Đáp án đúng là: D

Độ dài đường sinh là: \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Ta có S_xq = πrl = π.3.5 = 15π cm².

Đáp án đúng là: A

Bán kính của hình nón là: 10 : 2 = 5 (cm).

Độ dài đường sinh là: 65π : 5π = 13 (cm).

Chiều cao của hình nón là: \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12\) cm.

Thể tích của hình nón đó là: \[\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.5^2}.12 = 100\pi \] (cm³).

Đáp án đúng là: C

Bán kính đáy của hình nón là: 18 : 2 = 9 cm.

Đường sinh của hình nón là: 135π : 9π = 15 (cm).

Do đó, chiều cao của hình nón là: \[h = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = 12\] cm.

Thể tích của khối nón là: \[\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.9^2}.12. = 324\pi \] (cm³).

Đáp án đúng là: B

Bán kính đáy của hình nón là: \[r = \sqrt {3000\pi :10\pi } = 10\sqrt 3 \] cm.

Đường sinh của hình nón là: \[l = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2} + {{10}^2}} = 20\] cm.

Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πr(l + r) = π.\[10\sqrt 3 \].(\[10\sqrt 3 \] + 20) = \[\left( {300 + 200\sqrt 3 } \right)\pi \] cm².

Đáp án đúng là: D

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AB ta được một hình nón có chiều cao AB và bán kính đường tròn đáy là cạnh AC.

Theo định lí Pythagore, ta có:

AB² + AC² = BC² nên AB² = BC² – AC² = 20² – 12² suy ra AB = 16 (cm).

Thể tích của khối nón là: V = \[\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.12^2}.16 = 768\pi \] (cm³).

Đáp án đúng là: A

Ta có đường sinh mới là: \[{l_1} = \sqrt {{{\left( {2h} \right)}^2} + {{\left( {2r} \right)}^2}} = 2l\].

Khi đó, diện tích xung quanh mới là: π.(2R).(2l) = 4πrl.

Do đó, diện tích xung quanh của hình nón tăng lên 4 lần.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC đều có AM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Ta có: AM = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Áp dụng định lí Pythagore, suy ra AM² + MC² = AC² nên

l = AC = \[\sqrt {A{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} = a\].

Do đó, diện tích toàn phần của hình tạo thành là:

S_tp = πr(l + r) = π. \[\frac{a}{2}.\left( {a + \frac{a}{2}} \right)\] = \[\frac{{3\pi {a^2}}}{4}.\]