Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tìm khẳng định sai.
\(\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right).{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right).{\rm{d}}x + } \int {g\left( x \right).{\rm{d}}x} \).
\(\int {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x.} \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \).
\(\int {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right).{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right).{\rm{d}}x - } \int {g\left( x \right).{\rm{d}}x} \)
\(\int {k.f\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), với \(k\)là hằng số khác 0.
Ta có B là khẳng định sai.
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4}\) là
\({x^4} + C\).
\(4{x^3} + C\).
x55+C.
x5+C
Ta có ∫x4dx=x55+C. Vậy đáp án đúng là C.
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\). Biết \(F\left( 1 \right) = 1\), tính \(F\left( 4 \right)\).
\(7\).
\(2\).
\(5\).
\(3\).
Ta có \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = } 2\sqrt x + C\).
Khi đó: \(F\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow C = - 1\). Suy ra \(F\left( 4 \right) = 4 - 1 = 3\). Vậy đáp án đúng là D.
Tìm khẳng định đúng.
\(\int {\sin x.{\rm{d}}x} = \cos x + C\).
\(\int {\sin x.{\rm{d}}x} = - \cos x + C\).
\(\int {\cos x.{\rm{d}}x} = - \sin x + C\)
\(\int {\cos 2x.{\rm{d}}x} = \sin 2x + C\).
Ta có \(\int {\sin x.{\rm{d}}x} = - \cos x + C\). Vậy đáp án đúng là B.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\].
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln \left| x \right| + C\).
Ta có: \(\int {\left( {{x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}} \right)} {\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + x\) là
\({{\rm{e}}^x} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
\({{\rm{e}}^x} + {x^2} + C\).
\(\frac{{{{\rm{e}}^x}}}{{\ln 2}} + {x^2} + C\).
\({\rm{e}} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\).
Ta có \(\int {\left( {{{\rm{e}}^x} + x} \right)} \,{\rm{d}}x = {{\rm{e}}^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\).
Tính \[\int {\frac{1}{{x.\ln 2}}.{{\log }_2}x{\rm{d}}x} \].
\[\log {x^2} + C\].
\(\frac{{\log _2^2x}}{2} + C\).
\(\log _2^2x + C\).
\(\frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{2} + C\)
Ta có \[\int {\frac{1}{{x.\ln 2}}.{{\log }_2}x{\rm{d}}x} = \int {{{\log }_2}x.} \left( {\frac{1}{{x.\ln 2}}} \right){\rm{d}}x = {\int {{{\log }_2}x.\left( {{{\log }_2}x} \right)} ^\prime }{\rm{d}}x = \int {{{\log }_2}x} {\rm{d}}x\left( {{{\log }_2}x} \right) = \frac{{\log _2^2x}}{2} + C.\]
Tính \[\int {\frac{2}{x}} .\ln x{\rm{d}}x\].
\[{\ln ^2}x + C\].
\[\ln {x^2} + C\].
\[\ln x + C\].
\[2.\ln x + C\].
Ta có \[\int {\frac{2}{x}} .\ln x{\rm{d}}x = 2\int {\frac{1}{x}.\ln x{\rm{d}}x = 2\int {{{\left( {\ln x} \right)}^\prime }.\ln x{\rm{d}}x = 2\int {\ln x{\rm{d}}\left( {\ln x} \right)} = 2\frac{{{{\ln }^2}x}}{2} = {{\ln }^2}x} } \].
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2} - 2025}}{{x\left( {{x^2} + 2025} \right)}}} {\rm{d}}x\).
\(I = \ln \left| {x - \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {1 - \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {x + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {1 + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
Ta có: \(I = \int {\frac{{{x^2} - 2025}}{{x\left( {{x^2} + 2025} \right)}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{1 - \frac{{2025}}{{{x^2}}}}}{{x + \frac{{2025}}{x}}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{1}{{\left( {x + \frac{{2025}}{x}} \right)}}{\rm{d}}\left( {x + \frac{{2025}}{x}} \right)} \)
Vậy \(I = \ln \left| {x + \frac{{2025}}{x}} \right| + C\).
