Ta có u5 + u7 = 19 Û u2 + 3d + u10 – 3d = 19 Û u2 + u10 = 19.

Ta có Sn = 253 Û \(\frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right]n}}{2} = 253\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {4n + 2} \right)n}}{2} = 253\) Û 4n2 + 2n – 506 = 0 Û n = 11 (vì n Î ℕ*).

Theo đề ta có u1 = 1; d = 3.

Khi đó u100 = u1 + 99d = 1 + 99.3 = 298.

Ta có un = u1 + (n – 1)d = 5 – 3(n – 1).

Theo đề ta có −289 = 5 – 3(n – 1) Û n = 99.

Theo đề ta có u1 = 15; d = 4.

Ta cần tính \({S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {30 - 1} \right).4} \right].30}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + \left( {30 - 1} \right).4} \right].30}}{2} = 2190\).

a) u2 = u1 + d = −2 + (−5) = −7.

b) Ta có \({S_{100}} = \frac{{\left[ {2.{u_1} + \left( {100 - 1} \right).d} \right].100}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2.\left( { - 2} \right) + \left( {100 - 1} \right).\left( { - 5} \right)} \right].100}}{2} =  - 24950\).

c) Ta có u180 = u1 +179.d = −2 + 179.(−5) = −897.

d) Có un = u1 + (n – 1)d = −2 + (n – 1).(−5) = −5n + 3.

Có un + 1 = −5(n + 1) + 3 = −5n – 2.

Xét un + 1 – un = (−5n – 2) – (−5n + 3) = −5 < 0. Do đó dãy này là dãy giảm.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;  d) Sai.

 a) Ta có u1 = 2.1 + 1 = 3; u2 = 2.2 + 1 = 5; u3 = 2.3 + 1 = 7; u4 = 2.4 + 1 = 9; u5 = 2.5 + 1 = 11.

Vậy dạng khai triển của dãy số là 3; 5; 7; 9; 11; ...

b) u1 = 3.

c) Có un + 1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.

Xét un + 1 – un = 2n + 3 – (2n + 1) = 2 = d.

Do đó dãy số đã cho là một cấp số cộng.

d) Có \({S_{24}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {24 - 1} \right).2} \right].24}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2.3 + \left( {24 - 1} \right).2} \right].24}}{2} = 624\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Sai.

a) Theo đề S20 = 460 \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right).d} \right].20}}{2} = 460\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.4 + \left( {20 - 1} \right).d} \right].20}}{2} = 460\)

\( \Leftrightarrow d = 2\).

b) Ta có u4 = u1 + 3d = 4 + 3.2 = 10.

c) Có \({S_{10}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right).10}}{2}\)\( = \frac{{\left( {2.4 + 9.2} \right).10}}{2} = 130\).

d) Ta có u5 + u6 + u7 + u8 + u9 = u4 + d + u4 + 2d + u4 + 3d + u4 + 4d + u4 + 5d = 5u4 + 15d

= 5.10 + 15.2 = 80.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;  d) Sai.

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_{10}} =  - 31\\2{u_4} - {u_9} = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d + {u_1} + 9d =  - 31\\2\left( {{u_1} + 3d} \right) - \left( {{u_1} + 8d} \right) = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 11d =  - 31\\{u_1} - 2d = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d =  - 3\end{array} \right.\).

b) Ta có u3 = u1 + 2d = 1 + 2.(−3) = −5.

c) Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n −1).(−3) = −3n + 4.

d) Có \({S_{10}} = 10.1 + \frac{{10.\left( {10 - 1} \right).\left( { - 3} \right)}}{2} =  - 125\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;  d) Đúng.

a) Giá của chiếc ô tô trong năm thứ 2 là u2 = 680 – 50 = 630 triệu đồng.

b) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = −50.

c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng: u4 = u1 + 3d = 680 – 3.50 = 530 triệu đồng.

d) Ta có un < 340 Û u1 + (n – 1)d < 340 Û 680 + (n – 1).(−50) < 340

 Û −50n + 730 < 340 Û n > 7,8.

Suy ra đến năm thứ 8 thì giá trị của chiếc xe nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Sai.

Ta có chiều dài của mỗi mặt cầu thang theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = 196, công sai d = −7 và số hạng cuối cùng là un = 56.

Khi đó un = u1 + (n – 1)d Û 56 = 196 – 7(n – 1) Û n = 21.

Tổng chiều dài của 21 hình chữ nhật đó là \({S_{21}} = \frac{{{u_1} + {u_{21}}}}{2}.21 = 2646\).

Diện tích của 21 bậc thang là S = 35.2546 = 92610 (cm2) = 9,261 (m2).

Tổng số tiền để làm cầu thang đó là: T = 9,261.1,25 = 11,57625 triệu đồng ≈ 12 triệu đồng.

Trả lời: 12.

Kí hiệu un là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó, dãy số (un) là cấp số cộng với u1 = 950 và d = 1,4.

Ta có u16 = u1 + 15d = 950 + 15.1,4 = 971.

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao 971 m so với mực nước biển.

Trả lời: 971.

Vì dãy số (un) có un + 1 = un + 2, n ³ 1 nên (un) là cấp số cộng có u1 = 4, công sai d = 2.

Vậy tổng 23 số hạng đầu của dãy số (un) là \({S_{23}} = \frac{{23}}{2}\left( {2{u_1} + 22d} \right) = \frac{{23}}{2}\left( {2.4 + 22.2} \right) = 598\).

Trả lời: 598.

Ta có u7 = u5 + 2d Û 9 = −3 + 2d Û d = 6.

Trả lời: 6.

Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có u1 = 1; d = 1; n = 10. Khi đó, tổng số khúc gỗ là

\({S_{10}} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{10.\left( {2.1 + \left( {10 - 1} \right).1} \right)}}{2} = 55\) (khúc gỗ).

Trả lời: 55.