Trắc nghiệm Nguyên hàm lớp 12 (có đáp án - phần 3)

Chọn C

\[\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{e^x}\left( {2017 - \frac{{2018{e^{ - x}}}}{{{x^5}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {2017{e^x} - \frac{{2018}}{{{x^5}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2017{e^x} + \frac{{504,5}}{{{x^4}}} + C\]

Chọn C

Ta có: \(\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in \mathbb{R}\).

Chọn D

Ta có \(\int {{e^x}{\rm{d}}x = {e^x} + C} \).

Chọn C

Ta có\(\int {(1 + {e^{2x}})dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C.} \)

Chọn C

Ta có: \[\int {\left( {{e^x} + {e^{ - 2x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {{e^x}{\rm{d}}x}  + \int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}x}  = \int {{e^x}{\rm{d}}x}  - \frac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}\left( { - 2x} \right)}  = {e^x} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + C\].

Chọn D

Ta có: \[\int {{{\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \int {\frac{{1 + \cos x}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int {{\rm{d}}x} + \frac{1}{2}\int {\cos x{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\sin x + C\].

Chọn B

Ta có \[\int {\left( {{5^{2x}} - 6{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}} \right){\rm{d}}x} = \int {{{25}^x}{\rm{d}}x} + 12\int {{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}}d\left( { - \frac{x}{2}} \right)} = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + 12{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C = \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + 12{{\rm{e}}^{ - \frac{x}{2}}} + C\].

Chọn D

\(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C;\;F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).

Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).

Chọn B

\[F\left( x \right) = \int {\left( {{2^x} + x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + C.\]

\(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \frac{1}{{\ln 2}}{2^0} + \frac{1}{2}{0^2} + 0 + C \Rightarrow C = 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\)

\[ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^x} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 1 - \frac{1}{{\ln 2}}\]

\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}{2^{ - 1}} + \frac{1}{2} - 1 + 1 - \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2\ln 2}}\)

Chọn C

Có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){\rm{d}}x} = - \cos x + \sin x + C\)

Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Leftrightarrow C = 1\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 1\).

Chọn A

Ta có \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right){\rm{d}}x} = {e^x} + {x^2} + C\)

Theo bài ra ta có: \(F\left( 0 \right) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}\).

Chọn A

Ta có:

\[\int {\left( {2x - 1} \right){\rm{d}}x = {x^2} - x + {c_1}} \];

\[\int {\left( {3{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} = {x^3} - 2x + {c_2}\]

Suy ra \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + {C_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + {C_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\]

Mà ta có \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]

Mặt khác hàm số \[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[y = F\left( x \right)\] liên tục tại \[x = 1\]

Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) \Rightarrow {C_1} = 1\].

Khi đó ta có: \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ge 1\\{x^3} - 2x + 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} & {\rm{khi}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x < 1\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 3\\F\left( 2 \right) = 3\end{array} \right..\]

Vậy \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 9\].

Chọn D

Khi \(x \ge 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {(2x + 3)} dx = {x^2} + 3x + {C_1}\)

Khi \(x < 1\) thì \(F(x) = \int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} + 2} \right)} dx = {x^3} + 2x + {C_2}\)

Theo giả thiết \(F(0) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 5\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\).

Suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(F(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x) \Rightarrow {C_1} + 4 = {C_2} + 3 \Rightarrow {C_1} = 1\)

Vậy \(F( - 1) + 2F(2) = - 3 + {C_2} + 2\left( {10 + {C_1}} \right) = 21\)

Chọn A

\[F\] là nguyên hàm của \[f\] trên \[\mathbb{R}\] nên \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + {C_1}\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].

Ta có: \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {C_2} = 2\]. \(\left( 1 \right)\)

Do \[F\] liên tục tại \[x = 1\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\]

\[ \Leftrightarrow {C_1} + 3 = {C_2} + 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {C_1} + 3 = 4 \Leftrightarrow {C_1} = 1\].

Do đó \[F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1\\{x^3} + x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\].

Suy ra \[F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 18\].

Chọn B

Ta có: \[f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R}\]\[ \Rightarrow \]\[f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + {C_1}\].

Mà \[f\left( 1 \right) = 3\]\[ \Rightarrow \]\[3 = 6 + {C_1}\]\[ \Rightarrow \]\[{C_1} = - 3\]\[ \Rightarrow \]\[f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x - 3\]\[ \Rightarrow \]\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + {C_2}\].

Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow \]\[{C_2} = 2\]\[ \Rightarrow \]\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^2} - 3x + 2\].

Khi đó: \[F\left( 1 \right) = 1\].

Cách khác: Ta có: \[F\left( 1 \right) = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + F\left( 0 \right) = \int\limits_0^1 {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right){\rm{d}}x} + 2 = - 1 + 2 = 1\].

Chọn C

Ta có \(f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} = 3x + 5\cos x + C\)

Theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = 10\) nên \(5 + C = 10 \Rightarrow C = 5\).

Vậy \(f\left( x \right) = 3x + 5\cos x + 5.\)

Chọn D

Ta có: \[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}} x\]\[ = \int {\left( {{\rm{2}}{{\rm{e}}^{2x}} + 1} \right){\rm{d}}} x\]\[ = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C\].

Suy ra \[f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + C\].

Theo bài ra ta có: \[f\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow 1 + C = 2\]\[ \Leftrightarrow C = 1\].

Vậy: \[f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{2x}} + x + 1\].

Chọn C

Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {2 - 5\sin x} \right){\rm{d}}x\, = 2x + 5\cos x + C} \).

Mà \(f\left( 0 \right) = 10\) nên \(5 + C = 10 \Rightarrow C = 5\).

Vậy \(f\left( x \right) = 2x + 5\cos x + 5\).

Chọn D

Ta có:                                                                                         

\(v\left( t \right) = - 40t + 20\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {\left( { - 40t + 20} \right)} dt = - 20{t^2} + 20t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = - 20{t^2} + 20t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 40t + 20 = 0 \Rightarrow t = 0,5\).

từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được: \(s\left( {0,5} \right) = - 20{\left( {0,5} \right)^2} + 20\left( {0,5} \right) = 5m\)

Chọn D

Ta có:

\(v\left( t \right) = 3{t^2} + 5\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + 5} \right)} dt = {t^3} + 5t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) = {t^3} + 5t\)

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 là: \(s\left( 4 \right) = {4^3} + 5.4 = 84m\)

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 10 là: \(s\left( {10} \right) = {10^3} + 5.10 = 1050m\)

Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là: \[s\left( {10} \right) - s\left( 4 \right) = 966m\]

Chọn B

Chọn D

Chọn D

Chọn B

Chọn B

Chọn C

Ta có :

\(h'\left( t \right) = 10t + 500\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t\)

thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

\(h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^3}\left( {{m^3}} \right)\)

Chọn A

Ta có :

\(h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C\]

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}\]

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : \[h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150\]

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :\[h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100\]

Ta có hệ : \[\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}\]

thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là \[h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400{m^3}\]

Chọn D

Ta có :

\(h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{t}} dx = \frac{1}{5}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{5}\frac{{{t^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C\)

Chọn \(t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t}\)

mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: \(h\left( 6 \right) = \frac{3}{{20}}.6\sqrt[3]{6} \approx 1,64m\)

Chọn D

Ta có :

\(N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}\)

\( \Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C\)

\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C\)

Chọn \(t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000\)

\( \Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000\)

số lượng vi rút sau 10 ngày là: \(N\left( {10} \right) = 1000.\ln 10 + 250000 \approx 252302\)