = ED.

Do đó, các điểm A, B, C và D cũng thuộc đường tròn tâm E.

Hai trục đối xứng của đường tròn là AC và BD.

b) Cạnh hình vuông bằng 3 cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3\sqrt 2 \)

Suy ra EA = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy bán kính của đường tròn là R = EA = \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) cm.