Bài tập Vận dụng nguyên hàm vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t2 + t (m/s2). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là
8 m/s;
12 m/s;
10 m/s;
16 m/s.
Đáp án đúng là: B
Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\).
Vì v(0) = 2 nên C = 2. Do đó \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2\)
Vậy v(2) = 12 m/s.
Một quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m với vận tốc được tính bởi công thức sau đây v(t) = −10t + 16 (m/s). Công thức nào sau đây tính độ cao của quả bóng theo thời gian t?
h(t) = −5t2 + 16t + C;
h(t) = −5t2 + 16t + 20;
h(t) = 5t2 − 16t + 20;
h(t) = 5t2 − 16t − 20.
Đáp án đúng là: B
Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t.
Suy ra h'(t) = v(t) do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có \(\int {\left( { - 10t + 16} \right)dt} = - 5{t^2} + 16t + C\).
Do quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m nên tại thời điểm t = 0 thì h = 20.
Hay h(0) = 20 C = 20. Do đó h(t) = −5t2 + 16t + 20.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 70 km/h thì hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −10t + 30 (m/s). Tính quãng đường ô tô đi được sau 3 giây kể từ khi hãm phanh.
51 m;
43 m;
54 m;
45 m.
Đáp án đúng là: D
Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t giây kể từ khi hãm phanh.
Ta có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt} = - 5{t^2} + 30t + C\).
Do s(0) = 0 C = 0.
Khi đó s(t) = −5t2 + 30t s(3) = −5.9 + 30.3 = 45 m.
Theo nghiên cứu thị trường, sau t năm từ năm đầu tiên vốn đầu tư của một doanh nghiệp phát sinh lợi nhuận với tốc độ được tính xấp xỉ bởi công thức P'(t) = 125 + t2 (triệu đồng/năm). Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức nào dưới đây?
\(P\left( t \right) = 125t + \frac{{{t^3}}}{3}\);
P(t) = 125t + t3;
P(t) = 125 + t3;
P(t) = 125t + 2t3.
Đáp án đúng là: A
Lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm từ năm đầu tiên là
\(P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)} dt = 125t + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).
Vì P(0) = 0 C = 0. Vậy \(P\left( t \right) = 125t + \frac{{{t^3}}}{3}\).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 36 km/h, thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) \( = 1 + \frac{t}{3}\) (m/s2). Tính vận tốc của ô tô sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.
90 m/s;
48 m/s;
22 m/s;
28 m/s.
Đáp án đúng là: C
Đổi 36 km/h = 10 m/s.
Có \(v\left( t \right) = \int {\left( {1 + \frac{t}{3}} \right)} dt = t + \frac{{{t^2}}}{6} + C\).
Vì v(0) = 10 nên C = 10.
Do đó \(v\left( t \right) = t + \frac{{{t^2}}}{6} + 10\) \( \Rightarrow v\left( 6 \right) = 6 + \frac{{{6^2}}}{6} + 10 = 22\) (m/s).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −2t + 10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
16 m;
25 m;
50 m;
55 m.
Đáp án đúng là: D
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - 2t + 10} \right)dt} = - {t^2} + 10t + C\).
Vì s(0) = 0 nên C = 0.
Ô tô dừng hẳn thì v(t) = −2t + 10 = 0 t = 5.
Vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô chạy với vận tốc 10 m/s và 5 giây cuối ô tô chạy với vận tốc chậm dần đều v(t) = −2t + 10 (m/s).
Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây chạy với vận tốc 10 m/s là 3.10 = 30 m.
Quãng đường ô tô đi được trong 5 giây kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là s(5) = −52 + 10.5 = 25 (m).
Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường 30 + 25 = 55 (m).
Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc \(v'\left( t \right) = \frac{3}{{t + 1}}\) (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 6 m/s. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn đến kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất) có giá trị bằng bao nhiêu?
5 m/s;
13,2 m/s;
8 m/s;
7 m/s.
Đáp án đúng là: B
Giả sử tại thời điểm ban đầu t = 0; v(0) = 6 m/s.
Ta có v(0) = 6 m/s \( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Vì v(0) = 6 C = 6.
Do đó v(t) = 3ln|t + 1| + 6 v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13,2 (m/s).
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t) = 25 – 9,8t (m/s). Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) đạt giá trị lớn nhất là
\(\frac{{125}}{{49}}\);
\(\frac{{3125}}{{98}}\);
\(\frac{{2375}}{{392}}\);
\(\frac{{1125}}{{98}}\).
