Bài tập Nguyên hàm của hàm số lượng giác lớp 12 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x là \(\int {\cos } xdx\) = sin x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là \(\int {\sin } xdx\) = −cos x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) là \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx\) = tan x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\) = −cot x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Sử dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu: \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx\) = \(\int f (x)dx - \int g (x)dx\).

Ta có: \(\int {(\cos x - \sin x)} dx\) = \(\int {\cos } xdx - \int {\sin } xdx\) = sin x − (−cos x) + C = sin x + cos x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Ta có biến đổi: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

b) Sai. Theo công thức nguyên hàm cơ bản, \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\) = −cot x + C. Do đó một nguyên hàm của g(x) phải là −cot x.

c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng:

\(\int f (x)dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\) = tan x − cot x + C.

d) Đúng. Khi F(x) = tan x − cot x + C,

thay x = \(\frac{\pi }{4}\) ta được \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = tan \(\frac{\pi }{4}\) − cot \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1 − 1 + C = C.

Do đó C = 2, suy ra F(x) = tan x − cot x + 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Vì F'(x) = (2sin x + x)' = 2cos x + 1 = f(x).

b) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm.

c) Sai. Vì \(\int {(2\cos x + 1)} dx\) = 2sin x + x + C.

d) Đúng. Thay x = 0 vào f(x) ta được: f(0) = 2cos(0) + 1 = 2·1 + 1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Vì F'(x) = (−cos x − sin x)' = sin x − cos x = f(x).

b) Sai. Vì \(\int {(\sin x - \cos x)} dx\) = −cos x − sin x + C.

c) Sai. G'(x) = (cos x + sin x)' = −sin x + cos x. Biểu thức này không bằng f(x).

d) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. \(\int 3 \sin xdx\) = 3\(\int {\sin } xdx\) = 3(−cos x) + C = −3cos x + C.

b) Sai. Vì (3cos x)' = −3sin x ≠ f(x).

c) Đúng. Theo tính chất của họ nguyên hàm.

d) Đúng. Vì F'(x) = (−3cos x + 5)' = 3sin x = f(x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. \(\int {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x)} dx\) = \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\sin } xdx\) = tan x − cos x + C.

b) Sai. Vì đạo hàm của (tan x + cos x) là \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \sin x\).

c) Đúng. Vì F'(x) = (tan x − cos x + 10)' = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x = f(x)\).

d) Đúng. f(0) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}0}} + \sin 0\) = 1 + 0 = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có F(x) = \(\int {\cos } xdx\) = sin x + C.

Vì F(0) = 1 nên sin 0 + C = 1, suy ra C = 1.

Khi đó, F(x) = sin x + 1.

Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = sin \(\frac{\pi }{2}\) + 1 = 1 + 1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Ta có F(x) = \(\int {\sin } xdx\) = −cos x + C.

Vì F(0) = 2 nên −cos 0 + C = 2, suy ra −1 + C = 2 nên C = 3.

Khi đó, F(x) = −cos x + 3.

Vậy F(π) = −cos π + 3 = −(−1) + 3 = 1 + 3 = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Ta biến đổi hàm số: f(x) = 2\({\tan ^2}x\) + 2 = 2(1 + \({\tan ^2}x\)) = \(\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\).

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} dx\) = 2tan x + C.

Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 5 nên 2tan \(\frac{\pi }{4}\) + C = 5.

Vì tan \(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên 2·1 + C = 5, suy ra C = 3.

Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = 2tan x + 3.

Giá trị của F(0) = 2tan 0 + 3 = 2·0 + 3 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Áp dụng công thức nhân đôi của cosin, ta có biến đổi:

f(x) = \( - \left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\) = −cos x.

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {( - \cos x)} dx\) = −sin x + C.

Theo giả thiết F(π) = 1 nên −sin π + C = 1.

Vì sin π = 0 nên 0 + C = 1, suy ra C = 1.

Vậy F(x) = −sin x + 1.

Giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = −sin \(\frac{\pi }{2}\) + 1 = −1 + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Sử dụng công thức nhân đôi cos 2x = \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x\), ta có biến đổi:

f(x) = \(\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx\) = −cot x − tan x + C.

Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 1 nên −cot \(\frac{\pi }{4}\) − tan \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1.

Vì cot \(\frac{\pi }{4}\) = 1 và tan \(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên −1 − 1 + C = 1, suy ra −2 + C = 1 nên C = 3.