22 câu Trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Bài 2. Cấp số cộng (Đúng-sai, trả lời ngắn) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
1; −2; −4; −6; −8.
1; −3; −6; −9; −12.
1; −3; −7; −11; −15.
1; −3; −5; −7; −9.
C
Ta có −3 = 1 + (−4); −7 = (−3) + (−4); −11 = (−7) + (−4); −15 = (−11) + (−4).
Do đó dãy số 1; −3; −7; −11; −15 là một cấp số cộng với công sai d = −4.
un = 3n.
un = (−3)n + 1.
un = 3n + 1.
un = 2n + 1.
C
Xét dãy un = 3n + 1.
Có un + 1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4.
Có un + 1 – un = 3n + 4 – (3n + 1) = 3. Vậy dãy số un = 3n + 1 là cấp số cộng với công sai d = 3.
5.
\(\frac{2}{7}\).
−5.
\(\frac{7}{2}\).
A
Ta có d = u2 – u1 = 7 – 2 = 5.
2043.
2064.
2050.
2057.
D
Ta có u6 = u1 + 5d = 2022 + 5.7 = 2057.
1.
2.
2,5.
11.
B
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 16d = 33\\{u_1} + 32d = 65\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).
d = 5.
d = 4.
d = −4.
d = −5.
D
Theo đề ta có u1 – u5 = 20 Û u1 – (u1 + 4d) = 20 Û d = −5.
−410.
−205.
245.
−230.
C
Ta có u10 = u1 + 9d = 2 + 9.5 = 47.
Khi đó \({S_{10}} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right).10}}{2} = \frac{{\left( {2 + 47} \right).10}}{2} = 245\).
38.
29.
12.
19.
D
Ta có u5 + u7 = 19 Û u2 + 3d + u10 – 3d = 19 Û u2 + u10 = 19.
9.
11.
12.
10.
B
Ta có Sn = 253 Û \(\frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 253\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right]n}}{2} = 253\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {4n + 2} \right)n}}{2} = 253\) Û 4n2 + 2n – 506 = 0 Û n = 11 (vì n Î ℕ*).
297.
301.
295.
298.
D
Theo đề ta có u1 = 1; d = 3.
Khi đó u100 = u1 + 99d = 1 + 99.3 = 298.
98.
99.
100.
101.
B
Ta có un = u1 + (n – 1)d = 5 – 3(n – 1).
Theo đề ta có −289 = 5 – 3(n – 1) Û n = 99.
2250.
1740.
4380.
2190.
D
Theo đề ta có u1 = 15; d = 4.
Ta cần tính \({S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {30 - 1} \right).4} \right].30}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + \left( {30 - 1} \right).4} \right].30}}{2} = 2190\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho cấp số cộng (un) với u1 = −2; d = −5.
a) u2 = −7.
b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy số (un) là −24950.
c) Số −902 là số hạng thứ 180 của dãy số (un).
d) Dãy số (un) là một dãy số tăng.
a) u2 = u1 + d = −2 + (−5) = −7.
b) Ta có \({S_{100}} = \frac{{\left[ {2.{u_1} + \left( {100 - 1} \right).d} \right].100}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2.\left( { - 2} \right) + \left( {100 - 1} \right).\left( { - 5} \right)} \right].100}}{2} = - 24950\).
c) Ta có u180 = u1 +179.d = −2 + 179.(−5) = −897.
d) Có un = u1 + (n – 1)d = −2 + (n – 1).(−5) = −5n + 3.
Có un + 1 = −5(n + 1) + 3 = −5n – 2.
Xét un + 1 – un = (−5n – 2) – (−5n + 3) = −5 < 0. Do đó dãy này là dãy giảm.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Cho dãy số (un) với un = 2n + 1. Khi đó:
a) Dạng khai triển của dãy số là 3; 5; 7; 9; 11; ...
b) Số hạng đầu u1 = 2.
c) Dãy số đã cho là một cấp số cộng.
d) Tổng của 24 số hạng đầu là \({S_{24}} = 650\).
a) Ta có u1 = 2.1 + 1 = 3; u2 = 2.2 + 1 = 5; u3 = 2.3 + 1 = 7; u4 = 2.4 + 1 = 9; u5 = 2.5 + 1 = 11.
Vậy dạng khai triển của dãy số là 3; 5; 7; 9; 11; ...
b) u1 = 3.
c) Có un + 1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3.
Xét un + 1 – un = 2n + 3 – (2n + 1) = 2 = d.
