10 Bài tập Công sai, số hạng đầu và số hạng tổng quát của cấp số cộng (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là: u_n = u₁ + (n − 1)d.

\(\Rightarrow \) số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u₁₀ = 0,4 + (10 − 1) . 1 = 9,4.

Đáp án đúng là: C

Cấp số cộng có u₁ = −2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n − 1) . d = −2 + 3(n − 1) = 3n – 5.

Để u_n < 11 thì 3n − 5 < 11

\(\Leftrightarrow \) 3n < 16 \(\Leftrightarrow \) n < \(\frac{{16}}{3}\).

Mà n nguyên dương nên n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}.

Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện.

Đáp án đúng là: A

Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:

u₁ = 2 và u₅ = 22.

+ Lại có: u₅ = u₁ + (5 − 1).d nên 22 = 2 + 4.d \(\Leftrightarrow \) 20 = 4.d \(\Leftrightarrow \) d = 5.

+ Suy ra: u₂ = u₁ + d = 2 + 5 = 7;

     u₃ = u₁ + 2d = 2 + 2 . 5 = 12;

Và u₄ = u₁ + 3d = 2 + 3 . 5 = 17.

\(\Rightarrow \) u₂ + u₃ + u₄ = 7 + 12 + 17 = 36.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u₁ = 7 – 2.1 = 5;  u₂ = 7 – 2.2 = 3;

u₃ = 7 – 2.3 = 1; u₄  = 7 – 2.4 = –1.

\(\Rightarrow \) Đáp án A, D đúng.

Số hạng thứ n+1 là: u_{n + 1} = 7 − 2(n + 1) = 5 − 2n.

\(\Rightarrow \) B sai.

Xét hiệu: u_{n + 1} − u_n = (5 − 2n) − (7 − 2n) = −2

\(\Rightarrow \) (u_n) là cấp số cộng với công sai d = −2.

\(\Rightarrow \) C đúng.

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} = 19}\\{{u_9} = 35}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 4d = 19}\\{{u_1} + 8d = 35}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 3}\\{d = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u₁₀ = u₁ + 9d = 3 + 9 . 4 = 39.

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + d - \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10}\\{{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26}\end{array}} \right.\)

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ 2u_2+8d=26\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right.\right.$

Ta có: 301 = 1 + (n − 1) . 3 \(\Leftrightarrow \) 300 = 3(n – 1)

\(\Leftrightarrow \) n − 1 = 100 \(\Leftrightarrow \) n = 101.

Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.

Đáp án đúng là: B

Do số đo ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: A + C = 2B.

Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180° nên : A + B + C = 180°.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A + B + C = 180^\circ }\\{A + C = 2B}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3B = 180^\circ }\\{A + C = 2B}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A = 20^\circ }\\{B = 60^\circ }\\{C = 100^\circ }\end{array}} \right.} \right.\]

Suy ra tổng số đo góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là 120°.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 20}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 + u_5^2 = 170}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d + {u_1} + 3d + {u_1} + 4d = 20}\\{u_1^2 + {{\left( {{u_1} + d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 2d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 3d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 4d} \right)}^2} = 170}\end{array}} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{u_1} + 10d = 20 \,\, (1)}\\{u_1^2 + {{\left( {{u_1} + d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 2d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 3d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 4d} \right)}^2} = 170\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Từ (1) suy ra: u₁ + 2d = 4 \(\Leftrightarrow \) u₁ = 4 − 2d thế vào (2) ta được:

\({(4 - 2d)^2} + {(4 - 2d + d)^2} + {(4 - 2d + 2d)^2} + {(4 - 2d + 3d)^2} + {\left( {4 - 2d + 4d} \right)^2} = 170\) \( \Leftrightarrow {(4 - 2\;{\rm{d}})^2} + {(4 - {\rm{d}})^2} + 16 + {(4 + {\rm{d}})^2} + {(4 + 2\;{\rm{d}})^2} = 170\)\( \Leftrightarrow 16 - 16\;{\rm{d}} + 4\;{{\rm{d}}^2} + 16 - 8\;{\rm{d}} + {{\rm{d}}^2} + 16 + 16 + 8\;{\rm{d}} + {{\rm{d}}^2} + 16 + 16\;{\rm{d}} + 4\;{{\rm{d}}^2} = 170\)

\( \Leftrightarrow 10\;{{\rm{d}}^2} + 80 = 170 \Leftrightarrow {{\rm{d}}^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {\rm{d}} = \pm 3\).

•Với d = 3 \(\Rightarrow \) u₁ = 4 − 6 = −2.

•Với d = −3 \(\Rightarrow \) u₁ = 4 + 6 = 10.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11 \,\, (1)}\\{u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101 \,\, (2)}\end{array}} \right.\] 

Từ (1) suy ra : u₃₁ = 11 − u₃₄ thế vào (2) ta được:

\({\left( {11 - {u_{34}}} \right)^2} + u_{34}^2 = 101\)

\( \Leftrightarrow 121 - 22{{\rm{u}}_{34}} + 2 \cdot u_{34}^2 = 101\)

\( \Leftrightarrow 2u_{34}^2 - 22{u_{34}} + 20 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{34}} = 1 \Rightarrow {u_{31}} = 10}\\{{u_{34}} = 10 \Rightarrow {u_{31}} = 1}\end{array}} \right.\)

+ Mà công sai d > 0 nên u₃₄ > u₃₁

\(\Rightarrow \) u₃₄ = 10 và u₃₁ = 1

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 33d = 10}\\{{u_1} + 30d = 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = - 89}\\{d = 3}\end{array}} \right.\).

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:

u_n = u₁ + (n – 1)d = −89 + 3(n – 1) = 3n – 92.