Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Theo định nghĩa thì hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên khoảng \[K\] nếu\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K.\)

\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x - 5} \right)} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + 2\frac{{{x^2}}}{2} - 5x + C = \frac{{{x^3}}}{6} + {x^2} - 5x + C\).

∫fxdx=∫13x23+1x+32xdx=∫x−233dx+∫x−12dx+32∫x12dx              =3.x133+2x12+32.23x32+C=x3+2x+xx+C.

Ta có: \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {3\sin x + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x}  = 3\int {\sin x{\rm{d}}x}  + 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \]\[ =  - 3\cos x + 4\tan x + C\].

Do đó \[F\left( x \right) =  - 3\cos x + 4\tan x + C\].

\(F\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow  - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5\).

Suy ra \[F\left( x \right) =  - 3\cos x + 4\tan x + 5\].

Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) =  - 3\cos \frac{\pi }{3} + 4\tan \frac{\pi }{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt 3 \].

Do \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[{5^x}\] nên \(F'\left( x \right) = {5^x}.\)

Ta có \(f\left( x \right) = F'\left( x \right)\) suy ra \(f\left( x \right) = 3{x^2}.{e^{{x^3}}}\).

Ta có \(\int {\frac{2}{x}} {\rm{d}}x = 2\int {\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = 2\ln \left| x \right| + C\).

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{3x + 7}}{{x + 2}} = 3 + \frac{1}{{x + 2}}\).

\(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {3 + \frac{1}{{x + 2}}} \right)} {\rm{d}}x = 3\int {{\rm{d}}x} + \int {\frac{1}{{x + 2}}} {\rm{d}}x = 3x + \ln \left| {x + 2} \right| + C\).

Trên \[\left( { - 1;\, + \infty } \right)\] ta có \({\left( {x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)^\prime } = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = f\left( x \right)\).

Vậy một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\] trên \[\left( { - 1;\, + \infty } \right)\] là \(x + \ln \left( {x + 1} \right)\).

Trên \[\left( { - 2;\, + \infty } \right)\] ta có \({\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + 2\ln \left( {x + 2} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2}} = f\left( x \right)\).

Vậy một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{x + 2}}\] trên \[\left( { - 2;\, + \infty } \right)\] là \(\frac{{{x^2}}}{2} - x + 2\ln \left( {x + 2} \right)\).

Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{dx}}} = \int {\left( {{x^2} + \sin 2x} \right){\rm{dx}}} = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{2}\cos 2x + C\].

Ta có \[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{dx}}}  = \int {\left( {2x - \cos 2x} \right){\rm{d}}x}  = {x^2} - \frac{1}{2}\sin 2x + C\].

Mà \[f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\]. Vậy \(f\left( x \right) = {x^2} - \frac{1}{2}\sin 2x\).

a) Sai vì theo phép nhân đa thức \[f\left( x \right) = {x^2} + 3x + 2\].

b) Đúng vì \(f'\left( x \right) = 2x + 3\)

c) Sai vì không có tính chất \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x.} \int {\left( {x + 1} \right){\rm{d}}x} \].

d) Đúng vì \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right){\rm{d}}x = } } \int {{x^2}{\rm{d}}x + 3\int {x{\rm{d}}x + \int {{\rm{2d}}x = } } } \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2x + C\].

a) \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \frac{{\int {\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} }}{{\int {\left( {x - 2} \right){\rm{d}}x} }}\] sai theo tính chất của nguyên hàm.

b) Đúng vì \(f'\left( x \right) = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1.1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

c) Đúng vì

\[\int {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}} \;{\rm{d}}x\]\[ = \]\[\int {\frac{{2x - 4 + 5}}{{x - 2}}} \;{\rm{d}}x\]\[ = \]\[\int {\left( {\frac{{2x - 4}}{{x - 2}} + \;\frac{5}{{x - 2}}} \right)} \,{\rm{d}}x\]\[ = \]\[\int {\left( {2 + \;\frac{5}{{x - 2}}} \right)} \,{\rm{d}}x\]\[ = \]\[2x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C\].

d) Sai, vì ta có ở ý c: \[\int {\frac{{2x + 1}}{{x - 2}}} \;{\rm{d}}x\]\[ = \]\[2x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C\].

Do đó \[a = 2\] và \[b = 5\].

Vậy \[S = a + b = 2 + 5 = 7\].

a) Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - 4x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - 4.0 = 1\).

=> Mệnh đề a) sai.

b)\(\int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {\left( {{2^x} - 4x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} + C\).

\(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - {2.0^2} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}} - 2.\)

=> Mệnh đề b) sai.

c) \(\int {F(x){\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{{{\ln }^2}2}} - \frac{2}{3}{x^3} + C\).

=> Mệnh đề c) sai.

d) \(\int {\frac{{f(x)}}{{x{{.2}^x}}}{\rm{d}}x}  = \int {\frac{{{2^x} - 4x}}{{x{{.2}^x}}}{\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{1}{x} - {{4.2}^{ - x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}  - 4\int {{2^{ - x}}{\rm{d}}x} \)\( = \ln \left| x \right| + \frac{4}{{\ln 2}}{.2^{ - x}} + C\)

=> Mệnh đề d) đúng.

a) \(f\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

b) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - \cos x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - \cos 0 = 0\).

