Bài tập Nguyên hàm có điều kiện lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 3\sqrt x \) thỏa mãn F(1) = 0.
\(F\left( x \right) = {x^2} + 3\sqrt {{x^3}} \);
\(F\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt[3]{{{x^2}}}\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3\).
Đáp án đúng là: D
\(\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2x\sqrt x + C\) mà F(1) = 0 C = −3.
Vậy \(\int {\left( {2x + 3\sqrt x } \right)dx} = {x^2} + 2\sqrt {{x^3}} - 3\).
Cho hàm số f(x) = 2x + ex. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 2024.
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2023\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2023\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2022\);
\(F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} - 2024\).
Đáp án đúng là: A
Có\(F\left( x \right) = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)dx} = {x^2} + {e^x} + C\).
Mà F(0) = 2024 C = 2023 F(x) = x2 + ex + 2023.
Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e2x và F(0) = 0. Giá trị của F(ln3) bằng
2;
6;
8;
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\);
Mà F(0) = 0 \(C = - \frac{1}{2}\). Do đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).
Khi đó \(F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4\).
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\).
F(x) = −cosx + sinx + 3;
F(x) = −cosx + sinx −1;
F(x) = −cosx + sinx + 1;
F(x) = cosx – sinx + 3.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).
Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \frac{\pi }{2} + \sin \frac{\pi }{2} + C = 2 \Rightarrow C = 1\).
Do đó F(x) = −cosx + sinx + 1.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với \(f\left( x \right) = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\), biết \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\). Tính F(2).
F(2) = 2 + 9ln2;
F(2) = −2 + 9ln2;
F(2) = 1 + 9ln2;
F(2) = 7.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} = \int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C\).
Vì \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \frac{1}{2} - 6 + C = \frac{5}{2} \Rightarrow C = 8\).
Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + 8\). Vậy F(2) = −2 + 9ln2.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f'(x) = 12x2 + 2, ∀x ∈ ℝ và f(1) = 3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 2. Khi đó F(1) bằng
−3;
1;
2;
7.
Đáp án đúng là: B
Có \(f\left( x \right) = \int {\left( {12{x^2} + 2} \right)dx} = 4{x^3} + 2x + {C_1}\).
Mà f(1) = 3 nên C1 = −3 f(x) = 4x3 + 2x – 3.
Có \(F\left( x \right) = \int {\left( {4{x^3} + 2x - 3} \right)dx} = {x^4} + {x^2} - 3x + C\).
Lại có F(0) = 2 C = 2 F(x) = x4 + x2 – 3x + 2.
Khi đó F(1) = 14 + 12 – 3.1 + 2 = 1.
Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 – 5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
f(x) = 3x – 5cosx + 15;
f(x) = 3x – 5cosx + 2;
f(x) = 3x + 5cosx + 5;
f(x) = 3x + 5cosx + 2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = \int {\left( {3 - 5\sin x} \right)dx} = 3x + 5\cos x + C\).
Theo giả thiết f(0) = 10 nên 5 + C = 10 C = 5.
Vậy f(x) = 3x + 5cosx + 5.
Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f'(x) = 2e2x + 1, ∀x, f(0) = 2. Hàm f(x) là
f(x) = 2ex + 2x;
f(x) = 2ex + 2;
f(x) = 2e2x + x + 2;
f(x) = e2x + x + 1.
Đáp án đúng là: D
Có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{e^{2x}} + 1} \right)dx} = {e^{2x}} + x + C\).
Mà f(0) = 2 nên 1 + C = 2 C = 1
Vậy f(x) = e2x + x + 1.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f'(x) = ex + 2x + 1, ∀x ∈ ℝ và f(0) = 1. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = e. Tính F(0).
\(\frac{5}{6}\);
\( - \frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{6}\);
\( - \frac{5}{6}\).
Đáp án đúng là: C
Có \(f\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)dx} = {e^x} + {x^2} + x + C\).
Vì f(0) = 1 nên C = 0. Suy ra f(x) = ex + x2 + x.
Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) nên \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} + {x^2} + x} \right)dx} = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + {C_1}\).
Lại có F(1) = e \( \Rightarrow C = - \frac{5}{6}\). Do đó \(F\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}\).
