20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Cấp số cộng có đáp án
20 câu hỏi
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d. Số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{.}}{{\rm{d}}^{\rm{n}}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{.}}{{\rm{d}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + nd}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]
Theo định lí ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai . Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}\]
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
Theo định lí ta có công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = n}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 1}},n \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }} - 3{u_n},n \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - 2}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}2{u_n} + 3,n \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{\pi }{2}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\sin \left( {\frac{\pi }{{\pi - 1}}} \right),n \ge 1}\end{array}} \right.\)
Dựa vào định lí ta thấy dãy số\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 1}}}\\{{u_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ + 1}},n \ge 1}\end{array}} \right.\)là cấp số cộng với công sai d = 1.
Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số cộng (un) với \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{2}}\] và \[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 3}}\]. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:
5.
−5.
1.
−1.
Ta có:\[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}} \Leftrightarrow {\rm{d = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}} - {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}} - \left( { - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 5}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 19n}} - {\rm{5}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{n}}}{\rm{ + 10n}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n + 1}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1}}\]
Xét đáp án A. Ta có: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = 19}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{5 = 19n + 19}} - {\rm{5 = 19n + 14}}\]
Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{19n + 14}}} \right) - \left( {{\rm{19n}} - {\rm{5}}} \right){\rm{ = 19n + 14}} - {\rm{19n + 5 = 19}}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = 19 .
Xét đáp án B. Ta có:
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{1}}}{\rm{ + 10}}{\rm{.1 = 9; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + 10}}{\rm{.2 = 21 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 12; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{1}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ + 10}}{\rm{.3 = 29 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 8}}\]Vậy dãy số không là cấp số cộng.
Xét đáp án C. Ta có:
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1 + 1 = 3; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2 + 1 = 7 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 3 + 1 = 13 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 6}}\]
Vậy dãy số không là cấp số cộng.
Xét đáp án D. Ta có:
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{1}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 = 3; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 = 17 = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 14; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 1 = 55 = }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + 38}}\]
Vậy dãy số không là cấp số cộng.
Đáp án cần chọn là: A
Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = −3. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng:
−115.
−130.
115.
130.
\[{{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}{\rm{.}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.2 + 9}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{3}}} \right)} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }} - {\rm{115}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho cấp số cộng (un), biết: \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1, }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 8}}\]. Lựa chọn đáp án đúng.
d = 3
d = 1
d = – 3
d = – 1
\[{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} + 3{\rm{d}} \Leftrightarrow 8\,\,{\rm{ = }} - 1 + 3{\rm{d}} \Leftrightarrow {\rm{3d = 9}} \Leftrightarrow {\rm{d = 3}}\]
Đáp án cần chọn là: A
Cho cấp số cộng (un), biết \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{5, d = 3}}\]. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
Số thứ 25.
Số thứ 26.
Số thứ 35.
Số thứ 36.
\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}} \Leftrightarrow {\rm{100 = }} - {\rm{5 + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{.3 = 105}} \Leftrightarrow {\rm{n}} - {\rm{1 = 35}} \Leftrightarrow {\rm{n = 36}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng (un)có: \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{1, d = 2, }}{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = 483}}\]. Hỏi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng?
n = 20.
n = 21.
n = 22.
n = 23.
\[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow 483 = \frac{{n\left[ {2\left( { - 1} \right) + \left( {n - 1} \right).2} \right]}}{{}} \Leftrightarrow {\rm{2}}\left[ { - {\rm{2 + 2n}} - {\rm{2}}} \right]{\rm{ = 966}}\]
\( \Leftrightarrow {\rm{n}}\left( {{\rm{2n}} - {\rm{4}}} \right){\rm{ = 966}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{4n}} - {\rm{966 = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{n = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{n = 23}}}\end{array}} \right.\)
Vì \[{\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]nên n = 23
Đáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng (un) có: \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{0,1;}}\,\,{\rm{d = 1}}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
Số hạng thứ 5 của cấp số cộng này là: 3,9.
Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5.
Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
\[{{\rm{u}}_{\rm{7}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = }} - {\rm{0,1 + 6}}{\rm{.1 = 5,9}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d = }} - {\rm{0,1 + 6}}{\rm{.1 = 4,9}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d = }} - {\rm{0,1 + 6}}{\rm{.1 = 3,9}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{0,1 + 6}}{\rm{.1 = 2,9}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Tìm công sai của cấp số cộng có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 14}}}\\{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}{\rm{ = 129}}}\end{array}} \right.\)
2
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)
1
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 14}}}\\{{{\rm{S}}_{{\rm{12}}}}{\rm{ = 129}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{(}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 2d) + (}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d) = 14}}}\\{\frac{{{\rm{12}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d}}} \right]}}{2} = 129}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = 14}}}\\{{\rm{12}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d}}} \right){\rm{ = 258}}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 6d = 14}}}\\{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 11d = }}\frac{{43}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}}\\{d = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Cho cấp số cộng (un) biết: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{9}}}{\rm{ = 5}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{13}}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ + 5}}}\end{array}} \right.\). Chọn đáp án đúng.
