Giải SBT Toán 9 Bài 2. Hình nón có đáp án

Bán kính đường tròn đáy là: 12 : 2 = 6 (cm).

Đường sinh của hình nón là: \[l = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = \sqrt {100} = 10\] (cm).

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S = πrl = π.6.10 = 60π ≈ 60.3,14 = 188,4 (cm²).

Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: 4a : 2 = 2a.

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S = πrl = π.2a.5a = 10πa² ≈ 10.3,14.a² = 31,4a² (đơn vị diện tích).

a) Gọi bán kính đường tròn đáy bằng r(cm) (r > 0).

Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón đó là: πr.15 = 15πr (cm³).

Theo bài, diện tích xung quanh của hình nón là 135πcm² nên ta có:

135π= 15πr, suy ra r = 9 cm.

Vậy diện tích toàn phần của hình nón đó là:

135π + π.9² = 216π(cm²).

b) Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Do đó, chiều cao của hình nón đó là:

\(h = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = \sqrt {225 - 81} = \sqrt {144} = 12\;\) (cm).

Ta có diện tích của tam giác OHA vuông tại H là \[\frac{1}{2}OH \cdot HA\] (cm²).

Theo bài, tam giác OHA vuông cân tại H có diện tích bằng 4 cm² nên \[\frac{1}{2}OH \cdot HA = 4\]

Suy ra OH.HA = 8

Do đó \[OH = HA = 2\sqrt 2 \]cm (do ∆OHA vuông cân tại H).

Xét ∆OHA vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OH² + HA²

Suy ra \[OA = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {8 + 8} = \sqrt {16} = 4\] (cm).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón đó là:

\(\pi \cdot HA \cdot OA = \pi \cdot 2\sqrt 2 \cdot 4 = 8\sqrt 2 \pi \approx 8\sqrt 2 \cdot 3,14 \approx 36\;\) (cm²).

Vì ABCD là hình chóp tứ giác đều nên AB = AC = AD = BC = CD = DB = a.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD nên bán kính R của đường tròn tâm O là \[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\]

Hình nón (N) có bán kính đáy là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và đường sinh là AB = a nên diện tích toàn phần của nó là:

\(\pi \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot a + \pi \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{3}.\)

Giả sử hình nón có bán kính đáy là r, chiều cao là h.

Khi đó thể tích của hình nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

⦁ Nếu bán kính đáy của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên chiều cao thì thể tích của hình nón đó là: \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {2r} \right)^2}h = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 4V.\]

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 4 lần. Do đó phát biểu a) là sai.

⦁ Nếu chiều cao của một hình nón tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy thì thể tích của hình nón đó là: \[{V_2} = \frac{1}{3}\pi \cdot {r^2} \cdot 2h = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 2V.\]

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 2 lần. Do đó phát biểu b) là đúng.

⦁ Nếu bán kính đáy và chiều cao của một hình nón cùng tăng lên hai lần thì thể tích của hình nón đó là: \[{V_2} = \frac{1}{3}\pi \cdot {\left( {2r} \right)^2} \cdot 2h = 8 \cdot \frac{1}{3}\pi {r^2}h = 8V.\]

Tức là thể tích lúc này của hình nón đã tăng lên 8 lần. Do đó phát biểu c) là sai.

Vậy phát biểu a) và c) là sai.

Gọi bán kính đáy của hình nón đó là r (cm) (r > 0).

Kí hiệu diện tích đáy, diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình nón đó lần lượt là S_đáy, S_tp, S_xq.

Diện tích đáy của hình nón đó là: S_đáy = πr² (cm²).

Ta có S_tp = S_xq + S_đáy.

Nên 115π= 65π + πr²

Suy ra πr² = 50π

Do đó r² = 50, từ đó suy ra \(r = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \;\) (m) (do r > 0).

Mặt khác, diện tích xung quanh của hình nón là 65πcm² nên đường sinh l của nó thỏa mãn: \(\pi \cdot 5\sqrt 2 \cdot l = 65\pi .\)

Suy ra \(l = \frac{{65\pi }}{{5\sqrt 2 \cdot \pi }} = \frac{{13\sqrt 2 }}{2}\;\) (cm).

Ta có công thức tính độ dài đường sinh qua chiều cao và bán kính đáy của hình nón là:

l² = h² + r². Suy ra h² = l² – r².

Vậy chiều cao của hình nón đó là:

\(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{13\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{169 \cdot 2}}{4} - 50} = \sqrt {\frac{{69}}{2}} \approx 6\;\) (cm).

a) Do hình nón đỉnh B và hình nón đỉnh C có cùng đáy nên ta gọi bán kính đáy của hai hình nón là: r (r > 0).

Thể tích của hình nón đỉnh B là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot BH.\]

Thể tích của hình nón đỉnh C là: \[V' = \frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot CH.\]

Tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và hình nón đỉnh C là: \[\frac{V}{{V'}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot BH}}{{\frac{1}{3}\pi {r^2} \cdot CH}} = \frac{{BH}}{{CH}}.\]

Vậy tỉ số thể tích của hình nón đỉnh B và thể tích của hình nón đỉnh C bằng tỉ số đường cao BH và đường cao CH.

b) Theo chứng minh ở câu a) ta có phát biểu đã nêu là đúng.

Lượng kem ở phía trong cốc của một chiếc kem chính là thể tích của hình nón có bán kính là \(\frac{6}{2} = 3\) cm và chiều cao là 10 cm, và bằng:

\[\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {3^2} \cdot 10 = 30\pi \;({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}).\]

Lượng kem đổ dư thêm lên phía trên miệng cốc của một chiếc kem là:

30π. 10% = 3π(cm³).

Lượng kem mà cơ sở sản xuất A cần chuẩn bị để làm ra 1 500 chiếc kem là:

(30π + 3π) .1 500 = 49 500π ≈ 49 500 . 3,14 = 155 430(cm³).

Gọi bán kính đường tròn đáy của đống cát hình nón đó là r(m) (r > 0).

Do hình nón có chu vi đáy bằng 9,42 m nên ta có 2πr = 9,42 (m).

Suy ra: \(r = \frac{{9,42}}{{2\pi }} \approx \frac{{9,42}}{{2 \cdot 3,14}} = 1,5\;\) (m).

Thể tích đống cát có dạng hình nón là:

\(\frac{1}{3}\pi {r^2}h \approx \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot 1,{5^2} \cdot 1,2 = 2,826\;\) (m³).

Thể tích thùng chứa của xe có dạng hình hộp chữ nhật là:

1,57 . 0,8 . 0,4 = 0,5024(m³).

Mỗi chuyến xe thực chở là:

0,5024.(100% – 5%) = 0,5024.95% =0,47728(m³).

Ta có: 2,826: 0,47728  ≈ 5,921.

Vậy để chuyển hết đống cát trên bác Hà cần sử dụng ít nhất 6 chuyến xe và phải dùng số tiền ít nhất là: 6 . 90 000 = 540 000 (đồng).

Một số hình ảnh hình nón trong thực tế: