10 bài tập Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm có lời giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình x² – x + 5 = 0 có ∆ = (–1)² – 4.1.5 = –19 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình x² – 6x + 25 = 0 có ∆' = (–3)² – 1.25 = –16 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Phương trình –x² – 6x – 9 = 0 có ∆' = (–3)² – (–1).(–9) = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Phương trình x² – 9x – 11 = 0 có ∆ = (–9)² – 4.1.(–11) = 125 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án D.

>>

Đáp án đúng là: C

Phương trình –x² – 4x + 4 = 0 có ∆' = (–2)² – (–1).4 = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình x² – 4x – 4 = 0 có ∆' = (–2)² – 1.(–4) = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình –x² + 4x – 4 = 0 có ∆' = 2² – (–1).(–4) = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Phương trình –x² + 4x + 4 = 0 có ∆' = 2² – (–1).4 = 8 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

⦁ Phương trình x² – 5x + 4 = 0 có các hệ số a = 1, b = –5, c = 4.

Ta có ∆ = (–5)² – 4.1.4 = 9 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Phương trình 3x² – 6x + 3 = 0 có các hệ số a = 3, b' = –3, c = 3.

Ta có ∆' = (–3)² – 3.3 = 0, nên phương trình đã cho có nghiệm kép.

⦁ Phương trình 3x² – 12x + 4 = 0 có các hệ số a = 3, b' = –6, c = 4.

Ta có ∆' = (–6)² – 3.4 = 24 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

⦁ Phương trình –3x² + 8x – 9 = 0 có các hệ số a = –3, b' = 4, c = –9.

Ta có ∆' = 4² – (–3).(–9) = –11 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy ta chọn phương án D.

>

Đáp án đúng là: C

Phương trình:

5x² – x – 1 = x² – 4

5x² – x – 1 – x² + 4 = 0

4x² – x + 3 = 0.

Như vậy, phương trình đã cho đưa được về dạng phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) với a = 4, b = –1, c = 3.

Khi đó, ta có ∆ = (–1)² – 4.4.3 = –47 < 0, nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương án C là khẳng định sai, ta chọn phương án C.

>

Đáp án đúng là: B

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 1 giá trị nghiệm khi ∆ = 0 hoặc ∆' = 0.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – (2m + 1)x + m = 0 là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆ = [–(2m + 1)]² – 4.1.m = 4m² + 4m + 1 – 4m = 4m² + 1.

Với mọi m ta luôn có m² ≥ 0 nên 4m² + 1 ≥ 1 > 0, hay ∆ > 0.

Do đó, với mọi m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là luôn có nghiệm với mọi m.

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình: (m – 1)x² + 3mx + 2m + 1 = 0. (1)

⦁ Nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

3x + 3 = 0, suy ra x = –1.

Như vậy, với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = –1. Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆ = (3m)² – 4.(m – 1)(2m + 1) = 9m² – (8m² – 4m – 4) = m² + 4m + 4 = (m + 2)².

Với mọi m, ta luôn có (m + 2)² ≥ 0, hay ∆ ≥ 0.

Như vậy, với m ≠ 1, phương trình luôn có nghiệm.

Kết hợp hai trường hợp, ta có với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: (m – 1)x² – 2(m – 4)x + m – 3 = 0 (1)

⦁ Nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành:

6x – 2 = 0, suy ra \(x = \frac{1}{3}.\)

Như vậy, với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{3}.\) Trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆' = [–(m – 4)]² – (m – 1)(m – 3) = m² – 8m + 16 – (m² – 4m + 3) = 13 – 4m.

Trong trường hợp này, để phương trình (1) vô nghiệm thì ∆' < 0, tức là 13 – 4m < 0, suy ra \(m > \frac{{13}}{4}.\)>

Kết hợp với điều kiện m ≠ 1, ta được \(m > \frac{{13}}{4}.\)

Mà m là số nguyên tố có một chữ số nên m ∈ {5; 7}.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: 2mx² – 4(m – 1)x + 1 = 0. (1)

⦁ Nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành:

4x + 1 = 0, suy ra \(x = - \frac{1}{4}.\)

Như vậy, với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - \frac{1}{4}.\) Trường hợp này thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn, có:

∆' = [–2(m – 1)]² – 2m.1 = 4m² – 8m + 4 – 2m = 4m² – 10m + 4.

Trong trường hợp này, để phương trình (1) có một giá trị nghiệm thì ∆' = 0, tức là 4m² – 10m + 4 = 0 hay 2m² – 5m + 2 = 0.

Giải phương trình:

2m² – 5m + 2 = 0

2m² – 4m – m + 2 = 0

2m(m – 2) – (m – 2) = 0

(m – 2)(2m – 1) = 0

m – 2 = 0 hoặc 2m – 1 = 0

m = 2 (thỏa mãn m ≠ 0) hoặc \(m = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn m ≠ 0).

Kết hợp 2 trường hợp, ta có \(m \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,\frac{1}{2}} \right\}.\)

Mà m là số nguyên nên m ∈ {0; 2}.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Phương trình:

(x² – 3x + m)(x – 1) = 0 (1)

x² – 3x + m = 0 hoặc x – 1 = 0

x² – 3x + m = 0 (2) hoặc x = 1.

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là phương trình (2) có ∆ > 0 và x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2).

⦁ Phương trình (2) có: ∆ = (–3)² – 4.1.m = 9 – 4m.

Để ∆ > 0 thì 9 – 4m > 0, tức là \(m < \frac{9}{4}.\)

⦁ Để x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (2) thì:

1² – 3.1 + m ≠ 0, tức là m ≠ 2.

Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: \(m

Mà m là số nguyên dương nên m = 1.

Vậy chỉ có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta chọn phương án B.

>