Khi đó \(F\left( 0 \right) = {e^0} - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).
Cho hàm số f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\), ∀x ℝ\{2} thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Giá trị của biểu thức f(0) + 2f(4) bằng
3;
5;
7 + 3ln2;
−5 + 7ln2.
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x - 2}}} \right)dx = 2x + \ln \left| {x - 2} \right| + C} \).
Có f(1) = 1 2 + ln1 + C1 = 1 C1 = −1.
f(3) = 2 6 + ln1 + C2 = 2 C2 = −4.
Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + \ln \left( {x - 2} \right) - 4\;khi\;x > 2\\2x + \ln \left( {2 - x} \right) - 1\;khi\;x < 2\end{array} \right.\).
Do đó f(0) + 2f(4) = ln2 – 1 + 2(4 + ln2) = 7 + 3ln2.
</>
Cho hàm số f(x) = x + ex. Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn điều kiện F(0) = 2024.
F(x) = x2 + ex + 2024.
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {e^x} + 2023\).
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {e^x} - 2023\).
F(x) = x2 + ex − 2024.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là F(x) = \(\int {(x + {e^x})} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + {e^x} + C\).
Theo giả thiết F(0) = 2024, ta có 0 + e0 + C = 2024 suy ra 1 + C = 2024 hay C = 2023.
Vậy nguyên hàm cần tìm là\(F\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + {e^x} + 2023\).
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x − cos x thỏa mãn \(F\left( \pi \right) = 2\).
F(x) = −cos x + sin x + 3.
F(x) = cos x − sin x + 3.
F(x) = −cos x − sin x + 1.
F(x) = −cos x + sin x − 1.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có F(x) = \(\int {(\sin x - \cos x)} dx = - \cos x - \sin x + C\).
Do \(F\left( \pi \right) = 2\) nên \( - \cos \pi - \sin \pi + C = 2\) suy ra 1 + C = 2 hay C = 1.
Vậy F(x) = −cos x − sin x + 1.
Cho hàm số f'(x) = 3 – 5cosx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
f(x) = 3x – 5sinx + 15.
f(x) = 3x – 5sinx + 10.
f(x) = 3x + 5sinx + 5
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có f(x) = \(\int {f'} (x)dx = \int {(3 - 5\cos x)} dx = 3x - 5\sin x + C\).
Theo giả thiết f(0) = 10 nên 3×0 + 5sin0 + C = 10 suy ra C = 10.
Vậy f(x) = 3x – 5sinx + 10.
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \(2x - 3\sqrt x \) thỏa mãn F(0) = 0.
F(x) = \({x^2} - 2\sqrt {{x^3}} - 3\).
F(x) = \({x^2} - 3\sqrt {{x^2}} - 4\).
F(x) = \({x^2} - 2\sqrt {{x^3}} \).
F(x) = \({x^2} - 3\sqrt {{x^3}} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có F(x) = \(\int {\left( {2x - 3\sqrt x } \right)} dx = {x^2} - 2x\sqrt x + C = {x^2} - 2\sqrt {{x^3}} + C\).
Theo giả thiết F(0) = 0 nên C = 0.
Vậy nguyên hàm cần tìm là F(x) = \({x^2} - 2\sqrt {{x^3}} \).
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(x - 6 + \frac{9}{x}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tính giá trị của F(2).
F(2) = \( - \frac{9}{2} + 9\ln 2\).
F(2) = 2 + 9ln2.
F(2) = 1 + 9ln2.
F(2) = 7.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = \(\int {\left( {x - 6 + \frac{9}{x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{x^2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + C\).
Vì F(1) = 0 nên \(\frac{1}{2} \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 + 9\ln 1 + C = 0\) suy ra \( - \frac{{11}}{2} + C = 0\)\( \Rightarrow C = \frac{{11}}{2}\).
Do đó F(x) = \(\frac{1}{2}{x^2} - 6x + 9\ln \left| x \right| + \frac{{11}}{2}\).
