10 Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Cấp số cộng có công thức tổng quát cho số hạng thứ n là: u_n = – 4 + (– 4).(n – 1) .

Áp dụng công thức $S_n=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$ nên

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$S_{10}=\frac{10\cdot \left[2\cdot \left(-4\right)+\left(10-1\right)\cdot \left(-4\right)\right]}{2}=-220$.

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1+4d+3\left(u_1+2d\right)-\left(u_1+d\right)=-21\\ 3\left(u_1+6d\right)-2\left(u_1+3d\right)=-34\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3u_1+9d=-21\\ u_1+12d=-34\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}.\right.\right.$

Tổng của 20 số hạng đầu: $S_{20}=\frac{20\left(2u_1+19d\right)}{2}=-530.$

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết thì u₂ + u₂₂ = 20

\(\Leftrightarrow \) u₁ + d + u₁ + 21d = 20

\(\Leftrightarrow \) 2u₁ + 22d = 20.

Vậy \({S_{23}} = \frac{{23\left( {2{u_1} + 22d} \right)}}{2} = \frac{{23.20}}{2} = 230.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({S_8} = 72 = \frac{{8\left( {{u_1} + {u_8}} \right)}}{2} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_8} = 18\)   (1)

Lại có: u₈ = u₁ + 7d \(\Leftrightarrow \) u₈ – u₁ = 7d = –14           (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_8} = 18}\\{{u_8} - {u_1} = - 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\{u_8} = 2\end{array} \right.\).

Ta có dãy số 2; 4; 6;… ; 2n − 2; 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 2.

Số hạng tổng quát: u_n= 2 + 2(n – 1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

\[ \Rightarrow {S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 2} \right)}}{2} = n\left( {n + 1} \right)\].

Đáp án đúng là: D

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có: \[{S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24\,\,850\]

\[ \Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5\]

\[ \Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\]

\[ = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}\]

\[ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.\]

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{S_4} = 20}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {2{u_1} + 3d} \right) = 20 \,\, \left( 1 \right)}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\]

Từ (1) suy ra : \[2{{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} = 10 \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 - \frac{3}{2}d\] thế vào (2) ta được

\[\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 2d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 3d}} = \frac{{25}}{{24}}\]\[ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 + \frac{3}{2}d}}} \right) + \left( {\frac{1}{{5 - \frac{d}{2}}} + \frac{1}{{5 + \frac{d}{2}}}} \right) = \frac{{25}}{{24}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{10}}{{25 - \frac{{9{d^2}}}{4}}} + \frac{{10}}{{25 - \frac{{{d^2}}}{4}}} = \frac{{25}}{{24}}\] (*)

Đặt \[t = \frac{{{d^2}}}{4}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\] khi đó phương trình (*) trở thành:

\[\frac{{10}}{{25 - 9t}} + \frac{{10}}{{25 - t}} = \frac{{25}}{{24}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {25 - t} \right) + 2\left( {25 - 9t} \right)}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{100 - 20t}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}}\]

\[ \Leftrightarrow 24\left( {20 - 4{\rm{t}}} \right) = \left( {25 - 9{\rm{t}}} \right)\left( {25 - t} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 9{{\rm{t}}^2} - 154{\rm{t}} + 145 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{145}}{9}}\\{t = 1}\end{array}} \right.\]

Với \[t = \frac{{145}}{9}\]  thì \[{d^2} = \frac{{145}}{9} \Rightarrow d = \pm \frac{{\sqrt {145} }}{3}\].

+ Khi \[{\rm{d}} = \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{{\sqrt {145} }}{2}\]

+ Khi \[{\rm{d}} = - \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 + \frac{{\sqrt {145} }}{2}\]

Với t = 1 ⇒ d² = 1 ⇔ d = ± 1.

+ Khi \[{\rm{d}} = 1 \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\]

+ Khi \[{\rm{d}} = - 1 \Rightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 + \frac{3}{2} = \frac{{13}}{2}\]

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u₁ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có:

\[{{\rm{u}}_4} + {{\rm{u}}_8} + {{\rm{u}}_{11}} + {{\rm{u}}_{17}} = 100\]

\[ \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 10\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 16\;{\rm{d}} = 100\]

\[ \Leftrightarrow 4{{\rm{u}}_1} + 36\;{\rm{d}} = 100 \Leftrightarrow 2{{\rm{u}}_1} + 18\;{\rm{d}} = 50\]

Do đó: \[{S_{19}} = \frac{{19\left( {2{u_1} + 18d} \right)}}{2} = \frac{{19.50}}{2} = 475\].

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có:

u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300

\(\Leftrightarrow \) u₁ + d + u₁ + 2d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ +11d+ u₁ + 16d = 300

\(\Leftrightarrow \) 6u₁ + 45d = 300 ⇔ 2u₁ + 15d = 100

Do đó: \[{{\rm{u}}_9} + {{\rm{u}}_8} = {{\rm{u}}_1} + 8\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} = 2{{\rm{u}}_1} + 15\;{\rm{d}} = 100.\]