10 bài tập Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước khác có lời giải

Đáp án đúng là: B

Thay x₁ = 3 vào phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0, ta được:

3² + (2m + 1).3 + 3m = 0

9 + 6m + 3 + 3m = 0

9m = –12

\(m = \frac{{ - 4}}{3}.\)

Theo định lí Viète, ta có: \[{x_1}{x_2} = 3m = 3 \cdot \frac{{ - 4}}{3} = - 4.\]

Hay 3.x₂ = –4 nên \[{x_2} = - \frac{4}{3}.\]

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mx² – 2(m + 1)x + m + 3 = 0 là phương trình bậc hai khi m ≠ 0.

Thay x = –2 vào phương trình, ta được:

m.(–2)² – 2.(m + 1).(–2) + m + 3 = 0

4m + 4m + 4 + m + 3 = 0

9m = –7

\(m = - \frac{7}{9}\) (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì x = –2 là nghiệm của phương trình x² – 3mx + m = 0 nên ta có:

(–2)² – 3m.(–2) + m = 0

4 + 6m + m = 0

7m = –4

\(m = - \frac{4}{7}.\)

Theo định lí Viète, ta có: tích hai nghiệm của phương trình là \( - 2 \cdot a = m,\) suy ra \( - 2a = - \frac{4}{7},\) nên \(a = \frac{2}{7}.\)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – mx + m – 2 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = (–m)² – 4.1.(m – 2) = m² – 4m + 8 = (m – 2)² + 4 > 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..\)

Theo bài, \(x_1^2 + x_2^2 = 7\)

(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 7

m² – 2.(m – 2) = 7

m² – 2m + 4 = 7

m² – 2m – 3 = 0

m = –1 hoặc m = 3.

Tổng các giá trị của m bằng (–1) + 3 = 2.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [– (m – 2)]² – 1.(2m – 5) = m² – 4m + 4 – 2m + 5

= m² – 6m + 9 = (m – 3)² ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right..\)

Theo bài, x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁) < 4

x₁ – x₁x₂ + x₂ – x₁x₂ < 4

(x₁ + x₂) – 2x₁x₂ < 4

2(m – 2) – 2.(2m – 5) < 4

2m – 4 – 4m + 10 < 4

–2m < –2

m > 1.

Vậy ta chọn phương án B.

>>>>>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + 2(m – 1)x – m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x, có:

∆' = (m – 1)² – 1.(–m) = m² – 2m + 1 + m

= m² – m + 1 = \({\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right..\)

Khi đó,

\(A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\)

= [–2(m – 1)]² – 3.(–m)

= 4m² – 8m + 4 + 3m

= 4m² – 5m + 4

\[ = {\left( {2m} \right)^2} - 2 \cdot 2m \cdot \frac{5}{4} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]

\[ = {\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}}\]

Với mọi m ta luôn có \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} \ge 0,\] suy ra \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{39}}{{16}} \ge \frac{{39}}{{16}}.\]

Do đó \(A \ge \frac{{39}}{{16}}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[{\left( {2m - \frac{5}{4}} \right)^2} = 0,\] hay \(2m - \frac{5}{4} = 0,\) nên \(m = \frac{5}{8}.\)

Vậy \(m = \frac{5}{8}\) thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{{39}}{{16}}.\)

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x² – 2(m + 1)x + 4m = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = [–(m + 1)]² – 1.4m = m² + 2m + 1 – 4m

= m² – 2m + 1 = (m – 1)² ≥ 0 với mọi m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là (m – 1)² > 0, nên (m – 1)² ≠ 0, suy ra m ≠ 1.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x = \frac{{m + 1 + m - 1}}{1} = 2m;\,\,x = \frac{{m + 1 - \left( {m - 1} \right)}}{1} = 2.\)

Trường hợp 1. Xét x₁ = 2m và x₂ = 2, thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2m = –3.2, suy ra m = –3 (thỏa mãn).