Biết \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025} + \sqrt {x + 2024} }}} = a\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025} + b\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024} + C\) với \(a,b\) là các số hữu tỉ và \(C\) là hằng số bất kì. Tính \(S = 2025a + 3b.\)
\(1348\).
\(4049\).
\( - 1348\).
\(1352\).
Chọn A
Ta có \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {x + 2025} + \sqrt {x + 2024} }}} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2025} - \sqrt {x + 2024} }}{{x + 2025 - \left( {x + 2024} \right)}}{\rm{d}}x} = \int {\left( {\sqrt {x + 2025} - \sqrt {x + 2024} } \right){\rm{d}}x} \)
\( = \frac{2}{3}\left( {x + 2025} \right)\sqrt {x + 2025} - \frac{2}{3}\left( {x + 2024} \right)\sqrt {x + 2024} + C.\)
Suy ra \(a = \frac{2}{3},b = - \frac{2}{3}.\) Vậy \(S = 2025a + 3b = 1348.\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 45;45} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 2025}}\), \(f\left( {25} \right) = 0\). Tính \(f\left( { - 50} \right)\) thuộc khoảng nào?
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Chọn A
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\frac{1}{{{x^2} - 2025}}{\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{{90}}\int {\left( {\frac{1}{{x - 45}} - \frac{1}{{x + 45}}} \right){\rm{d}}x} \)\[ = \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| + C\]
Mà \[f\left( {25} \right) = 0\] \[ \Rightarrow \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}\]
Khi đó \[f\left( x \right) = \frac{1}{{90}}\ln \left| {\frac{{x - 45}}{{x + 45}}} \right| - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7}\]
Do đó \[f\left( { - 50} \right) = \frac{1}{{90}}\ln 19 - \frac{1}{{90}}\ln \frac{2}{7} = \frac{1}{{90}}\ln \frac{{133}}{2} \approx 0,047 \in \left( {0;1} \right)\]
Tìm nguyên hàm \(I = \int {\frac{{{x^2} + 45}}{{{x^4} - 90{x^2} + 2025}}} {\rm{d}}x\).
\(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} + x - 45}}{{{x^2} - x - 45}}} \right| + C\).
\(I = \ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
\(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} + x - 45}}{{{x^2} - x - 45}}} \right| + C\).
\(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
Ta có: \(I = \int {\frac{{{x^2} + 45}}{{{x^4} - 91{x^2} + 2025}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{1 + \frac{{45}}{{{x^2}}}}}{{{x^2} - 91 + \frac{{2025}}{{{x^2}}}}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{\left( {1 + \frac{{45}}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^2} + \frac{{{{45}^2}}}{{{x^2}}} - 91}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{\left( {1 + \frac{{45}}{{{x^2}}}} \right)}}{{{{\left( {x - \frac{{45}}{x}} \right)}^2} - 1}}} {\rm{d}}x\)
\( = \int {\frac{1}{{{{\left( {x - \frac{{45}}{x}} \right)}^2} - 1}}} {\rm{d}}\left( {x - \frac{{45}}{x}} \right)\)\[ = \frac{1}{2}\left[ {\ln \left| {x - \frac{{45}}{x} - 1} \right| - \ln \left| {x - \frac{{45}}{x} + 1} \right|} \right]\]\( = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
Vậy \(I = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{{x^2} - x - 45}}{{{x^2} + x - 45}}} \right| + C\).
Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?