Đáp án đúng là: B
Gọi h(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)dt} = 25t - 4,9{t^2} + C\) (m).
Do h(0) = 0 nên C = 0 h(t) = −4,9t2 + 25t (m).
Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}\)(m) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây.
Một vật đang chuyển động đều với vận tốc v0 =15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t2 + 4t (m/s2). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây từ lúc bắt đầu tăng tốc.
96,57 m/s;
69,75 m;
96,75 m/s;
69,57 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(v\left( t \right) = \int {\left( {{t^2} + 4t} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C\).
Vì v(0) = 15 nên C = 15.
Khi đó \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\].
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right)dt} = \frac{{{t^4}}}{{12}} + \frac{{2{t^3}}}{3} + 15t + {C_1}\).
Vì s(0) = 0 nên C1 = 0.
Vậy s(3) = 69,75 m.
Một vật chuyển động với gia tốc phụ thuộc vào thời gian theo công thức \(a\left( t \right) = \sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right)\). Biết tại thời điểm t = 0 thì vận tốc và quãng đường đi được của vật đều bằng 0, công thức tính quãng đường đi được vủa vật đó theo thời gian là:
\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t - \frac{{\sqrt 3 }}{8}\);
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\);
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\);
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(v\left( t \right) = \int {\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right)} dt = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + C\).
Mà v(0) = 0 nên \(C = \frac{1}{4}\).
Do đó \(v\left( t \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}\).
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}} \right)} dt = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + {C_1}\).
Vì s(0) = 0 nên \({C_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).
Do đó \(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).
Một thiết bị bay không người lái (drone) bắt đầu tăng tốc với gia tốc a(t) = 4t − 3 (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của thiết bị là 5 m/s. Vận tốc của thiết bị đó sau 4 giây là
25 m/s.
20 m/s.
30 m/s.
15 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi v(t) là vận tốc của thiết bị tại thời điểm t.
Vận tốc v(t) là một nguyên hàm của gia tốc a(t).
Ta có v(t) = \(\int {\left( {4t - 3} \right)} dt = 2{t^2} - 3t + C\).
Vì vận tốc ban đầu của thiết bị là 5 m/s nên v(0) = 5.
Thay t = 0 vào ta được: 2·02 − 3·0 + C = 5 ⇔ C = 5.
Vậy công thức vận tốc là v(t) = 2t2 − 3t + 5.
Vận tốc của thiết bị sau 4 giây là v(4) = 2·42 − 3·4 + 5 = 32 − 12 + 5 = 25 (m/s).
Một khinh khí cầu đang bay lên với vận tốc được mô phỏng bởi công thức v(t) = −8t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Giả sử tại thời điểm t = 0, khinh khí cầu đang ở độ cao 50 mét so với mặt đất. Công thức nào dưới đây biểu diễn chính xác độ cao h(t) của khinh khí cầu theo thời gian?
h(t) = −4t2 + 20t + C.
h(t) = −4t2 + 20t + 50.
h(t) = 4t2 − 20t + 50.
h(t) = −8t2 + 20t + 50.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Độ cao h(t) của khinh khí cầu là một nguyên hàm của vận tốc v(t).
Ta có h(t) = \(\int {\left( { - 8t + 20} \right)} dt = - 4{t^2} + 20t + C\).
Do tại thời điểm ban đầu t = 0, khinh khí cầu ở độ cao 50 m nên h(0) = 50.
Thay t = 0 vào ta được: −4·02 + 20·0 + C = 50 ⇔ C = 50.
Vậy công thức tính độ cao là h(t) = −4t2 + 20t + 50.
Một công ty khởi nghiệp dự báo tốc độ tăng trưởng doanh thu sau t tháng hoạt động được tính bởi công thức R'(t) = 150 + 2t2 (triệu đồng/tháng). Biết rằng ở thời điểm ban đầu t = 0, doanh thu của công ty bằng 0. Công thức tính tổng doanh thu của công ty sau t tháng hoạt động là
R(t) = 150t + 2t3.
R(t) = 150 + \(\frac{2}{3}{t^3}\).
R(t) = 150t + \(\frac{2}{3}{t^3}\).
R(t) = 150t + \(\frac{2}{3}{t^2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm tổng doanh thu R(t) là một nguyên hàm của tốc độ tăng trưởng doanh thu R'(t).