Trường hợp 2. Xét x₁ = 2 và x₂ = 2m thay vào x₁ = –3x₂, ta được:

2 = –3.2m. suy ra \(m = - \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

Do đó \(m \in \left\{ { - 3; - \frac{1}{3}} \right\}.\)

Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – (2m – 1)x + m² – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆ = [–(2m – 1)]² – 4.1.(m² – 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4 = 5 – 4m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆ > 0, tức là 5 – 4m > 0, hay \[m < \frac{5}{4}.\]

Theo định lí Viète ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Ta có (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂

= (2m – 1)² – 4.(m² – 1)

= 4m² – 4m + 1 – 4m² + 4

^{= 5 – 4m.}

Theo bài, (x₁ – x₂)² = x₁ – 3x₂ nên x₁ – 3x₂ = 5 – 4m, suy ra x₁ = 3x₂ + 5 – 4m.

Thay vào (1), ta được:

3x₂ + 5 – 4m + x₂ = 2m – 1 hay 4x₂ = 6m – 6 nên \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}.\)

Từ đó ta có \[{x_1} = 3 \cdot \frac{{3m - 3}}{2} + 5 - 4m = \frac{{9m - 9}}{2} + \frac{{10 - 8m}}{2} = \frac{{m + 1}}{2}.\]

Thay \[{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\] và \({x_2} = \frac{{3m - 3}}{2}\) vào (2) ta được:

\(\frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3m - 3}}{2} = {m^2} - 1\)

3m² – 3m + 3m – 3 = 4m² – 4

m² = 1

m = 1 hoặc m = –1 (thỏa mãn điều kiện).

Mà m là số nguyên dương, nên ta chọn m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

∆' = (–1)² – 1.(m – 3) = 1 – m + 3 = 4 – m.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì ∆' > 0, tức là 4 – m > 0, hay m < 4.

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Do x₁ là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_1^2 - 2{x_1} + m - 3 = 0,\) suy ra \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 3.\)

Thay \(x_1^2 = 2{x_1} - m + 3\) vào biểu thức \(x_1^2 + {x_1}{x_2} = 2{x_2} - 12,\) ta được:

2x₁ – m + 3 + x₁x₂ = 2x₂ – 12

2(x₁ – x₂) = –x₁x₂ + m – 15

2(x₁ – x₂) = –(m – 3) + m – 15

2(x₁ – x₂) = –12

x₁ – x₂ = –6

x₁ = x₂ – 6.

Thay x₁ = x₂ – 6 vào (1), ta được:

x₂ – 6 + x₂ = 2, hay 2x₂ = 8, nên x₂ = 4.

Suy ra x₁ = x₂ – 6 = 4 – 6 = –2.

Thay x₁ = –2 và x₂ = 4 vào (2), ta được:

–2.4 = m – 3, hay m – 3 = –8 nên m = –5 (thõa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m là m = –5 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

</>

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x² – 2mx + m – 1 = 0 là phương trình bậc hai ẩn x có:

\(\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} - 1 \cdot \left( {m - 1} \right) = {m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi m.

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right..\)

⦁ Để tồn tại \(\sqrt {{x_1}} ,\,\,\sqrt {{x_2}} \) thì ta cần có \({x_1} \ge 0,\,\,{x_2} \ge 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge 0\\{x_1}{x_2} \ge 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 0\\m - 1 \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \ge 1\end{array} \right.\) nên m ≥ 1.

⦁ Với m ≥ 1, ta có:

\(\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} = 2\) nên \({\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right)^2} = 4\) hay \({x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} = 4\)

Suy ra:

\(2m + 2\sqrt {m - 1} = 4\)

\(2\sqrt {m - 1} = 4 - 2m\)

\(\sqrt {m - 1} = 2 - m\,\,\,\left( * \right)\)

Để giải được phương trình trên, ta bình phương hai vế, tuy nhiên cần điều kiện hai vế không âm, tức là 2 – m ≥ 0 hay m ≤ 2.

Kết hợp 2 điều kiện, ta được: 1 ≤ m ≤ 2.

Với 1 ≤ m ≤ 2, bình phương hai vế phương trình (*) ta được:

m – 1 = (2 – m)²

m – 1 = 4 – 4m + m²

m² – 5m + 5 = 0 (**)

Phương trình (**) có ∆_m = (–5)² – 4.1.5 = 25 – 20 = 5 > 0.

Do đó phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt là:

\[m = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2};\,\,m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]

Kết hợp điều kiện 1 ≤ m ≤ 2, ta có \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\]

Vậy có 1 giá trị của m là \[m = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.