Thay x = 2 ta được: F(2) = \(\frac{1}{2} \cdot {2^2} - 6 \cdot 2 + 9\ln 2 + \frac{{11}}{2} = 2 - 12 + 9\ln 2 + \frac{{11}}{2} = - \frac{9}{2} + 9\ln 2\).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 6x2 + 2 với mọi x ∈ ℝ và f(1) = 3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
f(x) = 2x3 + 2x − 1.
Hàm số\(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} - x + 2\).
Giá trị của F(1) bằng 2.
Giá trị của f(0) bằng 0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {f'} (x)dx = \int {\left( {6{x^2} + 2} \right)} dx = 2{x^3} + 2x + {C_1}\).
Vì f(1) = 3 nên 2 + 2 + C1 = 3 suy ra C1 = −1. Do đó f(x) = 2x3 + 2x − 1.
b) Đúng. Ta có F(x) = \(\int f \left( x \right)dx = \int {\left( {2{x^3} + 2x - 1} \right)} dx = \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} - x + {C_2}\).
Vì F(0) = 2 nên 0 + 02 − 3×0 + C2 = 2 suy ra C2 = 2. Vậy\(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} - x + 2\).
c) Sai. Thay x = 1 vào biểu thức F(x), ta được \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^4}}}{2} + {1^2} - 1 + 2 = \frac{5}{2}\)
d) Sai. Thay x = 0 vào biểu thức f(x), ta được\(F\left( 0 \right) = \frac{{{0^4}}}{2} + {0^2} - 0 + 2 = 2\).
Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f'(x) = 3e3x + 1, f(0) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Họ nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\) là e3x + x + C.
Biểu thức của hàm số là f(x) = e3x + x + 1.
Giá trị f(ln 2) = 5 + ln2.
Phương trình f(x) = x + 2 có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {f'} \left( x \right)dx = \int {\left( {3{e^{3x}} + 1} \right)} dx = {e^{3x}} + x + C\).
b) Đúng. Do f(0) = 2 nên e0 + 0 + C = 2 suy ra 1 + C = 2 hay C = 1. Vậy f(x) = e3x + x + 1.
c) Sai. Thay x = ln 2 vào f(x) ta có f(ln 2) = e3ln 2 + ln2 + 1 = 8 + ln2 + 1 = 9 + ln2.
d) Sai. Phương trình f(x) = x + 2 tương đương e3x + x + 1 = x + 2 suy ra e3x = 1 hay 3x = 0 suy ra x = 0. Phương trình chỉ có nghiệm duy nhất.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{3x - 2}}\) trên khoảng \(\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\) thỏa mãn F(1) = 0 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Họ nguyên hàm của f(x) là \(\frac{1}{3}\ln |3x - 2| + C\).
Giá trị F(5) = \[\frac{1}{3}\ln 13.\]
Giá trị F(2) = \(\frac{1}{3}\ln 3\).
Phương trình F(x) = 0 có vô số nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng. Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, \(\int {\frac{1}{{3x - 2}}} dx = \frac{1}{3}\ln \left| {3x - 2} \right| + C\).
b) Đúng. Vì F(1) = 0 nên \[\frac{1}{3}\ln \left| {3 \cdot 1 - 2} \right| + C = 0\] suy ra \(\frac{1}{3}\ln 1 + C = 0\) hay C = 0.
Vậy F(x) = \(\frac{1}{3}\ln \left( {3x - 2} \right)\) (do x > \(\frac{2}{3}\) nên 3x − 1 > 0).
Khi đó F(5) = \[\frac{1}{3}\ln \left( {3 \cdot 5 - 2} \right) = \frac{1}{3}\ln 13.\]
c) Sai. Thay x = 2 vào biểu thức F(x) ta được \(F\left( 2 \right) = \frac{1}{3}\ln \left( {3 \cdot 2 - 2} \right) = \frac{1}{3}\ln 4\)
d) Sai. Xét phương trình F(x) = 0 tương đương \(\frac{1}{3}\ln \left( {3x - 2} \right) = 0\) suy ra ln(3x − 2) = 0 hay 3x − 2 = 1 suy ra x = 1 (thỏa mãn x > \(\frac{2}{3}\)). Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = ex + 2x + 1 với mọi x ∈ ℝ và f(0) = 1. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = e. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Biểu thức hàm số là f(x) = ex + x2 + x.