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 3}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 6}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 7}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 4}}\]
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{9}}}{\rm{ = 5}}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{13}}}}{\rm{ = 2}}{{\rm{u}}_{\rm{6}}}{\rm{ + 5}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{u_1} + 8d} \right){\rm{ = }}5\left( {{u_1} + d} \right)}\\{\left( {{u_1} + 12d} \right){\rm{ = }}2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{4}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{3d = 0}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}} - {\rm{2d = }} - {\rm{5}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}3}\\{{\rm{d = 4}}}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: A
Xen giữa các số 2 và 22 ba số nào sau đây để được một cấp số cộng có 5 số hạng.
6; 10; 14.
7; 12; 17.
8; 13; 18.
9; 13; 17.
Giả sử cấp số cộng gồm 5 số hạng \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}\].
Theo đề bài ta có \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 2, }}{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = 22}}\]
\[{{\rm{u}}_{\rm{5}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{22 = 2 + 4d}} \Leftrightarrow {\rm{4d = 20}} \Leftrightarrow {\rm{d = 5}}\]
Vậy ta cần viết thêm các số: \[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ = 2 + 5 = 7; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{ = 7 + 5 = 12; }}{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = 12 + 5 = 17}}\]Đáp án cần chọn là: B
Tìm công sai của cấp số cộng sau:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_6} = 8}\\{u_2^2 + u_4^2 = 16}\end{array}} \right.\), biết công sai không lớn hơn 2.
\[{\rm{d = }}\frac{{{\rm{14}}}}{{\rm{5}}}\]
d = 2
\[{\rm{d = }} - \frac{{{\rm{14}}}}{{\rm{5}}}\]
d = – 2
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_6} = 8}\\{u_2^2 + u_4^2 = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 5d = 8(1)}}}\\{{{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ = 16(2)}}}\end{array}} \right.\)
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 8}} - {\rm{5d}}\]thế vào (2) ta được
\[{\left( {8 - 5d + d} \right)^2} + {\left( {8 - 5d + 3d} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {8 - 4d} \right)^2} + {\left( {8 - 2d} \right)^2} = 16\]
\( \Leftrightarrow 64 - 64d + 16{d^2} + 64 - 32d + 4{d^2} = 16 \Leftrightarrow 20{d^2} - 96d + 112 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = 2}\\{d = \frac{{14}}{5}}\end{array}} \right.\)
Vì công sai không lớn hơn 2 nên d = 2
Đáp án cần chọn là: B
Một đa giác lồi có 10 cạnh và các góc trong của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 4o . Tìm góc nhỏ nhất của đa giác đó.
26o.
162o.
60o.
126o.
Giả sử các góc của đa giác lồi lập thành cấp số cộng gồm 10 số hạng: \[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{, }}...{\rm{, }}{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}\].
Tổng các góc của đa giác lồi có 10 cạnh bằng 1440o
Ta có:
\[{{\rm{S}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9d}}} \right)}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{1440 = }}\frac{{{\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 9}}{\rm{.4}}} \right)}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{10}}\left( {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 36}}} \right){\rm{ = 2880}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 36 = 288}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 252}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = 126}}\]
Vậy góc nhỏ nhất của đa giác đó bằng 126oĐáp án cần chọn là: D
Cho cấp số cộng có \[{{\rm{u}}_{\rm{4}}}{\rm{ = }} - {\rm{12, }}{{\rm{u}}_{{\rm{14}}}}{\rm{ = 18}}\]. Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên cấp số cộng là?
–26.
‒24.
24.
26.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = - 12}\\{{u_{14}} = 18}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 3d = }} - {\rm{12}}}\\{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 13d = 18}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }} - {\rm{21}}}\\{{\rm{d = 3}}}\end{array}} \right.\)
\[{{\rm{S}}_{{\rm{16}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 15d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{16}}\left[ {{\rm{2}}{\rm{.}}\left( { - {\rm{21}}} \right){\rm{ + 15}}{\rm{.3}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 24}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho a, b, c lập thành một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2ab}} - {\rm{2bc}}\]
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2ac = 4}}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}\]
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}} - {{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ = ab}} - {\rm{bc}}\]
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}} - {{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 2ab}} - {\rm{2bc}}\]
Vì ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng nên ta có:
\[{\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{a + c}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ = }}{\left( {{\rm{2b}}} \right)^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2ac = 4}}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho cấp số cộng:\[{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{; }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{; }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}{\rm{;}}....\] có công sai d. Biết \[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{22}}}}{\rm{ = 40}}{\rm{.}}\]. Tính \[{{\rm{S}}_{{\rm{23}}}}\].
132.
766.
191.
460.