Ta có R(t) = \(\int {\left( {150 + 2{t^2}} \right)} dt = 150t + \frac{2}{3}{t^3} + C\).
Tại thời điểm ban đầu t = 0, doanh thu bằng 0 nên R(0) = 0.
Thay t = 0 vào ta được: 150·0 + \(\frac{2}{3}\)·03 + C = 0 ⇔ C = 0.
Vậy công thức tính tổng doanh thu là R(t) = 150t + \(\frac{2}{3}{t^3}\).
Một hệ thống làm mát làm giảm nhiệt độ của một cỗ máy với tốc độ T'(t) = \(\frac{{ - 10}}{{t + 1}}\) (°C/phút). Biết rằng tại thời điểm bắt đầu làm mát t = 0, nhiệt độ của máy là 80°C. Nhiệt độ của cỗ máy sau khoảng thời gian \({e^2} - 1\) phút có giá trị là bao nhiêu?
40 °C.
50 °C.
60 °C.
70 °C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm nhiệt độ T(t) là một nguyên hàm của tốc độ thay đổi nhiệt độ T'(t).
Ta có T(t) = \(\int {\frac{{ - 10}}{{t + 1}}} dt = - 10\ln \left( {t + 1} \right) + C\) (do thời gian t ≥ 0 nên t + 1 > 0).
Tại thời điểm t = 0, nhiệt độ là 80°C nên T(0) = 80.
Thay t = 0 vào công thức ta được: \( - 10\ln \left( 1 \right) + C = 80\)⇔ 0 + C = 80 ⇔ C = 80.
Công thức biểu diễn nhiệt độ là T(t) = \( - 10\ln \left( {t + 1} \right)\) + 80.
Nhiệt độ của cỗ máy sau \({e^2} - 1\) phút là:
T(\({e^2} - 1\)) = \( - 10\ln \left( {{e^2} - 1 + 1} \right)\) + 80 = \( - 10\ln \left( {{e^2}} \right)\) + 80 = −10·2 + 80 = −20 + 80 = 60 (°C).
Một tàu cao tốc đang chạy đều với vận tốc 10 m/s thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc a(t) = 6t + 4 (m/s²). Quãng đường tàu đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là
75 m.
65 m.
85 m.
55 m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hàm vận tốc v(t) là một nguyên hàm của gia tốc a(t).
Ta có v(t) = \(\int {\left( {6t + 4} \right)} dt = 3{t^2} + 4t + C\).
Vì vận tốc ban đầu khi bắt đầu tăng tốc là 10 m/s nên v(0) = 10 ⇔ C = 10.
Do đó hàm vận tốc là v(t) = 3t2 + 4t + 10.
Quãng đường s(t) đi được là một nguyên hàm của vận tốc v(t).
Ta có s(t) = \(\int {\left( {3{t^2} + 4t + 10} \right)} dt = {t^3} + 2{t^2} + 10t + {C_1}\).
Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu tăng tốc và vị trí xuất phát làm mốc nên s(0) = 0 ⇔ C1 = 0.
Hàm quãng đường là s(t) = t3 + 2t2 + 10t.
Quãng đường đi được sau 3 giây là s(3) = 33 + 2·32 + 10·3 = 27 + 18 + 30 = 75 (m).
Một chiếc canô đang chạy trên sông thì người lái tắt máy để hãm phanh. Kể từ lúc tắt máy, canô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc hãm phanh. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Gia tốc của canô trong quá trình hãm phanh là a(t) = −5 (m/s²).
Thời gian từ lúc tắt máy đến khi canô dừng hẳn là 4 giây.
Công thức tính quãng đường s(t) canô đi được từ lúc tắt máy là s(t) = −2,5t2 + 20t + 5.
Quãng đường canô đi được sau 2 giây kể từ lúc hãm phanh là 30 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc nên a(t) = v'(t) = −5 (m/s²).
b) Đúng. Canô dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4 (giây).
c) Sai. Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có s(t) = \(\int {\left( { - 5t + 20} \right)} dt = - 2,5{t^2} + 20t + C\).
Kể từ lúc tắt máy t = 0 thì s(0) = 0 ⇔ C = 0. Công thức đúng phải là s(t) = −2,5t2 + 20t.
d) Đúng. Quãng đường đi được sau 2 giây là s(2) = −2,5·22 + 20·2 = −10 + 40 = 30 (m).
