Bài tập Nguyên hàm của hàm số lượng giác lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Cho hàm số f(x) = 1 + sinx. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = x - \cos x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = x + \sin x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = x + \cos x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = \cos x + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x - \cos x + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = x + \tan x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = x + \cot x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = x - \tan x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = x - \cot x + C\).
Đáp án đúng là: C
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = x - \tan x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 6x là
sinx + 3x2 + C;
−sinx + 3x2 + C;
sinx + 6x2 + C;
−sinx + C.
Đáp án đúng là: A
Có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\cos x + 6x} \right)dx} = \sin x + 3{x^2} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx + 3x.
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C\);
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = 2\cos x + 3{x^2} + C\);
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = {\sin ^2}x + \frac{3}{2}x + C\);
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = \sin 2x + \frac{3}{2}{x^2} + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sin x\) là
lnx – cosx + C;
\( - \frac{1}{{{x^2}}} - \cos x + C\);
ln|x| + cosx + C;
ln|x| − cosx + C.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {\frac{1}{x} + \sin x} \right)} dx = \ln \left| x \right| - \cos x + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = \frac{1}{2}\sin x + C\);
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = \frac{1}{2}\cos x + C\);
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = - \frac{1}{2}\sin x + C\);
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = - \frac{1}{2}\cos x + C\).
Đáp án đúng là: D
\(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = \frac{1}{2}\int {\sin xdx} = - \frac{1}{2}\cos x + C\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3\cos x - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin x - 2\ln \left| x \right| - 4\cot x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin x - 2\ln x - 4\cot x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin x - 2\ln x + 4\cot x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = - 3\sin x - 2\ln x - 4\cot x + C\).
Đáp án đúng là: A
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3\cos x - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 3\sin x - 2\ln \left| x \right| - 4\cot x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx + cosx là
F(x) = sinx + cosx + C;
F(x) = sinx – cosx + C;
F(x) = −sinx + cosx + C;
F(x) = −sinx – cosx + C.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4sin2x là
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{4{{\sin }^3}x}}{3} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x - \sin 2x + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{{\cos 2x}}{2} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2x - 2\sin 2x + C\).
Đáp án đúng là: B
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {4{{\sin }^2}xdx = } \int {\left( {2 - 2\cos 2x} \right)} = 2x - \sin 2x + C\).
Cho hàm số f(x) = 2cos[2(x + π)] – 3x2. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right)dx} = 2\sin \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - {x^3} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = \sin 2x - {x^3} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = - \sin \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - {x^3} + C\);
\(\int {f\left( x \right)dx} = - 4\sin \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - 6x + C\).
Đáp án đúng là: B
Ta có
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left[ {2\cos \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - 3{x^2}} \right]dx} \)
\( = \int {\left[ {2\cos \left( {2x + 2\pi } \right) - 3{x^2}} \right]dx} = \int {\left( {2\cos 2x - 3{x^2}} \right)dx} = \sin 2x - {x^3} + C\).
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x.
\(\int f (x)dx\) = sin x + C.
\(\int f (x)dx\) = −sin x + C.
\(\int f (x)dx\) = cos x + C.
\(\int f (x)dx\) = −cos x + C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x là \(\int {\cos } xdx\) = sin x + C.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x.
\(\int f (x)dx\) = cos x + C.
\(\int f (x)dx\) = −cos x + C.
\(\int f (x)dx\) = sin x + C.
\(\int f (x)dx\) = −sin x + C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x là \(\int {\sin } xdx\) = −cos x + C.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) trên các khoảng mà hàm số xác định.
\(\int f (x)dx\) = tan x + C.
\(\int f (x)dx\) = −tan x + C.
\(\int f (x)dx\) = cot x + C.
\(\int f (x)dx\) = −cot x + C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) là \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx\) = tan x + C.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) trên các khoảng mà hàm số xác định.
\(\int f (x)dx\) = tan x + C.
\(\int f (x)dx\) = −tan x + C.
\(\int f (x)dx\) = cot x + C.
\(\int f (x)dx\) = −cot x + C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\) = −cot x + C.
Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x − sin x là:
F(x) = sin x + cos x + C.
F(x) = sin x − cos x + C.
F(x) = −sin x − cos x + C.
F(x) = −sin x + cos x + C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Sử dụng tính chất nguyên hàm của một hiệu: \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx\) = \(\int f (x)dx - \int g (x)dx\).
Ta có: \(\int {(\cos x - \sin x)} dx\) = \(\int {\cos } xdx - \int {\sin } xdx\) = sin x − (−cos x) + C = sin x + cos x + C.
Xét việc tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Ta có phân tích f(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
Một nguyên hàm của hàm số g(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là hàm số cot x.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là \(\int f (x)dx\) = tan x − cot x + C.
Hàm số F(x) = tan x − cot x + 2 là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có biến đổi: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
b) Sai. Theo công thức nguyên hàm cơ bản, \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\) = −cot x + C. Do đó một nguyên hàm của g(x) phải là −cot x.
c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng:
\(\int f (x)dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\) = tan x − cot x + C.
d) Đúng. Khi F(x) = tan x − cot x + C,
thay x = \(\frac{\pi }{4}\) ta được \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = tan \(\frac{\pi }{4}\) − cot \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1 − 1 + C = C.
Do đó C = 2, suy ra F(x) = tan x − cot x + 2.
