Ba số 10 – 3x, 2x² + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi

(2x² + 3) – (10 – 3x) = (7 – 4x) – (2x² + 3)

⇔ 2x² + 3 – 10 + 3x = 7 – 4x – 2x² – 3

⇔ 4x² + 7x – 11 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{ - 11}}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{ - 11}}{4};\,1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_7} = 19\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 10\\{u_1} + \left( {7 - 1} \right)d = 19\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 6d = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 3.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_1} + {u_6} = 17\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 10\\{u_1} + \left( {{u_1} + 5d} \right) = 17\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 10\\2{u_1} + 5d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\d = - 3\end{array} \right.\).

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u₁ = 16 và công sai d = – 3.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{10}} = 165\\{S_{20}} = 630\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {10 - 1} \right)d} \right].10}}{2} = 165\\\frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = 630\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 9d = 33\\2{u_1} + 19d = 63\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 3\end{array} \right.\).

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u₁ = 3 và công sai d = 3.

Ta có u₂ + u₄ = (u₁ + d) + (u₁ + 3d) = 2u₁ + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u₁.

Lại có u₁ . u₅ = u₁ . (u₁ + 4d) = u₁ . (u₁ + 22 – 2u₁) = u₁ . (22 – u₁).

Mà u₁ . u₅ = 21, do đó u₁ . (22 – u₁) = 21 ⇔ 22u₁ – u₁² – 21 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 21\end{array} \right.\).

Với u₁ = 1, suy ra \(d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.1}}{4} = 5 > 0\) (thỏa mãn).

Với u₁ = 21, suy ra \(d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.21}}{4} = - 5 < 0\) (không thỏa mãn).

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 5.

Ta có: u₁₀₀ = u₁ + (100 – 1)d = 1 + 99 . 5 = 496.

Ta có u₂ + u₄ = (u₁ + d) + (u₁ + 3d) = 2u₁ + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u₁.

Lại có u₁ . u₅ = u₁ . (u₁ + 4d) = u₁ . (u₁ + 22 – 2u₁) = u₁ . (22 – u₁).

Mà u₁ . u₅ = 21, do đó u₁ . (22 – u₁) = 21 ⇔ 22u₁ – u₁² – 21 = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 21\end{array} \right.\).

Với u₁ = 1, suy ra \(d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.1}}{4} = 5 > 0\) (thỏa mãn).

Với u₁ = 21, suy ra \(d = \frac{{22 - 2{u_1}}}{4} = \frac{{22 - 2.21}}{4} = - 5 < 0\) (không thỏa mãn).

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 5.

Gọi số hạng nhỏ nhất trong các số cần tìm là u và công sai của cấp số cộng là d.

Khi đó, năm số hạng liên tiếp là u, u + d, u + 2d, u + 3d, u + 4d.

Vì tổng của chúng bằng 40 nên u + u + d + u + 2d + u + 3d + u + 4d = 40

⇔ 5u + 10d = 40 ⇔ u + 2d = 8.

⇔ u = 8 – 2d. (1)

Lại có tổng bình phương của chúng bằng 480 nên

u² + (u + d)² + (u + 2d)² + (u + 3d)² + (u + 4d)² = 480. (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

(8 – 2d)² + (8 – 2d + d)² + (8 – 2d + 2d)² + (8 – 2d + 3d)² + (8 – 2d + 4d)² = 480

⇔ (8 – 2d)² + (8 – d)² + 8² + (8 + d)² + (8 + 2d)² = 480

⇔ 64 – 32d + 4d² + 64 – 2d + d² + 64 + 64 + 2d + d² + 64 + 32d + 4d² = 480

⇔ 10d² + 320 = 480

⇔ 10d² = 160

⇔ d² = 16

⇔ d = ±4

+ Với d = 4, ta có u = 8 – 2 . 4 = 0.

+ Với d = – 4, ta có u = 8 – 2 . (– 4) = 16.

Vậy năm số hạng liên tiếp cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.

Ta có: u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁

= u₁ + (u₁ + 4d) + (u₁ + 8d) + (u₁ + 12d) + (u₁ + 16d) + (u₁ + 20d)

= 6u₁ + 60d

Mà u₁ + u₅ + u₉ + u₁₃ + u₁₇ + u₂₁ = 234 nên 6u₁ + 60d = 234 ⇔ u₁ + 10d = 39.

Lại có u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀ = (u₁ + d) + (u₁ + 7d) + (u₁ + 13d) + (u₁ + 19d)

= 4u₁ + 40d = 4(u₁ + 10d) = 4 . 39 = 156.

Vậy u₂ + u₈ + u₁₄ + u₂₀ = 156.

Ta có u₁ + 10d = (u₁ + 9d) + d = u₁₀ + d = 39.

Mà u₁₀ = 37 nên suy ra d = 39 – u₁₀ = 39 – 37 = 2.

Do đó, u₁ = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.

Vậy u₁ = 19 và d = 2.

Ta có \({v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), \({v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}\).

Khi đó, \({v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = - 1\) không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là \({v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}\) và công sai d = – 1.

Ta có \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right).\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - n + 1 = \frac{3}{2} - n\).

Vì \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\) nên \(1 + \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{3}{2} - n\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{1}{2} - n\)\( \Leftrightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\).

Vậy \({v_n} = \frac{3}{2} - n\) và \({u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}\).

Từ \({v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}\), suy ra \(\frac{1}{{{u_n}}} = {v_n} - 1\).

Khi đó ta có \(S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}\)

          = (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

          = (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ = \(\frac{{\left[ {2{v_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right].20}}{2} = \frac{{\left( {2.\frac{1}{2} + 19.\left( { - 1} \right)} \right).20}}{2} = - 180\).

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = \(\frac{{\left( {1 + 12} \right).12}}{2} + 11\) = 89 (tiếng chuông).