Một chiếc canô đang chạy trên sông thì người lái tắt máy để hãm phanh. Kể từ lúc tắt máy, canô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = −5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc hãm phanh. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Gia tốc của canô trong quá trình hãm phanh là a(t) = −5 (m/s²).
Thời gian từ lúc tắt máy đến khi canô dừng hẳn là 4 giây.
Công thức tính quãng đường s(t) canô đi được từ lúc tắt máy là s(t) = −2,5t2 + 20t + 5
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc nên a(t) = v'(t) = −5 (m/s²).
b) Đúng. Canô dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4 (giây).
c) Sai. Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có s(t) = .
Kể từ lúc tắt máy t = 0 thì s(0) = 0 ⇔ C = 0. Công thức đúng phải là s(t) = −2,5t2 + 20t.
d) Đúng. Quãng đường đi được sau 2 giây là s(2) = −2,5·22 + 20·2 = −10 + 40 = 30 (m).
Một vận động viên đua xe đạp đang chạy với vận tốc 18 km/h thì bắt đầu bứt tốc. Kể từ thời điểm bứt tốc (t = 0), gia tốc của xe là a(t) = 0,6t + 2 (m/s²). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Vận tốc ban đầu của vận động viên lúc bứt tốc tính theo m/s là 18 m/s.
Công thức biểu diễn vận tốc của xe theo thời gian t là v(t) = 0,3t2 + 2t + 5 (m/s).
Vận tốc của xe sau 10 giây bứt tốc là 55 m/s.
Quãng đường vận động viên đi được trong 10 giây bứt tốc đầu tiên là 200 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Đổi đơn vị vận tốc ban đầu: 18 km/h = \(\frac{{18}}{{3,6}}\) = 5 m/s. Vậy v(0) = 5 m/s.
b) Đúng. Ta có v(t) = .
Vì v(0) = 5 ⇔ C = 5. Vậy v(t) = 0,3t2 + 2t + 5.
c) Đúng. Vận tốc của xe tại t = 10 là v(10) = 0,3·102 + 2·10 + 5 = 30 + 20 + 5 = 55 (m/s).
d) Sai. Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có s(t) = .
Tại t = 0, s(0) = 0 ⇔ C1 = 0. Vậy s(t) = 0,1t3 + t2 + 5t.
Quãng đường đi được sau 10 giây là s(10) = 0,1·103 + 102 + 5·10 = 100 + 100 + 50 = 250 (mét).
Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng tốc độ sinh sản là \(N'(t) = \frac{{2000}}{{1 + 2t}}\) và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Họ nguyên hàm của số lượng vi trùng là .
Số lượng vi trùng tại thời điểm ban đầu tương ứng với việc tìm hằng số C = 300000.
Phương trình biểu diễn số lượng vi trùng là \(N(t) = 1000\ln \left( {1 + 2t} \right) + 300000\).
Sau 10 ngày, số lượng vi trùng tăng thêm đúng 1000 con.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tính nguyên hàm: .
b) Đúng. Ban đầu t = 0, N(0) = 300000 suy ra \(1000\ln 1 + C = 300000\) hay C = 300000.
c) Đúng. Vì t ≥ 0 nên 1 + 2t > 0, ta bỏ trị tuyệt đối được \(N(t) = 1000\ln \left( {1 + 2t} \right) + 300000\).
d) Sai. Số lượng vi trùng tăng thêm sau 10 ngày là
N(10) – N(0) = 1000 ln(1 + 20) = 1000ln21 (con)
Giá trị này xấp xỉ 3044 con, không phải đúng 1000 con.
Một đoàn tàu điện đang chạy đều với vận tốc 20 m/s thì phát hiện chướng ngại vật nên người lái hãm phanh. Kể từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với phương trình vận tốc v(t) = −4t + 20 (m/s). Xét quãng đường đoàn tàu di chuyển trong 10 giây cuối cùng cho đến khi dừng hẳn (bao gồm cả một phần thời gian tàu chạy đều trước khi phanh). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Tàu mất 5 giây kể từ lúc hãm phanh cho đến khi dừng hẳn.
Quãng đường đoàn tàu đi được trong thời gian hãm phanh là 50 mét.
Trong 5 giây đầu tiên của khoảng thời gian 10 giây nói trên, tàu đi được 100 mét.
Tổng quãng đường đoàn tàu đi được trong 10 giây cuối cùng là 120 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tàu dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ −4t + 20 = 0 ⇔ t = 5 (giây). Thời gian hãm phanh là 5 giây.
b) Đúng. Quãng đường hãm phanh là sp = .