Biểu thức nguyên hàm là F(x) = \({e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}\).
Giá trị F(0) = \(\frac{1}{6}\).
Giá trị F(−1) = \(\frac{1}{e} - \frac{2}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {\left( {{e^x} + 2x + 1} \right)} dx = {e^x} + {x^2} + x + C\).
Vì f(0) = 1 nên e0 + 02 + 0 + C = 1 suy ra 1 + C = 1 hay C = 0.
Do đó f(x) = ex + x2 + x.
b) Đúng. Ta có F(x) = \(\int f (x)dx = \int {\left( {{e^x} + {x^2} + x} \right)} dx = {e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + {C_1}\).
Lại có F(1) = e nên \({e^1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + {C_1} = e\) suy ra \(\frac{5}{6} + {C_1} = 0\) hay \({C_1} = - \frac{5}{6}\).
Vậy F(x) = \({e^x} + \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - \frac{5}{6}\).
c) Đúng. Thay x = 0 vào biểu thức F(x), ta có F(0) = \({e^0} + 0 + 0 - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\).
d) Đúng. Thay x = −1 vào biểu thức F(x), ta có
F(−1) = \[{e^{ - 1}} + \frac{1}{3}{\left( { - 1} \right)^3} + \frac{1}{2}{\left( { - 1} \right)^2} - \frac{5}{6} = \frac{1}{e} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = \frac{1}{e} - \frac{4}{6} = \frac{1}{e} - \frac{2}{3}\].
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = \(\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\) với mọi x ≠ 2, thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tập xác định của f(x) là \[\mathbb{R}\backslash \{ 2\} \].
Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), hàm số có dạng f(x) = 2x + ln(x − 2) − 4.
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), hàm số có dạng f(x) = 2x + ln(2 − x) − 1.
Giá trị của biểu thức f(0) + 2·f(4) bằng 7 + 3ln 2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Do f'(x) xác định với mọi x ≠ 2 nên f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).
b) Đúng. Ta có f(x) = \(\int {\frac{{2x - 3}}{{x - 2}}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{{x - 2}}} \right)} dx = 2x + \ln \left| {x - 2} \right| + C\).
Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), ta có biểu thức hàm số là f(x) = 2x + ln(x − 2) + C1.
Vì f(3) = 2 nên 2·3 + ln(3 − 2) + C1 = 2 suy ra 6 + ln1 + C1 = 2 suy ra 6 + C1 = 2 hay C1 = −4.
Do đó trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì f(x) = 2x + ln(x − 2) − 4.
c) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), ta có biểu thức hàm số là f(x) = 2x + ln(2 − x) + C2.
Vì f(1) = 1 nên 2·1 + ln(2 − 1) + C2 = 1 suy ra 2 + ln1 + C2 = 1 suy ra 2 + C2 = 1 hay C2 = −1.
Do đó trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) thì f(x) = 2x + ln(2 − x) − 1.
d) Đúng. Ta tính f(0) = 2·0 + ln(2 − 0) − 1 = ln 2 − 1.
Và f(4) = 2·4 + ln(4 − 2) − 4 = 8 + ln 2 − 4 = 4 + ln 2.
Biểu thức f(0) + 2·f(4) = (ln 2 − 1) + 2·(4 + ln 2) = ln 2 − 1 + 8 + 2·ln 2 = 7 + 3ln 2.
Cho hàm số f(x) = e2x. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 0. Tính giá trị của F(ln 3).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Ta có F(x) = \(\int {{e^{2x}}} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C\).
Theo giả thiết F(0) = 0 nên \(\frac{1}{2}{e^{2 \cdot 0}} + C = 0\) suy ra \(\frac{1}{2} + C = 0\) hay \(C = - \frac{1}{2}\).
Nguyên hàm cần tìm là F(x) = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2}\).
Thay x = ln 3 vào biểu thức, ta được F(ln 3) = \(\frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
Cho hàm số f'(x) = 12x2 − 6x. Biết f(1) = 4 và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = 5. Tính giá trị của F(2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 16
Ta có f(x) = \(\int {\left( {12{x^2} - 6x} \right)} dx = 4{x^3} - 3{x^2} + {C_1}\).
