10 bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm có lời giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² + 2(m +1)x – m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có \(\frac{c}{a} = - {m^2} - 1.\)

Với mọi m, ta có: m² ≥ 0, nên –m² – 1 < 0, hay \(\frac{c}{a} < 0.\)

Vậy phương trình này có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

>

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² – 2(m – 3)x + 8 – 4m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 3)]² – 1.(8 – 4m) = m² – 6m + 9 – 8 + 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)².

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\left( {m - 3} \right) < 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\8 - 4m > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)>>

⦁ Giải (1):

(m – 1)² > 0

(m – 1)² ≠ 0

m – 1 ≠ 0

m ≠ 1.

⦁ Giải (2):

2(m – 3) < 0

m – 3 < 0

m < 3.

⦁ Giải (3):

8 – 4m > 0

– 4m > –8

m < 2.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m < 2 và m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án A.

>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – 6x + 2m + 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = (–3)² – 1.(2m + 1) = 9 – 2m – 1 = 8 – 2m.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}8 - 2m > 0\\6 > 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 2m > - 8\\2m > - 1\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m > - \frac{1}{2}\end{array} \right.\) nên \( - \frac{1}{2} < m < 4.\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 1; 2; 3}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + (3m – 1)x + m² = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = (3m – 1)² – 4.1.m² = 9m² – 6m + 1 – 4m² = 5m² – 6m + 1.

Để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}5{m^2} - 6m + 1 > 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - \left( {3m - 1} \right) < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{m^2} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)>>

Giải (3):

m² > 0

m≠ 0.

Giải (2):

–(3m – 1) < 0

3m – 1 > 0

\(m > \frac{1}{3}.\)

Giải (1):

5m² – 6m + 1 > 0

(5m – 1)(m – 1) > 0

5m – 1 < 0 hoặc m – 1 > 0>

\(m < \frac{1}{5}\) hoặc m > 1.>

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: m ≠ 0, \(m < \frac{1}{5}\) hoặc m > 1.>

Mà m là số nguyên nhỏ nhất nên m = 2.

Vậy ta chọn phương án B.

>

Đáp án đúng là: C

Để phương trình mx² – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = m \ne 0\\\Delta ' > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\P > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

⦁ Giải (1): Với m ≠ 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆' = [–(m – 2)]² – m.3(m – 2) = m² – 4m + 4 – 3m² + 6m

= –2m² + 2m + 4 = –2(m² – m – 2) = –(m – 2)(m + 1).

Ta có: ∆' > 0 thì

–(m – 2)(m + 1) > 0

(m – 2)(m + 1) < 0

m – 2 < 0 và m + 1 > 0 (do m – 2 < m + 1)

m < 2 và m > –1>

–1 < m < 2.

⦁ Giải (2):

P > 0

\(\frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} > 0\)

m < 0 (do ở điều kiện (1), ta đã kết luận m – 2 < 0).

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: –1 < m < 0.

Vậy ta chọn phương án C.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có hai nghiệm trái dấu khi \(P = \frac{{m - 1}}{2} < 0,\) tức là m < 1.

Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu nhau, tức chúng là số đối của nhau nên \(S = - \frac{{2m - 1}}{2} = 0,\) suy ra 2m – 1 = 0 nên \(m = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (m – 3)x – m + 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có a = 1, b = – (m – 3), c = – m + 2.

Ta có: a – b + c = 1 – [– (m – 3)] + (–m + 2) = 1 + m – 3 – m + 2 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là: x₁ = –1, x₂ = m – 2.

Khi đó, để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì x₂ ≥ 0, tức là m – 2 ≥ 0, hay m ≥ 2.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình x² + (m + 2)x – m – 4 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (m + 2)² – 4.1.(– m – 4) = m² + 4m + 4 + 4m + 16

   = m² + 8m + 20 = (m + 4)² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Trường hợp 1. x₂ = 0 thay vào phương trình đã cho ta được:                              

0² + (m + 2).0 – m – 4 = 0, suy ra m = –4.

Thay m = –4 vào phương trình đã cho ta được:

x² + (–4 + 2)x – (–4) – 4 = 0

x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 hoặc x – 2 = 0

x = 0 hoặc x = 2.

Khi đó x₁ = 2, x₂ = 0 không thỏa mãn x₁ < 0 ≤ x₂.

Trường hợp 2. x₁ < 0 < x₂ thì x₁x₂ < 0 tức là \[\frac{{ - m - 4}}{1} < 0,\] suy ra m > –4.

Kết hợp hai trường hợp ta được m > –4.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x⁴ – 6x² + m = 0.

Đặt x² = t (t ≥ 0) ta có phương trình t² – 6t + m = 0 (với m là tham số) là phương trình bậc hai ẩn t có:

∆' = (–3)² – m = 9 – m.

Phương trình x⁴ – 6x² + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t² – 6t + m = 0 có hai nghiệm dương t₁, t₂ phân biệt, tức là \[\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}9 - m > 0\\6 > 0\\m > 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m < 9\\m > 0\end{array} \right.\] nên 0 < m < 9.

Mà m là số nguyên nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>>

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² – (2m – 3)x + m² – 3m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn có:

∆ = [–(2m – 3)]² – 4.1.(m² – 3m) = 4m² – 12m + 9 – 4m² + 12m = 9 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 3\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3m\end{array} \right..\]

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra 1 < x₁ + x₂ < 12

Do đó 1 < 2m – 3 < 12

Nên 4 < 2m < 15

Suy ra \(2 < m < \frac{{15}}{2}.\)

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra x₁ – 1 > 0 và x₂ – 1 > 0

Do đó (x₁ – 1)(x₂ – 1) > 0

x₁x₂ – x₁ – x₂ + 1 > 0

x₁x₂ – (x₁ + x₂) + 1 > 0

m² – 3m – (2m – 3) + 1 > 0

m² – 5m + 4 > 0

(m – 1)(m – 4) > 0

m – 1 < 0 hoặc m – 4 > 0 (do m – 4 < m – 1)

m < 1 hoặc m > 4.

⦁ Ta có: 1 < x₁ < x₂ < 6 suy ra x₁ – 6 < 0 và x₂ – 6 < 0

Do đó (x₁ – 6)(x₂ – 6) > 0

x₁x₂ – 6(x₁ – x₂) + 36 > 0

m² – 3m – 6(2m – 3) + 36 > 0

m² – 3m – 12m + 18 + 36 > 0

m² – 15m + 54 > 0

(m – 6)(m – 9) > 0

m – 6 < 0 hoặc m – 9 > 0 (do m – 9 < m – 6)

m < 6 hoặc m > 9.

Kết hợp 3 điều kiện, ta được: 4 < m < 6.

Vậy ta chọn phương án D.