\(\int {2x{\rm{d}}x} = {x^2} + C\)
\[\int {\left( {4{x^3} + 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = {x^4} + {x^2} + x + C\]
Hàm số \(F\left( x \right) = 5{x^3} + 4{x^2} - 7x + 10 + C\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)\[\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \(a + b + c = 30\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - m + 1\), \(f\left( 2 \right) = 1\) và có đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Nếu \(f\left( x \right) = a{x^4} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\) thì \(a + b + c = - 7\).
|
Đ |
Đ |
S |
S |
a, b. Áp dụng quy tắc \[\int {{x^\alpha }{\rm{d}}x} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right)\]
và tính chất \[\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int {g\left( x \right){\rm{d}}x} \]. Ta được:
\(\int {2x{\rm{d}}x} = {x^2} + C\).
\[\int {\left( {4{x^3} + 2x + 1} \right){\rm{d}}x} = 4\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^2}}}{2} + x + C\]\[ = {x^4} + {x^2} + x + C\].
c) Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,\,\, \Rightarrow } \,f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 15{x^2} + 8x - 7\).
Vậy \(a + b + c = 16\).
d) Ta có: \(f\left( x \right) = {x^4} - \left( {m - 1} \right)x + C\)
Từ giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}C = 3\\16 - \left( {m - 1} \right).2 + C = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 3\\m - 1 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 3\\m = 10\end{array} \right.\)
Do đó: \(f\left( x \right) = {x^4} - 9x + 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 9\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - 5.\)
Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?
Một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{1}{{2x}}\]là \[\frac{1}{2}\ln \left| x \right|\].
Nếu \(x > 0\) thì nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}\) là \(\ln x - \frac{3}{x} + C\)
Một nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}\] là \[\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right).\ln \left| x \right|\].
Nếu \(F\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 3x + 7}}{{x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)(\(a,b,c \in \mathbb{Z}\)) thì \(a + b + c = 12\).
Đ |
Đ |
S |
S |
a, b. Áp dụng quy tắc \[\int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x} = \ln \left| x \right| + C\left( {x \ne 0} \right)\] và \[\int {\frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{x^{ - 2}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{x} + C\left( {x \ne 0} \right)\]
Với \(x > 0\) ta có: \(\int {\frac{1}{{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C\) và \(\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} = \ln x - \frac{3}{x} + C\).
c) \(\int {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{x}{\rm{d}}x} = \int {\left( {x - 3 + \frac{2}{x}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + 2\ln \left| x \right| + C\)
Vậy mệnh đề c sai.
d) Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có:
\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,\,\, \Rightarrow } \,f\left( x \right) = F'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 4x - 10}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Vậy \(a + b + c = - 4\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x\).
Một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2}\).
Một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(G(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 1\).
Biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(M(x)\) và \(M(0) = 1\). Khi đó \(M\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 1\).
Biết một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)trên \(\mathbb{R}\) là \(H(x)\) và \(H(1) = - \frac{1}{4}\). Khi đó \(H(2) = - 1\).
a) Đúng.
Một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) là \(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2}\) vì \(F'\left( x \right) = {x^3} - 3x\).
b) Sai. \(G'\left( x \right) = {x^3} + 3x \ne f\left( x \right)\).
c) Đúng.
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) có nguyên hàm \(M(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + m\). Mà \(M(0) = 1 \Leftrightarrow m = 1\).
Khi đó \(M(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 1\).
d) Đúng.
\(f(x) = {x^3} - 3x\) có nguyên hàm \(H(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + C\).
Mà \(H(1) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + C = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow C = 1\).
Khi đó \(H(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 1 \Rightarrow H(2) = - 1\).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
Hàm \[F\left( x \right) = {x^4} + 5\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 4{x^3} + 5x\].
Hàm \[F\left( x \right) = \ln \left| x \right| + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{x}\].
Hàm \[F\left( x \right) = {x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 9x + 1\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right).\left( {4x + 3} \right)\].