Vì f(1) = 4 nên 4×(1)3 − 3×(1)2 + C1 = 4 suy ra 1 + C1 = 4 hay C1 = 3.
Vậy f(x) = 4x3 − 3x2 + 3.
Tiếp tục tìm F(x) = \(\int {\left( {4{x^3} - 3{x^2} + 3} \right)} dx = {x^4} - {x^3} + 3x + {C_2}\).
Vì F(1) = 5 nên 14 − 13 + 3×1 + C2 = 5 suy ra 3 + C2 = 5 hay C2 = 2.
Hàm số F(x) = x4 − x3 + 3x + 2.
Thay x = 2 vào F(x), ta được F(2) = 24 − 23 + 3×2 + 2 = 16 − 8 + 6 + 2 = 16.
Cho hàm số f(x) = 2sin xcos x. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2\). Tính giá trị của F(0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1,5
Biến đổi hàm số f(x) = sin2x.
Họ nguyên hàm của hàm số là F(x) = \(\int {\sin } 2xdx = - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Theo giả thiết \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2\) nên \( - \frac{1}{2}\cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) + C = 2\) suy ra \( - \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 2\) hay 0 + C = 2 nên C = 2.
Vậy F(x) = \( - \frac{1}{2}\cos 2x + 2\).
Thay x = 0, ta được F(0) = \( - \frac{1}{2}\cos 0 + 2 = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} = 1,5\).
Cho hàm số f(x) = |x − 2|. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) = 1. Tính giá trị của biểu thức F(4) − F(0).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Ta viết lại hàm số f(x) dưới dạng cho bởi nhiều công thức:
f(x) = x − 2 khi x ≥ 2, và f(x) = 2 − x khi x < 2.
Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), F(x) = \(\int {\left( {x - 2} \right)} dx = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + {C_1}\).
Do F(2) = 1 nên \(\frac{1}{2} \cdot {2^2} - 2 \cdot 2 + {C_1} = 1\) suy ra 2 − 4 + C1 = 1 hay C1 = 3.
Vậy F(x) = \(\frac{1}{2}{x^2} - 2x + 3\) khi x ≥ 2.
Trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\), F(x) = \(\int {\left( {2 - x} \right)} dx = 2x - \frac{1}{2}{x^2} + {C_2}\).
Vì F(x) liên tục tại x = 2 nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} F(x) = F(2)\).
Do đó \(2 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot {2^2} + {C_2} = 1\) suy ra 4 − 2 + C2 = 1 hay C2 = −1.
Vậy F(x) = \(2x - \frac{1}{2}{x^2} - 1\) khi x < 2.
Ta tính được F(4) = \(\frac{1}{2} \cdot {4^2} - 2 \cdot 4 + 3 = 8 - 8 + 3 = 3\).
Và F(0) = \(2 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot {0^2} - 1 = - 1\).
Biểu thức F(4) − F(0) = 3 − (−1) = 4.
Cho f'(x) = 3x2 − 2. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) biết f(2) = 5 và F(0) = 1. Tìm giá trị của F(−2).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: −1
Ta có f(x) = \(\int {\left( {3{x^2} - 2} \right)} dx = {x^3} - 2x + {C_1}\).
Vì f(2) = 5 nên 23 − 2×(2) + C1 = 5 suy ra 8 − 4 + C1 = 5 hay C1 = 1.
Vậy f(x) = x3 − 2x + 1.
Tiếp tục tìm F(x) = \(\int {\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)} dx = \frac{1}{4}{x^4} - {x^2} + x + {C_2}\).
Vì F(0) = 1 nên 04 − 02 + 0 + C2 = 1 suy ra C2 = 1.
Hàm số nguyên hàm hoàn chỉnh là F(x) = \(\frac{1}{4}{x^4} - {x^2} + x + 1\).
Thay x = −2 vào F(x), ta được F(−2) = \(\frac{1}{4} \cdot {\left( { - 2} \right)^4} - {\left( { - 2} \right)^2} + \left( { - 2} \right) + 1 = 4 - 4 - 2 + 1 = - 1\).
