Bài tập Tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp (dùng bảng nguyên hàm) lớp 12 (có lời giải)

\(\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + C\) trên \(\mathbb{R}\).

f) \(\int {\sqrt x } \;{\rm{d}}x = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{3} = \frac{{2x\sqrt x }}{3} + C\).

Hàm só́ \(f(x)\) cân tìm là một nguyên hàm của hảm số \({f^\prime }(x) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\).

Ta có: \(\int {\left( {2x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 x\;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = {x^2} - \frac{1}{x} + C.\)

Do đó, hàm só́ \(f(x)\) có dạng \(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + C,x \in (0; + \infty )\).

Theo già thiết, \(f(1) = {1^2} - 1 + C = 1\) nên \(C = 1\) và \(f(x) = {x^2} - \frac{1}{x} + 1,x \in (0; + \infty )\).

Đáp số: \(f(4) = \frac{{67}}{4}\).

\(\int {{e^{2x}}} \;{\rm{d}}x = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{e^{2x}}}}{{\ln {e^2}}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).

\(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)} {\rm{d}}x =  - \frac{1}{4}\int {\cos } x\;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{4}\left( {\sin x + {C_1}} \right) =  - \frac{1}{4}\sin x + C\left( {C =  - \frac{{{C_1}}}{4}} \right)\);

\(\int {{2^{2x + 1}}} \;{\rm{d}}x = 2\int {{4^x}} \;{\rm{d}}x = 2\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + {C_1}} \right) = \frac{{{4^x}}}{{\ln 2}} + C\left( {C = 2{C_1}} \right)\).

\(\int {{{(2x + 1)}^3}} \;{\rm{d}}x = \int {\left( {8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1} \right)} {\rm{d}}x = 8\int {{x^3}} \;{\rm{d}}x + 12\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + 6\int x \;{\rm{d}}x + \int 1 \;{\rm{d}}x\) \( = 2{x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} + x + C\).

\(\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {{x^3}} \;{\rm{d}}x + 2\int {{x^{ - \frac{3}{5}}}} \;{\rm{d}}x = 3 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} + 2 \cdot \frac{{{x^{\frac{2}{5}}}}}{{\frac{2}{5}}} + C = \frac{{3{x^4}}}{4} + 5\sqrt[5]{{{x^2}}} + C\);

\(\int {{x^5}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^6}}}{6} + C\);

\(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \;{\rm{d}}x = \int {{x^{ - \frac{2}{3}}}} \;{\rm{d}}x = 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C(x > 0)\);

\(\int {{7^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\)

\(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}} \;{\rm{d}}x = \int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{5}}} + C = \frac{{{3^x}}}{{(\ln 3 - \ln 5){5^x}}} + C\).

\(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)} {\rm{d}}x = 2\int {{x^5}} \;{\rm{d}}x + 3\int {\rm{d}} x = \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C\);

 \(\int {(5\cos x - 3\sin x)} {\rm{d}}x = 5\int {\cos } x\;{\rm{d}}x - 3\int {\sin } x\;{\rm{d}}x = 5\sin x + 3\cos x + C\);

\(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)} {\rm{d}}x{\rm{ }} = \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x - 2\int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot {x^{\frac{3}{2}}} - 2\ln x + C = \frac{1}{3}x\sqrt x  - 2\ln x + C(x > 0)\)

\(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x{\rm{ }} = \frac{1}{{{e^2}}}\int {{e^x}} \;{\rm{d}}x - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{e^x}}}{{{e^2}}} + 2\cot x + C = {e^{x - 2}} + 2\cot x + C\)

\(\int x {(2x - 3)^2}\;{\rm{d}}x = \int {\left( {4{x^3} - 12{x^2} + 9x} \right)} {\rm{d}}x\)\( = 4\int {{x^3}} \;{\rm{d}}x - 12\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + 9\int x \;{\rm{d}}x = {x^4} - 4{x^3} + \frac{{9{x^2}}}{2} + C\)

\(\int {{{\sin }^2}} \frac{x}{2}\;{\rm{d}}x = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}} \;{\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\rm{d}} x - \int {\cos } x\;{\rm{d}}x} \right) = \frac{1}{2}(x - \sin x) + C\)

\(\int {{{\tan }^2}} x\;{\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x - \int {\rm{d}} x = \tan x - x + C\)

\(\int {{2^{3x}}}  \cdot {3^x}\;{\rm{d}}x = \int 2 {4^x}\;{\rm{d}}x = \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C\)

\(\int  -  \frac{3}{2}{x^2}dx =  - \frac{3}{2}\int {{x^2}} dx =  - \frac{3}{2} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + C =  - \frac{1}{2}{x^3} + C\).

\(\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = 2\sin x + 3\cot x + C\).

Biến đối \(4{\sin ^2}\frac{x}{2} = 4 \cdot \frac{{1 - \cos x}}{2} = 2(1 - \cos x)\).

Đáp số: \(\int 4 {\sin ^2}\frac{x}{2}\;{\rm{d}}x = 2(x - \sin x) + C\).

