Bài tập Vận dụng nguyên hàm vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
8 m/s;
12 m/s;
10 m/s;
16 m/s.
Đáp án đúng là: B
Có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {3{t^2} + t} \right)dt} = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + C\).
Vì v(0) = 2 nên C = 2. Do đó \(v\left( t \right) = {t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 2\)
Vậy v(2) = 12 m/s.
h(t) = −5t2 + 16t + C;
h(t) = −5t2 + 16t + 20;
h(t) = 5t2 − 16t + 20;
h(t) = 5t2 − 16t − 20.
Đáp án đúng là: B
Gọi h(t) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t.
Suy ra h'(t) = v(t) do đó h(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có \(\int {\left( { - 10t + 16} \right)dt} = - 5{t^2} + 16t + C\).
Do quả bóng được ném lên từ độ cao 20 m nên tại thời điểm t = 0 thì h = 20.
Hay h(0) = 20 C = 20. Do đó h(t) = −5t2 + 16t + 20.
51 m;
43 m;
54 m;
45 m.
Đáp án đúng là: D
Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong t giây kể từ khi hãm phanh.
Ta có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - 10t + 30} \right)dt} = - 5{t^2} + 30t + C\).
Do s(0) = 0 C = 0.
Khi đó s(t) = −5t2 + 30t s(3) = −5.9 + 30.3 = 45 m.
\(P\left( t \right) = 125t + \frac{{{t^3}}}{3}\);
P(t) = 125t + t3;
P(t) = 125 + t3;
P(t) = 125t + 2t3.
Đáp án đúng là: A
Lợi nhuận phát sinh của vốn sau t năm từ năm đầu tiên là
\(P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)} dt = 125t + \frac{{{t^3}}}{3} + C\).
Vì P(0) = 0 C = 0. Vậy \(P\left( t \right) = 125t + \frac{{{t^3}}}{3}\).
90 m/s;
48 m/s;
22 m/s;
28 m/s.
Đáp án đúng là: C
Đổi 36 km/h = 10 m/s.
Có \(v\left( t \right) = \int {\left( {1 + \frac{t}{3}} \right)} dt = t + \frac{{{t^2}}}{6} + C\).
Vì v(0) = 10 nên C = 10.
Do đó \(v\left( t \right) = t + \frac{{{t^2}}}{6} + 10\) \( \Rightarrow v\left( 6 \right) = 6 + \frac{{{6^2}}}{6} + 10 = 22\) (m/s).
16 m;
25 m;
50 m;
55 m.
Đáp án đúng là: D
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - 2t + 10} \right)dt} = - {t^2} + 10t + C\).
Vì s(0) = 0 nên C = 0.
Ô tô dừng hẳn thì v(t) = −2t + 10 = 0 t = 5.
Vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô chạy với vận tốc 10 m/s và 5 giây cuối ô tô chạy với vận tốc chậm dần đều v(t) = −2t + 10 (m/s).
Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây chạy với vận tốc 10 m/s là 3.10 = 30 m.
Quãng đường ô tô đi được trong 5 giây kể từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là s(5) = −52 + 10.5 = 25 (m).
Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quãng đường 30 + 25 = 55 (m).
5 m/s;
13,2 m/s;
8 m/s;
7 m/s.
Đáp án đúng là: B
Giả sử tại thời điểm ban đầu t = 0; v(0) = 6 m/s.
Ta có v(0) = 6 m/s \( \Rightarrow v\left( t \right) = \int {\frac{3}{{t + 1}}dt} = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).
Vì v(0) = 6 C = 6.
Do đó v(t) = 3ln|t + 1| + 6 v(10) = 3ln11 + 6 ≈ 13,2 (m/s).
\(\frac{{125}}{{49}}\);
\(\frac{{3125}}{{98}}\);
\(\frac{{2375}}{{392}}\);
\(\frac{{1125}}{{98}}\).
Đáp án đúng là: B
Gọi h(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.
Khi đó \(h\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {25 - 9,8t} \right)dt} = 25t - 4,9{t^2} + C\) (m).
Do h(0) = 0 nên C = 0 h(t) = −4,9t2 + 25t (m).
Vậy viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(h = - \frac{\Delta }{{4a}} = \frac{{3125}}{{98}}\)(m) khi \(t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{125}}{{49}}\) giây.
96,57 m/s;
69,75 m;
96,75 m/s;
69,57 m/s.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(v\left( t \right) = \int {\left( {{t^2} + 4t} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C\).