Vậy mệnh đề đã cho sai.

c) Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(F\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(k = F'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = {2^{\frac{\pi }{2}}} - \cos \frac{\pi }{2} = \sqrt {{2^\pi }} \).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

d) \(\int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {\left[ {{2^x} - \cos x} \right]{\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x + C\).

Giả thiết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - \sin 0 + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \sin x\)\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = \frac{{{2^{ - 1}}}}{{\ln 2}} - \sin \left( { - 1} \right) = \frac{1}{{2\ln 2}} + \sin 1\).

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

Ta có \(I = \int {\frac{1}{{2\tan x + 1}}{\rm{d}}x}  = \int {\frac{{\cos x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(J = \int {\frac{{\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \).

Khi đó \(2J + I = \int {\frac{{2\sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  + \int {\frac{{\cos x}}{{2\sin x + \cos x}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x}  = \int {{\rm{d}}x} \)\( = x + {C_1}\)\(\left( 1 \right)\).

Mặt khác ta lại có : \(2I - J = \int {\frac{{2\cos x - \sin x}}{{2\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} \)\( = \ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + {C_2}\)\(\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow I = \frac{x}{5} + \frac{2}{5}\ln \left| {2\sin x + \cos x} \right| + C\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a + 2b = 12\).

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {3{x^2} + 2x - m + 1} \right){\rm{d}}x} \)\( = {x^3} + {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + C\).

Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 1 \right) =  - 3\end{array} \right.\)\(\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^3} + {2^2} + \left( {1 - m} \right).2 + C = 1\\1 + 1 + \left( {1 - m} \right) + C =  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + C =  - 13\\ - m + C =  - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 7\\C = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 6x + 1\). Vậy \(f\left( { - 1} \right) = 7\).

Xét trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\].

Khi đó

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\frac{{\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}{\rm{d}}t}  = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}{\rm{d}}\left( {{x^2} + x} \right)} }  =  - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C =  - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + C\).

Mặt khác, \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow  - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) =  - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 =  - \left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right] + 1\).

Suy ra

\[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) +  \ldots  + F\left( {2021} \right) =  - \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2021.2022}}} \right) + 2021\]

\[ =  - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2021}} - \frac{1}{{2022}}} \right) + 2021 =  - \left( {1 - \frac{1}{{2022}}} \right) + 2021\]

\[ = 2020 + \frac{1}{{2022}} = a + \frac{1}{b}.\] Suy ra \(a = 2020;b = 2022\).

Vậy tổng \(a + b = 2020 + 2022 = 4042\).

Ta có \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( {2t - 7} \right){\rm{d}}t}  = {t^2} - 7t + C\), mặt khác \(v\left( 0 \right) = 10\) nên \(C = v\left( 0 \right) = 10\).

\( \Rightarrow v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10\).

Để chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s) thì .

Vậy tại thời điểm \(t = 8\)(s) thì chất điểm đạt vận tốc 18 (m/s).

+) Trên \(\left[ { - 1;\,2} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một phần của parabol \(\left( P \right):y = a{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(\left( { - 1;1} \right),\,\left( {0;2} \right),\,\left( {2; - 2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 1\\c = 2\\a{.2^2} + b.2 + c =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y =  - {x^2} + 2.\)

+) Trên \(\left[ {2;\,3} \right]\), đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đoạn thẳng \(\left( d \right):y = m{\rm{x}} + n\) đi qua các điểm \(\left( {2; - 2} \right),\,\left( {3;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2m + n =  - 2\\3m + n = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n =  - 12\end{array} \right. \Rightarrow \left( d \right):\,y = 5x - 12.\)

Vậy \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\,\,5x - 12\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right.\).

+) Từ đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x + {C_1}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)

Do \(F\left( { - 1} \right) =  - \frac{5}{3} \Rightarrow {C_1} = 0.\)

Ta có \(F\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 2\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + {C_2}} \right) \Rightarrow {C_2} = \frac{{46}}{3}.\)

Khi đó : \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - {x^3}}}{3} + 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\, - 1 \le x \le 2\\\frac{{5{x^2}}}{2} - 12x + \frac{{46}}{3}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\,\,2 \le x \le 3\end{array} \right..\)

Vậy \(F\left( 0 \right) + F\left( 3 \right) = \frac{{11}}{6} \approx 1,8.\)

Ta có: \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t}  = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right){\rm{d}}t}  = a{t^3} + b\frac{{{t^2}}}{2} + C.\]

Do ban đầu bể không có nước nên \[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + b\frac{{{t^2}}}{2}.\]

Lúc \(5\) phút: \[h\left( 5 \right) = a{.5^3} + b.\frac{{{5^2}}}{2} = 150\,\,\left( 1 \right).\]

Lúc \(10\) phút: \[h\left( {10} \right) = a{.10^3} + b.\frac{{{{10}^2}}}{2} = 1100\,\,\left( 2 \right).\]

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)suy ra \[a = 1,\,b = 2 \Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2} \Rightarrow h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400\,d{m^3}.\]