10 bài tập Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó có lời giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện tồn tại hai số thực có tổng là S, tích bằng P là S² – 4P ≥ 0.

Đáp án đúng là: C

Nếu hai số x₁, x₂ có tổng là S và tích là P (với S² – 4P ≥ 0) thì x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.

Đáp án đúng là: A

Với \(u = 2 + \sqrt 3 \) và \(v = 2 - \sqrt 3 \) thì

\(u + v = \left( {2 + \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 4\) và \(uv = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 4 - 3 = 1.\)

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 4² – 4.1 = 12 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 4x + 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 7² – 4.12 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 7x + 12 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–7)² – 4.1.12 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = \frac{{7 - 1}}{{2 \cdot 1}} = 3;\,\,{x_2} = \frac{{7 + 1}}{{2 \cdot 1}} = 4.\)

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 3; v = 4 hoặc u = 4; v = 3.

Vậy có 2 cặp số (u; v) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: A

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 3² – 4.5 = –11 < 0 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 3 và uv = 5.

Vậy không có cặp số (u; v) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.

>

Đáp án đúng là: B

Ta có: (x + y)² – 4.xy = (–5)² – 4.6 = 1 > 0 nên x và y là hai nghiệm của phương trình:

X² + 5X + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = \frac{{ - 5 - 1}}{{2 \cdot 1}} = - 3;\,\,{x_2} = \frac{{ - 5 + 1}}{{2 \cdot 1}} = - 2.\)

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là x = –3; y = –2 hoặc x = –2; y = –3.

Mà x < y nên ta chọn x = –3; y = –2.

Khi đó, A = x² – 2y + y² = (–3)² – 2.(–2) + (–2)² = 17.

>

Đáp án đúng là: A

Ta có: (u + v)² = u² + 2uv + v².

Suy ra 9² = 41 + 2uv

Do đó 2uv = 40 nên uv = 20.

Ta có: (u + v)² – 4.uv = 9² – 4.20 = 1 > 0 nên u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 9x + 20 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–9)² – 4.1.20 = 1 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = \frac{{9 - 1}}{{2 \cdot 1}} = 4;\,\,{x_2} = \frac{{9 + 1}}{{2 \cdot 1}} = 5.\)

Như vậy hai số cần tìm trong trường hợp này là u = 4; v = 5 hoặc u = 5; v = 4.

Mà u < v nên u = 4 và v = 5.

Khi đó, u² – v² = 4² – 5² = –9.

>

Đáp án đúng là: C

Phương trình x² + mx – 2 = 0 có ∆ = m² – 4.1.(–2) = m² + 8 > 0 với mọi m.

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = - 2\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - m}}{{ - 2}} = \frac{m}{2}.\)

Và \(P = \frac{1}{{{x_1}}} \cdot \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{2}.\)

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( {\frac{m}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{{ - 1}}{2} = \frac{{{m^2}}}{4} + 2 > 0\] với mọi m.

Do đó, với mọi m thì ta có \(\frac{1}{{{x_1}}}\) và \(\frac{1}{{{x_2}}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \frac{m}{2}X + \frac{{ - 1}}{2} = 0\] hay 2X² – mX – 1 = 0.

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² + 5x – 3m = 0 có ∆ = 5² – 4.1.(–3m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 5\\{x_1}{x_2} = - 3m\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{2}{{x_1^2}} + \frac{2}{{x_2^2}} = \frac{{2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{x_1^2 \cdot x_2^2}} = \frac{{2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{2 \cdot \left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 3m} \right)} \right]}}{{{{\left( { - 3m} \right)}^2}}} = \frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}\) (với m ≠ 0).

Và \(P = \frac{2}{{x_1^2}} \cdot \frac{2}{{x_2^2}} = \frac{4}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( { - 3m} \right)}^2}}} = \frac{4}{{9{m^2}}}\) (với m ≠ 0).

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( {\frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{4}{{9{m^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {50 + 12m} \right)}^2} - 144{m^2}}}{{81{m^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {12m + 44} \right)}^2} + 564}}{{81{m^2}}} > 0\] với mọi m ≠ 0 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Do đó, với điều kiện m ≠ 0 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}\) thì ta có \(\frac{2}{{x_1^2}}\) và \(\frac{2}{{x_2^2}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \frac{{50 + 12m}}{{9{m^2}}}X + \frac{4}{{9{m^2}}} = 0\] hay 9m²X² – 2(6m + 25)X + 4 = 0.

Đáp án đúng là: A

Phương trình 3x² + 5x – m = 0 có ∆ = 5² – 4.3.(–m) = 25 + 12m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ ≥ 0, tức là 25 + 12m ≥ 0 hay \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂, theo định lí Viète, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 5}}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - m}}{3}\end{array} \right..\)

Ta có: \(S = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right)}^2} - 2 \cdot \frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3} + 1}} = \frac{{\frac{{2m}}{3} + \frac{{10}}{9}}}{{\frac{{ - m}}{3} - \frac{2}{3}}} = - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}\) (với m ≠ –2).

Và \(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{\frac{{ - m}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} + \frac{{ - 5}}{3} + 1}} = \frac{{\frac{{ - m}}{3}}}{{\frac{{ - m}}{3} - \frac{2}{3}}} = \frac{m}{{m + 2}}\) (với m ≠ –2).

Khi đó, \[{S^2} - 4P = {\left( { - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}} \right)^2} - 4 \cdot \frac{m}{{m + 2}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {6m + 10} \right)}^2} - 4m \cdot 9\left( {m + 2} \right)}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{48m + 100}}{{9{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} \ge 0\] với mọi m ≠ –2 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}.\)

Do đó, với điều kiện m ≠ –2 và \(m \ge - \frac{{25}}{{12}}\) thì ta có \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 1}}\) và \(\frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 1}}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \[{X^2} - \left( { - \frac{{6m + 10}}{{3m + 6}}} \right)X + \frac{m}{{m + 2}} = 0\] hay (3m + 6)X² + (6m + 10)X + 3m = 0.