Vì v(0) = 15 nên C = 15.
Khi đó \[v\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\].
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15} \right)dt} = \frac{{{t^4}}}{{12}} + \frac{{2{t^3}}}{3} + 15t + {C_1}\).
Vì s(0) = 0 nên C1 = 0.
Vậy s(3) = 69,75 m.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(s\left( t \right) = \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t - \frac{{\sqrt 3 }}{8}\);
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\);
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\);
\(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(v\left( t \right) = \int {\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right)} dt = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + C\).
Mà v(0) = 0 nên \(C = \frac{1}{4}\).
Do đó \(v\left( t \right) = - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}\).
Có \(s\left( t \right) = \int {\left( { - \frac{1}{2}\cos \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}} \right)} dt = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + {C_1}\).
Vì s(0) = 0 nên \({C_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).
Do đó \(s\left( t \right) = - \frac{1}{4}\sin \left( {2t + \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{4}t + \frac{{\sqrt 3 }}{8}\).
25 m/s.
20 m/s.
30 m/s.
15 m/s.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi v(t) là vận tốc của thiết bị tại thời điểm t.
Vận tốc v(t) là một nguyên hàm của gia tốc a(t).
Ta có v(t) = \(\int {\left( {4t - 3} \right)} dt = 2{t^2} - 3t + C\).
Vì vận tốc ban đầu của thiết bị là 5 m/s nên v(0) = 5.
Thay t = 0 vào ta được: 2·02 − 3·0 + C = 5 ⇔ C = 5.
Vậy công thức vận tốc là v(t) = 2t2 − 3t + 5.
Vận tốc của thiết bị sau 4 giây là v(4) = 2·42 − 3·4 + 5 = 32 − 12 + 5 = 25 (m/s).
h(t) = −4t2 + 20t + C.
h(t) = −4t2 + 20t + 50.
h(t) = 4t2 − 20t + 50.
h(t) = −8t2 + 20t + 50.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Độ cao h(t) của khinh khí cầu là một nguyên hàm của vận tốc v(t).
Ta có h(t) = \(\int {\left( { - 8t + 20} \right)} dt = - 4{t^2} + 20t + C\).
Do tại thời điểm ban đầu t = 0, khinh khí cầu ở độ cao 50 m nên h(0) = 50.
Thay t = 0 vào ta được: −4·02 + 20·0 + C = 50 ⇔ C = 50.
Vậy công thức tính độ cao là h(t) = −4t2 + 20t + 50.
R(t) = 150t + 2t3.
R(t) = 150 + \(\frac{2}{3}{t^3}\).
R(t) = 150t + \(\frac{2}{3}{t^3}\).
R(t) = 150t + \(\frac{2}{3}{t^2}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm tổng doanh thu R(t) là một nguyên hàm của tốc độ tăng trưởng doanh thu R'(t).
Ta có R(t) = \(\int {\left( {150 + 2{t^2}} \right)} dt = 150t + \frac{2}{3}{t^3} + C\).
Tại thời điểm ban đầu t = 0, doanh thu bằng 0 nên R(0) = 0.
Thay t = 0 vào ta được: 150·0 + \(\frac{2}{3}\)·03 + C = 0 ⇔ C = 0.
Vậy công thức tính tổng doanh thu là R(t) = 150t + \(\frac{2}{3}{t^3}\).
40 °C.
50 °C.
60 °C.
70 °C.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm nhiệt độ T(t) là một nguyên hàm của tốc độ thay đổi nhiệt độ T'(t).
Ta có T(t) = \(\int {\frac{{ - 10}}{{t + 1}}} dt = - 10\ln \left( {t + 1} \right) + C\) (do thời gian t ≥ 0 nên t + 1 > 0).
Tại thời điểm t = 0, nhiệt độ là 80°C nên T(0) = 80.
Thay t = 0 vào công thức ta được: \( - 10\ln \left( 1 \right) + C = 80\) ⇔ 0 + C = 80 ⇔ C = 80.
Công thức biểu diễn nhiệt độ là T(t) = \( - 10\ln \left( {t + 1} \right)\) + 80.
Nhiệt độ của cỗ máy sau \({e^2} - 1\) phút là:
T(\({e^2} - 1\)) = \( - 10\ln \left( {{e^2} - 1 + 1} \right)\) + 80 = \( - 10\ln \left( {{e^2}} \right)\) + 80 = −10·2 + 80 = −20 + 80 = 60 (°C).
