10 bài tập Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète có lời giải

Đáp án đúng là: D

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = –1, nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{c}{a}.\)

Đáp án đúng là: A

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x₁ = 1, nghiệm kia là \({x_2} = \frac{c}{a}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình \[\left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} + 2x - \sqrt 3 = 0\] có \(a = \sqrt 3 - 2,\,\,b = 2,\,\,c = - \sqrt 3 .\)

Ta có \(a + b + c = \sqrt 3 - 2 + 2 + \left( { - \sqrt 3 } \right) = 0.\)

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x₁ = 1, nghiệm kia là

\[{x_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 2}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{3 - 4}} = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).\]

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² – 5x + 6 = 0 có a = 1, b = –5, c = 6.

Ta có: \( - \frac{b}{a} = 5 = 2 + 3\) và \(\frac{c}{a} = 6 = 2 \cdot 3\) nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 2; x₂ = 3.

Đáp án đúng là: D

Phương trình 2x² – (m – 1)x + m – 3 = 0 có a = 2, b = – (m – 1), c = m – 3.

Ta có a + b + c = 2 – (m – 1) + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm kia là \({x_2} = \frac{{m - 3}}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Phương trình mx² + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có a = m, b = 2m + 1, c = m + 1.

Ta có: a – b + c = m – (2m + 1) + m + 1 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x₁ = –1 và nghiệm kia là \({x_2} = - \frac{{m + 1}}{m}.\)

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x² – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m nên theo hệ thức Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 4\\{x_1}{x_2} = 3m + 3\end{array} \right.\)

Ta thấy rằng có hai số m + 1 và 3 thỏa mãn m + 1 + 3 = m + 4 và (m + 1).3 = 3m + 3.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 3, x₂ = m + 1.

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² – 6x + m² – 4m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ nên theo định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = 6.

Mà x₁ = 1 nên x₂ = 6 – 1 = 5.

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x² – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = 1; x₂ = \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) (với m ≠ 2).

Để phương trình đã cho có các nghiệm đều là số nguyên thì \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) phải là số nguyên.

Ta có: \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}} = 1 + \frac{9}{{m - 2}}.\)

Với m là số nguyên khác 2, để \(\frac{{m + 7}}{{m - 2}}\) là số nguyên thì \(\frac{9}{{m - 2}},\) tức là 9 ⋮ (m – 2), hay m – 2 ∈ Ư(9) = {1; –1; 3; –3; 9; –9}.

Suy ra m ∈ {3; 1; 5; –1; 11; –7} (thỏa mãn).

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x² – (2m + 1)x + m² + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right..\)

Cách 1. Ta thấy rằng có hai số m và m + 1 thỏa mãn m + m + 1 = 2m + 1 và m.(m + 1) = m² + m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x₁ = m, x₂ = m + 1.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là:

\(x_1^2 + x_2^2 = {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2m + 1.\)

Cách 2. Ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{m^2} + m} \right)\)

\( = 4{m^2} + 4m + 1 - 2{m^2} - 2m = 2{m^2} + 2m + 1.\)