Mà S(0) = 0 nên C = 0. Do đó S(5) = (−2·52 + 20·5) = −50 + 100 = 50 (mét).
c) Đúng. Trong 10 giây cuối cùng, có 5 giây hãm phanh và 5 giây trước đó tàu đang chạy đều với vận tốc 20 m/s. Quãng đường trong 5 giây chạy đều là sd = 20·5 = 100 (mét).
d) Sai. Tổng quãng đường trong 10 giây cuối cùng là s = sd + sp = 100 + 50 = 150 (mét), không phải 120 mét.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 19 − 2t (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 70
Gọi s(t) là quãng đường xe đi được sau t giây kể từ lúc hãm phanh.
Ta có s(t) = .
Tại t = 0 (lúc bắt đầu hãm phanh), quãng đường đi được là 0 nên s(0) = 0 suy ra C = 0.
Do đó phương trình quãng đường là s(t) = 19t − t2.
Quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là s(5) = 19·5 − 52 = 95 − 25 = 70 (mét).
Một bồn chứa ban đầu không có nước. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bồn với tốc độ V'(t) = 2t + 5 (lít/phút), trong đó t là thời gian tính bằng phút. Tính thể tích nước trong bồn sau 6 phút (đơn vị: lít).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 66
Thể tích nước trong bồn tại thời điểm t là nguyên hàm của tốc độ chảy V'(t).
Ta có V(t) = .
Vì ban đầu bồn không có nước nên V(0) = 0 suy ra 02 + 5·0 + C = 0 hay C = 0.
Phương trình thể tích nước là V(t) = t2 + 5t.
Thể tích nước trong bồn sau 6 phút là V(6) = 62 + 5·6 = 36 + 30 = 66 (lít).
Tốc độ phát triển chiều cao của một loại cây được cho bởi công thức h'(t) = 0,2 + 0,1t (m/năm), trong đó t là số năm tính từ lúc cây được trồng. Biết rằng lúc mới trồng (t = 0), cây cao 1 mét. Hỏi sau 10 năm, chiều cao của cây là bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Chiều cao của cây tại thời điểm t là nguyên hàm của tốc độ phát triển h'(t).
Ta có h(t) = .
Lúc mới trồng cây cao 1 mét nên h(0) = 1 suy ra 0,2·0 + 0,05·02 + C = 1 hay C = 1.
Công thức chiều cao của cây là h(t) = 0,2t + 0,05t2 + 1.
Sau 10 năm, chiều cao của cây là h(10) = 0,2·10 + 0,05·102 + 1 = 2 + 5 + 1 = 8 (mét).
Một chất điểm chuyển động với vận tốc v(t) = 3t2 − 6t (m/s). Biết rằng tại thời điểm t = 1 giây, chất điểm ở vị trí có tọa độ s(1) = 2 mét so với gốc tọa độ. Hỏi tại thời điểm t = 3 giây, chất điểm ở vị trí có tọa độ bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Tọa độ của chất điểm s(t) là nguyên hàm của vận tốc v(t).
Ta có s(t) = .
Tại t = 1, tọa độ chất điểm là 2 nên s(1) = 2 suy ra 13 − 3·12 + C = 2 hay 1 − 3 + C = 2 suy ra C = 4.
Phương trình tọa độ của chất điểm là s(t) = t3 − 3t2 + 4.
Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây là s(3) = 33 − 3·32 + 4 = 27 − 27 + 4 = 4 (mét).
Chi phí cận biên của một xưởng sản xuất được cho bởi công thức C'(x) = 2x + 50 (nghìn đồng/sản phẩm), trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra. Biết rằng chi phí cố định (tức là khi không sản xuất sản phẩm nào, x = 0) là 100 nghìn đồng. Tính tổng chi phí khi xưởng sản xuất 10 sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 700
Hàm tổng chi phí C(x) là một nguyên hàm của chi phí cận biên C'(x).
Ta có C(x) = .
Chi phí cố định khi x = 0 là 100 nghìn đồng nên C(0) = 100 suy ra 02 + 50·0 + K = 100 hay K = 100.
Hàm tổng chi phí là C(x) = x2 + 50x + 100.
Tổng chi phí khi sản xuất 10 sản phẩm là
C(10) = 102 + 50·10 + 100 = 100 + 500 + 100 = 700 (nghìn đồng).