75 m.
65 m.
85 m.
55 m.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hàm vận tốc v(t) là một nguyên hàm của gia tốc a(t).
Ta có v(t) = \(\int {\left( {6t + 4} \right)} dt = 3{t^2} + 4t + C\).
Vì vận tốc ban đầu khi bắt đầu tăng tốc là 10 m/s nên v(0) = 10 ⇔ C = 10.
Do đó hàm vận tốc là v(t) = 3t2 + 4t + 10.
Quãng đường s(t) đi được là một nguyên hàm của vận tốc v(t).
Ta có s(t) = \(\int {\left( {3{t^2} + 4t + 10} \right)} dt = {t^3} + 2{t^2} + 10t + {C_1}\).
Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu tăng tốc và vị trí xuất phát làm mốc nên s(0) = 0 ⇔ C1 = 0.
Hàm quãng đường là s(t) = t3 + 2t2 + 10t.
Quãng đường đi được sau 3 giây là s(3) = 33 + 2·32 + 10·3 = 27 + 18 + 30 = 75 (m).
Gia tốc của canô trong quá trình hãm phanh là a(t) = −5 (m/s²).
Thời gian từ lúc tắt máy đến khi canô dừng hẳn là 4 giây.
Công thức tính quãng đường s(t) canô đi được từ lúc tắt máy là s(t) = −2,5t2 + 20t + 5.
Quãng đường canô đi được sau 2 giây kể từ lúc hãm phanh là 30 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc nên a(t) = v'(t) = −5 (m/s²).
b) Đúng. Canô dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4 (giây).
c) Sai. Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có s(t) = \(\int {\left( { - 5t + 20} \right)} dt = - 2,5{t^2} + 20t + C\).
Kể từ lúc tắt máy t = 0 thì s(0) = 0 ⇔ C = 0. Công thức đúng phải là s(t) = −2,5t2 + 20t.
d) Đúng. Quãng đường đi được sau 2 giây là s(2) = −2,5·22 + 20·2 = −10 + 40 = 30 (m).
Gia tốc của canô trong quá trình hãm phanh là a(t) = −5 (m/s²).
Thời gian từ lúc tắt máy đến khi canô dừng hẳn là 4 giây.
Công thức tính quãng đường s(t) canô đi được từ lúc tắt máy là s(t) = −2,5t2 + 20t + 5
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc nên a(t) = v'(t) = −5 (m/s²).
b) Đúng. Canô dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4 (giây).
c) Sai. Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có s(t) = .
Kể từ lúc tắt máy t = 0 thì s(0) = 0 ⇔ C = 0. Công thức đúng phải là s(t) = −2,5t2 + 20t.
d) Đúng. Quãng đường đi được sau 2 giây là s(2) = −2,5·22 + 20·2 = −10 + 40 = 30 (m).
Vận tốc ban đầu của vận động viên lúc bứt tốc tính theo m/s là 18 m/s.
Công thức biểu diễn vận tốc của xe theo thời gian t là v(t) = 0,3t2 + 2t + 5 (m/s).
Vận tốc của xe sau 10 giây bứt tốc là 55 m/s.
Quãng đường vận động viên đi được trong 10 giây bứt tốc đầu tiên là 200 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Sai. Đổi đơn vị vận tốc ban đầu: 18 km/h = \(\frac{{18}}{{3,6}}\) = 5 m/s. Vậy v(0) = 5 m/s.
b) Đúng. Ta có v(t) = .
Vì v(0) = 5 ⇔ C = 5. Vậy v(t) = 0,3t2 + 2t + 5.
c) Đúng. Vận tốc của xe tại t = 10 là v(10) = 0,3·102 + 2·10 + 5 = 30 + 20 + 5 = 55 (m/s).
d) Sai. Quãng đường s(t) là một nguyên hàm của v(t).
Ta có s(t) = .
Tại t = 0, s(0) = 0 ⇔ C1 = 0. Vậy s(t) = 0,1t3 + t2 + 5t.
Quãng đường đi được sau 10 giây là s(10) = 0,1·103 + 102 + 5·10 = 100 + 100 + 50 = 250 (mét).
Họ nguyên hàm của số lượng vi trùng là .
Số lượng vi trùng tại thời điểm ban đầu tương ứng với việc tìm hằng số C = 300000.
Phương trình biểu diễn số lượng vi trùng là \(N(t) = 1000\ln \left( {1 + 2t} \right) + 300000\).