Cho hàm số f(x) = 2cos x + 1. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Một nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = 2sin x + x.
Đạo hàm của hàm số F(x) = 2sin x + x là f(x) = 2cos x + 1.
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là \(\int f (x)dx\) = −2sin x + x + C.
Tại x = 0, giá trị của f(0) = 3.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì F'(x) = (2sin x + x)' = 2cos x + 1 = f(x).
b) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm.
c) Sai. Vì \(\int {(2\cos x + 1)} dx\) = 2sin x + x + C.
d) Đúng. Thay x = 0 vào f(x) ta được: f(0) = 2cos(0) + 1 = 2·1 + 1 = 3.
Xét hàm số f(x) = sin x − cos x. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Hàm số F(x) = −cos x − sin x là một nguyên hàm của f(x).
\(\int f (x)dx\) = cos x + sin x + C.
Đạo hàm của hàm số G(x) = cos x + sin x là f(x).
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F'(x) = f(x).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Vì F'(x) = (−cos x − sin x)' = sin x − cos x = f(x).
b) Sai. Vì \(\int {(\sin x - \cos x)} dx\) = −cos x − sin x + C.
c) Sai. G'(x) = (cos x + sin x)' = −sin x + cos x. Biểu thức này không bằng f(x).
d) Đúng. Theo định nghĩa nguyên hàm.
Cho hàm số f(x) = 3sin x. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
\(\int f (x)dx\) = −3cos x + C.
Hàm số F(x) = 3cos x là một nguyên hàm của f(x).
Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = −3cos x + C đều là nguyên hàm của f(x).
F(x) = −3cos x + 5 là một nguyên hàm của f(x).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\int 3 \sin xdx\) = 3\(\int {\sin } xdx\) = 3(−cos x) + C = −3cos x + C.
b) Sai. Vì (3cos x)' = −3sin x ≠ f(x).
c) Đúng. Theo tính chất của họ nguyên hàm.
d) Đúng. Vì F'(x) = (−3cos x + 5)' = 3sin x = f(x).
Cho hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
\(\int f (x)dx\) = tan x − cos x + C.
Một nguyên hàm của f(x) là F(x) = tan x + cos x.
Hàm số F(x) = tan x − cos x + 10 là một nguyên hàm của f(x).
Tại x = 0, giá trị của f(0) = 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. \(\int {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x)} dx\) = \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int {\sin } xdx\) = tan x − cos x + C.
b) Sai. Vì đạo hàm của (tan x + cos x) là \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \sin x\).
c) Đúng. Vì F'(x) = (tan x − cos x + 10)' = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \sin x = f(x)\).
d) Đúng. f(0) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}0}} + \sin 0\) = 1 + 0 = 1.
Cho hàm số f(x) = cos x. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(0) = 1. Tính giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
Ta có F(x) = \(\int {\cos } xdx\) = sin x + C.
Vì F(0) = 1 nên sin 0 + C = 1, suy ra C = 1.
Khi đó, F(x) = sin x + 1.
Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = sin \(\frac{\pi }{2}\) + 1 = 1 + 1 = 2.
Cho hàm số f(x) = sin x. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(0) = 2. Tính giá trị của F(π).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Ta có F(x) = \(\int {\sin } xdx\) = −cos x + C.
Vì F(0) = 2 nên −cos 0 + C = 2, suy ra −1 + C = 2 nên C = 3.
Khi đó, F(x) = −cos x + 3.
Vậy F(π) = −cos π + 3 = −(−1) + 3 = 1 + 3 = 4.
Cho hàm số f(x) = 2\({\tan ^2}x\) + 2. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 5. Tính giá trị của F(0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Ta biến đổi hàm số: f(x) = 2\({\tan ^2}x\) + 2 = 2(1 + \({\tan ^2}x\)) = \(\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\).
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} dx\) = 2tan x + C.
Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 5 nên 2tan \(\frac{\pi }{4}\) + C = 5.
Vì tan \(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên 2·1 + C = 5, suy ra C = 3.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = 2tan x + 3.
Giá trị của F(0) = 2tan 0 + 3 = 2·0 + 3 = 3.
Cho hàm số f(x) = \({\sin ^2}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}\). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên tập số thực thỏa mãn F(π) = 1. Tính giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
Áp dụng công thức nhân đôi của cosin, ta có biến đổi:
f(x) = \( - \left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\) = −cos x.
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {( - \cos x)} dx\) = −sin x + C.
Theo giả thiết F(π) = 1 nên −sin π + C = 1.
Vì sin π = 0 nên 0 + C = 1, suy ra C = 1.
Vậy F(x) = −sin x + 1.
Giá trị của \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = −sin \(\frac{\pi }{2}\) + 1 = −1 + 1 = 0.
Cho hàm số f(x) = \(\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 1. Tính giá trị của hằng số C trong biểu thức F(x).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 3
Sử dụng công thức nhân đôi cos 2x = \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x\), ta có biến đổi:
f(x) = \(\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
Khi đó họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx\) = −cot x − tan x + C.
Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 1 nên −cot \(\frac{\pi }{4}\) − tan \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1.
Vì cot \(\frac{\pi }{4}\) = 1 và tan \(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên −1 − 1 + C = 1, suy ra −2 + C = 1 nên C = 3.
Bạn có thích hoạt động này không?