Do đó dãy số đã cho là một cấp số cộng.
d) Có \({S_{24}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {24 - 1} \right).2} \right].24}}{2}\)\( = \frac{{\left[ {2.3 + \left( {24 - 1} \right).2} \right].24}}{2} = 624\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho cấp số cộng (un) có u1 = 4. Biết tổng 20 số hạng đầu tiên bằng 460.
a) d = 2.
b) u4 = 8.
c) S10 = 120.
d) u5 + u6 + u7 + u8 + u9 = 60.
a) Theo đề S20 = 460 \( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right).d} \right].20}}{2} = 460\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.4 + \left( {20 - 1} \right).d} \right].20}}{2} = 460\)
\( \Leftrightarrow d = 2\).
b) Ta có u4 = u1 + 3d = 4 + 3.2 = 10.
c) Có \({S_{10}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 9d} \right).10}}{2}\)\( = \frac{{\left( {2.4 + 9.2} \right).10}}{2} = 130\).
d) Ta có u5 + u6 + u7 + u8 + u9 = u4 + d + u4 + 2d + u4 + 3d + u4 + 4d + u4 + 5d = 5u4 + 15d
= 5.10 + 15.2 = 80.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho cấp số cộng (un) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_{10}} = - 31\\2{u_4} - {u_9} = 7\end{array} \right.\).
a) Cấp số cộng có u1 = −1, công sai d = 3.
b) Số hạng u3 bằng −5.
c) Số hạng tổng quát un = −3n + 4.
d) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng bằng −125.
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_{10}} = - 31\\2{u_4} - {u_9} = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d + {u_1} + 9d = - 31\\2\left( {{u_1} + 3d} \right) - \left( {{u_1} + 8d} \right) = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 11d = - 31\\{u_1} - 2d = 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = - 3\end{array} \right.\).
b) Ta có u3 = u1 + 2d = 1 + 2.(−3) = −5.
c) Số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n −1).(−3) = −3n + 4.
d) Có \({S_{10}} = 10.1 + \frac{{10.\left( {10 - 1} \right).\left( { - 3} \right)}}{2} = - 125\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.
Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 50 triệu đồng. Gọi un (triệu đồng) là giá của chiếc ô tô trong năm thứ n sử dụng.
a) u2 = 630.
b) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 50.
c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng lớn hơn 500 triệu đồng.
d) Sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.
a) Giá của chiếc ô tô trong năm thứ 2 là u2 = 680 – 50 = 630 triệu đồng.
b) Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = −50.
c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng: u4 = u1 + 3d = 680 – 3.50 = 530 triệu đồng.
d) Ta có un < 340 Û u1 + (n – 1)d < 340 Û 680 + (n – 1).(−50) < 340
Û −50n + 730 < 340 Û n > 7,8.
Suy ra đến năm thứ 8 thì giá trị của chiếc xe nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu của nó.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một cầu thang đường lên cổng trời của một điểm giải trí ở công viên tỉnh Lâm Đồng được hàn bằng sắt có hình dáng các bậc thang đều là hình chữ nhật với cùng chiều rộng là 35 cm và chiều dài của nó theo thứ tự mỗi bậc đều giảm dần đi 7 cm. Biết rằng bậc đầu tiên của cầu thang là hình chữ nhật có chiều dài 196 cm và bậc cuối cùng cầu thang là hình chữ nhật có chiều dài 56 cm. Hỏi giá thành làm cầu thang là bao nhiêu triệu đồng? Biết rằng giá thành làm một mét vuông cầu thang đó là 1250000 đồng trên mỗi mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng triệu đồng).
Ta có chiều dài của mỗi mặt cầu thang theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u1 = 196, công sai d = −7 và số hạng cuối cùng là un = 56.
Khi đó un = u1 + (n – 1)d Û 56 = 196 – 7(n – 1) Û n = 21.
Tổng chiều dài của 21 hình chữ nhật đó là \({S_{21}} = \frac{{{u_1} + {u_{21}}}}{2}.21 = 2646\).
Diện tích của 21 bậc thang là S = 35.2546 = 92610 (cm2) = 9,261 (m2).
Tổng số tiền để làm cầu thang đó là: T = 9,261.1,25 = 11,57625 triệu đồng ≈ 12 triệu đồng.
Trả lời: 12.
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,4 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?
Kí hiệu un là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n. Khi đó, dãy số (un) là cấp số cộng với u1 = 950 và d = 1,4.
Ta có u16 = u1 + 15d = 950 + 15.1,4 = 971.
Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 16 có độ cao 971 m so với mực nước biển.
Trả lời: 971.
Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,n \ge 1\end{array} \right.\). Tìm tổng 23 số hạng đầu của dãy số (un).
Vì dãy số (un) có un + 1 = un + 2, n ³ 1 nên (un) là cấp số cộng có u1 = 4, công sai d = 2.
Vậy tổng 23 số hạng đầu của dãy số (un) là \({S_{23}} = \frac{{23}}{2}\left( {2{u_1} + 22d} \right) = \frac{{23}}{2}\left( {2.4 + 22.2} \right) = 598\).
Trả lời: 598.
Cho cấp số cộng (un), biết u5 = −3 và u7 = 9. Tìm công sai của cấp số cộng trên.
Ta có u7 = u5 + 2d Û 9 = −3 + 2d Û d = 6.
Trả lời: 6.
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành 10 hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới 1 khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có u1 = 1; d = 1; n = 10. Khi đó, tổng số khúc gỗ là
\({S_{10}} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{10.\left( {2.1 + \left( {10 - 1} \right).1} \right)}}{2} = 55\) (khúc gỗ).
Trả lời: 55.