Sau 10 ngày, số lượng vi trùng tăng thêm đúng 1000 con.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tính nguyên hàm: .
b) Đúng. Ban đầu t = 0, N(0) = 300000 suy ra \(1000\ln 1 + C = 300000\) hay C = 300000.
c) Đúng. Vì t ≥ 0 nên 1 + 2t > 0, ta bỏ trị tuyệt đối được \(N(t) = 1000\ln \left( {1 + 2t} \right) + 300000\).
d) Sai. Số lượng vi trùng tăng thêm sau 10 ngày là
N(10) – N(0) = 1000 ln(1 + 20) = 1000ln21 (con)
Giá trị này xấp xỉ 3044 con, không phải đúng 1000 con.
Tàu mất 5 giây kể từ lúc hãm phanh cho đến khi dừng hẳn.
Quãng đường đoàn tàu đi được trong thời gian hãm phanh là 50 mét.
Trong 5 giây đầu tiên của khoảng thời gian 10 giây nói trên, tàu đi được 100 mét.
Tổng quãng đường đoàn tàu đi được trong 10 giây cuối cùng là 120 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Tàu dừng hẳn khi v(t) = 0 ⇔ −4t + 20 = 0 ⇔ t = 5 (giây). Thời gian hãm phanh là 5 giây.
b) Đúng. Quãng đường hãm phanh là sp = .
Mà S(0) = 0 nên C = 0. Do đó S(5) = (−2·52 + 20·5) = −50 + 100 = 50 (mét).
c) Đúng. Trong 10 giây cuối cùng, có 5 giây hãm phanh và 5 giây trước đó tàu đang chạy đều với vận tốc 20 m/s. Quãng đường trong 5 giây chạy đều là sd = 20·5 = 100 (mét).
d) Sai. Tổng quãng đường trong 10 giây cuối cùng là s = sd + sp = 100 + 50 = 150 (mét), không phải 120 mét.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 70
Gọi s(t) là quãng đường xe đi được sau t giây kể từ lúc hãm phanh.
Ta có s(t) = .
Tại t = 0 (lúc bắt đầu hãm phanh), quãng đường đi được là 0 nên s(0) = 0 suy ra C = 0.
Do đó phương trình quãng đường là s(t) = 19t − t2.
Quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là s(5) = 19·5 − 52 = 95 − 25 = 70 (mét).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 66
Thể tích nước trong bồn tại thời điểm t là nguyên hàm của tốc độ chảy V'(t).
Ta có V(t) = .
Vì ban đầu bồn không có nước nên V(0) = 0 suy ra 02 + 5·0 + C = 0 hay C = 0.
Phương trình thể tích nước là V(t) = t2 + 5t.
Thể tích nước trong bồn sau 6 phút là V(6) = 62 + 5·6 = 36 + 30 = 66 (lít).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 8
Chiều cao của cây tại thời điểm t là nguyên hàm của tốc độ phát triển h'(t).
Ta có h(t) = .
Lúc mới trồng cây cao 1 mét nên h(0) = 1 suy ra 0,2·0 + 0,05·02 + C = 1 hay C = 1.
Công thức chiều cao của cây là h(t) = 0,2t + 0,05t2 + 1.
Sau 10 năm, chiều cao của cây là h(10) = 0,2·10 + 0,05·102 + 1 = 2 + 5 + 1 = 8 (mét).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 4
Tọa độ của chất điểm s(t) là nguyên hàm của vận tốc v(t).
Ta có s(t) = .
Tại t = 1, tọa độ chất điểm là 2 nên s(1) = 2 suy ra 13 − 3·12 + C = 2 hay 1 − 3 + C = 2 suy ra C = 4.
Phương trình tọa độ của chất điểm là s(t) = t3 − 3t2 + 4.
Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t = 3 giây là s(3) = 33 − 3·32 + 4 = 27 − 27 + 4 = 4 (mét).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 700
Hàm tổng chi phí C(x) là một nguyên hàm của chi phí cận biên C'(x).
Ta có C(x) = .
Chi phí cố định khi x = 0 là 100 nghìn đồng nên C(0) = 100 suy ra 02 + 50·0 + K = 100 hay K = 100.
Hàm tổng chi phí là C(x) = x2 + 50x + 100.
Tổng chi phí khi sản xuất 10 sản phẩm là
C(10) = 102 + 50·10 + 100 = 100 + 500 + 100 = 700 (nghìn đồng).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
