10 bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số chẵn thứ nhất là x (x ∈ ℕ*).

Khi đó, số chẵn thứ hai liền sau là x + 2.

Tổng bình phương của hai số trên là x² + (x + 2)².

Vì tổng bình phương của hai số bằng 244 nên ta có phương trình:

x² + (x + 2)² = 244

x² + x² + 4x + 4 – 244 = 0

2x² + 4x – 240 = 0

x² + 2x – 120 = 0

Phương trình trên có ∆' = 1² – 1.(–120) = 121 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {121} = 11.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 1 - 11}}{1} = - 12\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 1 + 11}}{1} = 10\) (thỏa mãn).

Với x = 10, ta có số chẵn thứ nhất là 10 và số chẵn thứ hai là 12.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị là 12 – 3 = 9.

Gọi chữ số hàng trăm của số cần tìm là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9).

Chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là 9 – x.

Số tự nhiên cần tìm là: \(\overline {x3\left( {9 - x} \right)} = 100x + 30 + \left( {9 - x} \right) = 99{\rm{x}} + 39.\)

Nếu bỏ chữ số hàng trăm thì ta được số mới là: \(\overline {3\left( {9 - x} \right)} .\)

Tích của các chữ số của số mới là: 3.(9 – x) = 27 – 3x.

Theo bài, số mới có hai lần bình phương của tích của các chữ số lớn hơn số ban đầu 15 đơn vị, nên ta có phương trình:

2(27 – 3x)² = 99x + 39 + 15

2.(729 – 162x + 9x²) = 99x + 54

18x² – 423x + 1404 = 0

2x² – 47x + 156 = 0

Phương trình trên có ∆ = (–47)² – 4.2.156 = 961 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt {961} = 31.\)

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệtlà:

\({x_1} = \frac{{47 - 31}}{{2 \cdot 2}} = 4\) (thỏa mãn); \({x_2} = \frac{{47 + 31}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{39}}{2}\) (không thỏa mãn).

Với x = 4, ta có số tự nhiên ban đầu là 435.

Vậy thương của số tự nhiên ban đầu với 5 là 435 : 5 = 87.

>

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (x > 0).

Khi đó, độ dài cạnh góc vuông lớn là x + 2 (cm).

Diện tích của tam giác vuông đó là: \(\frac{1}{2}x\left( {x + 2} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + x\) (cm²).

Vì diện tích của tam giác vuông là 31,5 cm², nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{2}{x^2} + x = 31,5\]

x² + 2x – 63 = 0.

Phương trình trên có: ∆' = 1² – 1.(–63) = 64 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8.\)

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 1 - 8}}{1} = - 9\) (loại);

\({x_2} = \frac{{ - 1 + 8}}{1} = 7\) (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ là 7 cm.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là \[\frac{{720}}{x}\] (m).

Chiều dài của mảnh đất nếu tăng thêm 6 m là: x + 6 (m).

Chiều rộng của mảnh đất nếu giảm đi 4 m là: \[\frac{{720}}{x} - 4\] (m).

Diện tích của mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là: \[\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right)\] (m²).

Theo bài, nếu tăng chiều dài 6 m và giảm chiều rộng 4 m thì diện tích của mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

\[\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720\]

Giải phương trình:

\[\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720\]

\(720 - 4x + \frac{{4320}}{x} - 24 = 720\)

4x² + 24x – 4320 = 0

x² + 6x – 1080 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 3² – 1.(–1080) = 1089 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1089} = 33.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 3 - 33}}{1} = - 36\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 3 + 33}}{1} = 30\) (thỏa mãn).

Vậy chiều dài mảnh đất là 30 m.

Đáp án đúng là: A

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày) (x > 4).

Thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 6 (ngày).

Trong 1 ngày, đội I làm một mình được \(\frac{1}{x}\) (công việc), đội II làm một mình được \(\frac{1}{{x + 6}}\) (công việc).

Như vậy, trong 1 ngày, hai đội cùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}}\) (công việc).

Theo bài, hai đội cùng làm thì trong 4 ngày xong việc nên trong 1 ngày, hai đội cùng làm được \(\frac{1}{4}\) (công việc).

Ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{x + 6}} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{x + 6 + x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{{2x + 6}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{1}{4}\)

x(x + 6) = 4.(2x + 6)

x² + 6x – 8x – 24 = 0

x² – 2x – 24 = 0.

Phương trình trên có ∆' = (–1)² – 1.(–24) = 25 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5.\)

Do đó phương trình trên có:

\({x_1} = \frac{{1 - 5}}{1} = - 4\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{1 + 5}}{1} = 6\) (thỏa mãn).

Vậy đội I làm một mình xong công việc trong 6 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi số đèn lồng nhóm thợ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (đèn) (x > 0).

Theo kế hoạch, nhóm thợ cần làm hết 1200 chiếc đèn trong \(\frac{{1200}}{x}\) (ngày).

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch, nhóm thợ làm được 12x (đèn).

Số đèn còn lại sau 12 ngày đó là 1200 – 12x (đèn).

Sau khi có thêm người, mỗi ngày nhóm thợ làm được x + 20 (đèn).

Thời gian làm số đèn còn lại là \(\frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}}\) (ngày).

Theo bài, nhóm thợ hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2\)

\[\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} = 14\]

\[\frac{{1200\left( {x + 20} \right) - x\left( {1200 - 12x} \right)}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14\]

\[\frac{{12{x^2} + 2\,\,4000}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14\]

12x² + 24 000 = 14x(x + 20)

12x² + 24 000 = 14x² + 280x

2x² + 280x – 24 000 = 0

x² + 140x – 12 000 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 70² – 1.(–12 000) = 16 900 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16\,\,900} = 130.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 70 - 130}}{1} = - 200\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 70 + 130}}{1} = 60\) (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày nhóm thộ phải làm 60 chiếc đèn lồng.