\(\int {\left( {{x^2} + x} \right)} {\rm{d}}x = \int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + \int x \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).

Biến đời \({\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2} = 1 - \sin x\).

Đáp số: \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = x + \cos x + C\).

\(\int {\left( {4{x^3} - 3{x^2}} \right)} dx = 4\int {{x^3}} dx - 3\int {{x^2}} dx = {x^4} - {x^3} + C\).

 Sử dụng còng thức biến đôi \(1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) ta được

\(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = \int x \;{\rm{d}}x - \int {\rm{d}} x + \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \;{\rm{d}}x.\)

Đáp số: \(\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} - x + \tan x + C\).

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta đà biết hệ số góc tiếp tuyến của đô thị \(({\rm{C}})\) tại điém \(M(x;f(x)) \in (C)\) là \({k_M} = {f^\prime }(x)\). Do đó, hàm só́ \(f(x)\) có đạo hàm \({f^\prime }(x) = {(x - 1)^2}\). Vì \(f(0) = 0\) ta được \(f(x) = \frac{{{{(x - 1)}^3} + 1}}{3}\) là hàm số cần tìm.

\(\int {{{(2x - 1)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{(2x - 1)}^3}}}{6} + C\).

\(\int {\sqrt x } dx = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{\frac{1}{2}1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x  + C\).

\(\int {\frac{1}{{{x^3}}}} \;{\rm{d}}x = \int {{x^{ - 3}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C =  - \frac{1}{2}{x^{ - 2}} + C =  - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).

\(\int {\left( {2{x^2} + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} {\rm{d}}x = \int 2 {x^2}\;{\rm{d}}x + \int {\frac{3}{{\sqrt x }}} \;{\rm{d}}x = 2\int {{x^2}} \;{\rm{d}}x + 3\int {\frac{1}{{\sqrt x }}} \;{\rm{d}}x = \frac{2}{3}{x^3} + 6\sqrt x  + C\).

\(\int {\frac{1}{{{x^4}}}} \;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{{3{x^3}}} + C\);

\(\int x \sqrt x \;{\rm{d}}x = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + C\);

\(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)} {\rm{d}}x = 3\ln |x| - \frac{{15x\sqrt[3]{x}}}{4} + C\).

\(\int {\left( {2\cos x - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)} dx = 2\int {\cos } xdx - \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = 2\sin x - \tan x + C\).

\(\int {(3\cos x - 4\sin x)} {\rm{d}}x = 3\sin x + 4\cos x + C{\rm{; }}\)

\(\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} {\rm{d}}x = \tan x + \cot x + C{\rm{. }}\)

\(\int {{2^x}} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} dx = \int {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{1}{3}}} + C =  - \frac{1}{{{3^x}\ln 3}} + C\).

\(\int {\left( {2{e^x} - {5^x}} \right)} dx = 2\int {{e^x}} dx - \int {{5^x}} dx = 2{e^x} - \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} + C\).

\(\int {\frac{1}{{{e^x}}}} \;{\rm{d}}x =  - \frac{1}{{{e^x}}} + C\) (Lưu ý: GV gợi ý cách viết \(\frac{1}{{{e^x}}} = {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x}\) và \(\ln \frac{1}{e} =  - 1\) );

\(\int {\left( {2 \cdot {3^x} - \frac{1}{3} \cdot {7^x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{2 \cdot {3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{{{7^x}}}{{3\ln 7}} + C\).

Ta có \({\left[ {{{(2x + 1)}^3}} \right]^\prime } = 3{(2x + 1)^2}{(2x + 1)^\prime } = 6{(2x + 1)^2}\). Do đó \(\frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6}\) là một nguyên hàm của hàm số \({(2x + 1)^2}\) trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(\int {{{(2x + 1)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{{{(2x + 1)}^3}}}{6} + C\).

Ta có \(f(x) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2} = 4{x^2} - 4 + \frac{1}{{{x^2}}}\) nên

\(\int {{{\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \int 4 {x^2}\;{\rm{d}}x - \int 4 \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{{x^2}}}} \;{\rm{d}}x = \frac{{4{x^3}}}{3} - 4x - \frac{1}{x} + C\).

Ta có:

\(\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = \int 3 \sqrt x \;{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \;{\rm{d}}x = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}x + \int {{x^{ - \frac{1}{3}}}} \;{\rm{d}}x = 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{2}{3}}} + C\)

Đáp số: \(\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} {\rm{d}}x = 2x\sqrt x  + \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\).

ta có:

\(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = \int 7 {x^{\frac{5}{2}}}\;{\rm{d}}x - \int 3 {x^{\frac{1}{2}}}\;{\rm{d}}x = 7 \cdot \frac{2}{7}{x^{\frac{7}{2}}} - 3 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C{\rm{. }}\)

Đáp số: \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} - 3} \right){\rm{d}}x = 2\left( {{x^3} - x} \right)\sqrt x  + C\).

Khai triển \({(2x + 1)^2} = 4{x^2} + 4x + 1\) và chia cho \({x^2}\). Dùng tính chất của nguyên hàm.

\(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \frac{3}{x} + C\).