Ta có: \[{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{22}}}}{\rm{ = 40}} \Leftrightarrow \left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + d}}} \right){\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 21d}}} \right){\rm{ = 40}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 22d = 40}}\]\[{{\rm{S}}_{{\rm{23}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{23}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 22d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{23}}{\rm{.40}}}}{{\rm{2}}}{\rm{ = 460}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho bốn số thực a, b, c, d là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24. Tính \[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}\].
P = 79 .
P = 16.
P = 80.
P = 64.
Vì ba số thực a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:
\[{\rm{b = }}\frac{{{\rm{a + c}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{a + c = 2b}} \Leftrightarrow {\rm{c = 2b}} - {\rm{a}}\left( 1 \right)\]
Vì ba số thực b, c, d là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta có:
\[{\rm{c = }}\frac{{{\rm{b + d}}}}{{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{b + d = 2c}} \Leftrightarrow {\rm{d = 2c}} - {\rm{b = 2}}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right) - {\rm{b = 4b}} - {\rm{2a}} - {\rm{b = 3b}} - {\rm{2a}}\left( {\rm{2}} \right)\]
Tổng của bốn số thực a, b, c, d bằng 4 nên ta có:
\[{\rm{a + b + c + d = 4}} \Leftrightarrow {\rm{a + b + }}\left( {{\rm{2b}} - {\rm{a}}} \right){\rm{ + }}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2a}}} \right){\rm{ = 4}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{6b}} - {\rm{2a = 4}} \Leftrightarrow {\rm{3b}} - {\rm{a = 2}} \Leftrightarrow {\rm{a = 3b}} - {\rm{2}}\]
Thế a = 3b – 2 vào (1) ta được: \[{\rm{c = 2b}} - \left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 2}} - {\rm{b}}\]
Thế a = 3b – 2 vào (2) ta được: \[{\rm{d = 3b}} - {\rm{2}}\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right){\rm{ = 3b}} - {\rm{6b + 4 = 4}} - {\rm{3b}}\]
Tổng các bình phương của bốn số thực a, b, c, d bằng 24 nên ta có:
\[{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 24}} \Leftrightarrow {\left( {{\rm{3b}} - {\rm{2}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{2}} - {\rm{b}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{\left( {{\rm{4}} - {\rm{3b}}} \right)^2}{\rm{ = }}24\]
\[ \Leftrightarrow 9{b^2} - 12b + 4 + {b^2} + 4 - 4b + {b^2} + 16 - 24b + 9{b^2}{\rm{ = }}24\]
\[ \Leftrightarrow 20{b^2} - 40b\,{\rm{ = }}0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{b = 0}}}\\{{\rm{b = 2}}}\end{array}} \right.\]
Với b = 0 ta có: \[{\rm{a = 3}}{\rm{.0}} - {\rm{2 = }} - {\rm{2; c = 2}} - {\rm{0 = 2; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.0 = 4}}\]
Vậy \[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}\]
Với b = 2 ta có: \[{\rm{a = 3}}{\rm{.2}} - {\rm{2 = 4; c = 2}} - {\rm{2 = 0; d = 4}} - {\rm{3}}{\rm{.2 = }} - {\rm{2}}\]
Vậy\[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{c}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{d}}^{\rm{3}}}{\rm{ = }}{{\rm{4}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}{\rm{ + }}{\left( { - {\rm{2}}} \right)^{\rm{3}}}{\rm{ = 64}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Cho hai cấp số cộng (un) và (vn) có tổng của n số hạng đầu tiên lần lượt là Sn,Tn. Biết \[\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{T}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4n + 1}}}}{{{\rm{6n + 2}}}}\] với mọi \[{\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]. Tính\(\)\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{17}}}}}}{{{{\rm{v}}_{{\rm{17}}}}}}\]
\(\frac{1}{2}\)
\[\frac{2}{3}\]
\[\frac{{69}}{{103}}\]
\[\frac{{133}}{{200}}\]
Giả sử cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d, cấp số cộng (vn) có số hạng đầu v1 và công sai d’.
Ta có: \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}{\rm{; }}{{\rm{T}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - 1} \right){\rm{d'}}} \right]}}{{\rm{2}}}\]
\[\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{n}}}}}{{{{\rm{T}}_{\rm{n}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}} \right]}}{{\rm{2}}}}}{{\frac{{{\rm{n}}\left[ {{\rm{2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d'}}} \right]}}{{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4n + 1}}}}{{{\rm{6n + 2}}}}\]
\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{17}}}}}}{{{{\rm{v}}_{{\rm{17}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 16d}}}}{{{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 16d'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 32d}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + 32d'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{33}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{v}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}\left( {{\rm{33}} - {\rm{1}}} \right){\rm{d'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{33}}}}}}{{{{\rm{T}}_{{\rm{33}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4}}{\rm{.33 + 1}}}}{{{\rm{6}}{\rm{.33 + 2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{133}}}}{{{\rm{200}}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