Đáp án đúng là: D

Đổi 20 phút \[ = \frac{1}{3}\] giờ.

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x (km/h) (x > 3).

Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng là: x + 3 (km/h).

Vận tốc của ca nô lúc ngược dòng là: x – 3 (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là \[\frac{{15}}{{x + 3}}\] (giờ).

Thời gian ca nô ngược dòng từ B về A là \[\frac{{15}}{{x - 3}}\] (giờ).

Theo bài, thời gian một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, tại bến B nghỉ 20 phút rồi ngược dòng từ bến B trở về bến A tổng cộng là 3 giờ nên ta có phương trình:

\[\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} + \frac{1}{3} = 3.\]

Giải phương trình:

\[\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} + \frac{1}{3} = 3\]

\[\frac{{15}}{{x + 3}} + \frac{{15}}{{x - 3}} = \frac{8}{3}\]

\[\frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{8}{{45}}\]

\[\frac{{x - 3 + x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{8}{{45}}\]

\[\frac{{2x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{8}{{45}}\]

8(x² – 9) = 45.2x

4x² – 45x – 36 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–45)² – 4.4.(–36) = 2601 > 0 và \(\sqrt \Delta = \sqrt {2601} = 51.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{45 - 51}}{{2 \cdot 4}} = - 0,75\) (không thỏa mãn);

\({x_1} = \frac{{45 + 51}}{{2 \cdot 4}} = 12\) (thỏa mãn).

Khi đó, vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h nên vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là: 12 + 3 = 15 (km/h).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) (x > 0).

Khi đó, vận tốc xe ô tô là x + 20 (km/h).

Sau khi hai xe gặp nhau (gọi là điểm C), xe máy đi 1 giờ 30 phút (tức 1,5 giờ) nữa mới đến B nên quãng đường từ C đến B là: 1,5x (km).

Thời gian xe ô tô đi từ lúc khởi hành từ B đến C là: \(\frac{{1,5x}}{{x + 20}}\) (giờ).

Do đó, quãng đường từ A đến C là: 100 – 1,5x (km), nên thời gian xe máy đi từ lúc khởi hành từ A đến C là: \(\frac{{100 - 1,5x}}{x}\) (giờ).

Vì hai xe cùng xuất phát và cùng gặp nhau nên ta có phương trình:

\(\frac{{100 - 1,5x}}{x} = \frac{{1,5x}}{{x + 20}}.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{100 - 1,5x}}{x} = \frac{{1,5x}}{{x + 20}}\)

(100 – 1,5x)(x + 20) = x.1,5x

100x + 2 000 – 1,5x² – 30x = 1,5x²

3x² – 70x – 2 000 = 0

Phương trình trên có ∆' = (–35)² – 3.(–2 000) = 7225 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {7255} = 85.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{35 - 85}}{3} = - \frac{{50}}{3}\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{35 + 85}}{3} = 40\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h; vận tốc của xe ô tô là 40 + 20 = 60 (km/h).

Đáp án đúng là: B

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là x (g/cm³) (x > 0).

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là x + 1 (g/cm³).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: \(\frac{{880}}{{x + 1}}\) (cm³).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: \(\frac{{858}}{x}\) (cm³).

Theo bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm³, nên ta có phương trình:

\(\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{858}}{x} - \frac{{880}}{{x + 1}} = 10\)

\[\frac{{858\left( {x + 1} \right) - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10\]

\[\frac{{858x + 858 - 880x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 10\]

\[\frac{{858 - 22x}}{{{x^2} + x}} = 10\]

10(x² + x) = 858 – 22x

10x² + 10x = 858 – 22x

10x² + 32x – 858 = 0

5x² + 16x – 429 = 0

Phương trình trên có:

∆' = 8² – 5.(–429) = 2209 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {2209} = 47.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 8 - 47}}{5} = - 11\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 8 + 47}}{5} = 7,8\) (thỏa mãn).

Khi đó, khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 g/cm³ và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 7,8 + 1 = 8,8 (g/cm³).

Đáp án đúng là: C

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là x (%/năm) (x > 0).

Số tiền lãi bác Ba phải trả sau 1 năm gửi 100 triệu đồng là 100.x% = x (triệu đồng).

Số tiền bác Ba phải trả sau 1 năm là 100 + x (triệu đồng).

Do số tiền lãi của năm đầu được tính gộp vào tiền vốn để tính lãi năm sau nên số tiền lãi bác Ba phải trả sau 2 năm là: \[\left( {100 + x} \right) \cdot x\% = \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}\] (triệu đồng).

Số tiền cả gốc lẫn lãi sau 2 năm bác Ba phải trả là: \(100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}}\) (triệu đồng).

Hết 2 năm, bác Ba phải trả tất cả là 121 triệu đồng nên ta có phương trình:

\[100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121\]

Giải phương trình:

\[100 + x + \frac{{\left( {100 + x} \right)x}}{{100}} = 121\]

10 000 + 100x + 100x + x² = 12 100

x² + 200x – 2 100 = 0

Phương trình trên có ∆' = 100² – 1.(–2 100) = 12 100 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {12\,\,100} = 110.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 100 - 110}}{1} = - 210\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 100 + 110}}{1} = 10\) (thỏa mãn).

Vậy lãi suất của ngân hàng đó là 10%/năm.