Nếu hàm \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right).\left( {4x + 3} \right)\] và \[F\left( 1 \right) = - 10\] thì \[F\left( 0 \right) = 3\].
a) Sai.
b) Đúng.
c) Sai. \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^2} - 3} \right).\left( {4x + 3} \right)dx} = \int {\left( {4{x^3} + 3{x^2} - 12x - 9} \right){\rm{d}}x} = {x^4} + {x^3} - 6{x^2} - 9x + C\].
d) Đúng.
\[F\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 6{x^2} - 9x + C\]\[ \Rightarrow F\left( 1 \right) = - 13 + C = - 10 \Rightarrow C = 3\]. Suy ra \[F\left( 0 \right) = 3\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 2025\]. Tính \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị).
+) Ta có \(f\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x = \cos x\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {\cos x - \cos x\cos 2x} \right)\)\( = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{4}\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\)\( = \frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x\).
+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{4}\cos x - \frac{1}{4}\cos 3x} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + C\).
Lại có: \[F\left( 0 \right) = 2025\] \[ \Rightarrow C = 2025\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{1}{4}\sin \,x - \frac{1}{{12}}\sin \,3x + 2025\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{4}\sin \,\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{12}}\sin \,\frac{{3\pi }}{2} + 2025\)\( = \frac{1}{4} + \frac{1}{{12}} + 2025 = \frac{{6076}}{3} \approx 2025\).
Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \approx 2025\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\) có một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\]. Tính \[F\left( 0 \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị).
+) Ta có \(f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)\( = \frac{1}{2}\left( {2x - 1 + 1} \right){\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)\( = \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2026}} + \frac{1}{2}{\left( {2x - 1} \right)^{2025}}\)..
+) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int {\left( {\frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}} + \frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^{2025}}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{2027}} + \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{2026}} + C\)\( = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + C\).
Lại có: \[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\] \[ \Rightarrow C = 1\]\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1\)\( \Rightarrow F\left( 0 \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2027}}}}{{8108}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2026}}}}{{8104}} + 1 \approx 1\).
Vậy \[F\left( 0 \right) \approx 1\].
Cho biết \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{{x + 1}} - c\ln \left| x \right| + d\ln \left| {x + 1} \right| + C\), với \[a,\,b,\,c,\,d\] là số nguyên. Tính \[S = a + b - c + d\].
Ta có \(I = \int {\frac{1}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \int {{{\left[ {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} \)
\[ = \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right]{\rm{d}}x} \]\[ = \int {\left[ {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{x} + \frac{2}{{x + 1}}} \right]{\rm{d}}x} \]
\[ = - \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} - 2\ln \left| x \right| + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C\].
Đối chiếu yêu cầu bài toán ta có \[a = - 1;\,b = - 1;\,c = 2;\,d = 2\], suy ra \[S = a + b - c + d = - 2\].
Chú ý: \[\int {\frac{1}{{ax + b}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{ax + b}}} = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\].
\[\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = - \frac{1}{a}\int {\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^\prime }{\rm{d}}x}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}} = - \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C\]
Một hòn đá được ném lên theo phương thẳng đứng, bỏ qua lực cản của không khí, với vận tốc ban đầu là \(10\left( {m/s} \right)\), lấy \[g = 10\left( {m/{s^2}} \right)\]. Khi lên đến điểm cao nhất hòn đá rơi thẳng đứng đến khi chạm đất. Tính thời gian viên đá bay từ lúc ném lên đến khi chạm đất.
+ Vận tốc khi viên đá bay lên là \[{v_1}\left( t \right) = \int { - g{\rm{d}}t} = \int { - 10} {\rm{d}}t = - 10t + C\].
+ Theo giả thiết ta có \[{v_1}\left( 0 \right) = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow {v_1}\left( t \right) = - 10t + 10\].
+ Đến vị trí cao nhất thì viên đá dừng, ta có.
+ Quãng đường từ lúc ném đến khi viên đá đạt độ cao nhất là:
\[{S_1}\left( t \right) = \int {{v_1}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( { - 10t + 10} \right)} {\rm{d}}t = - 5{t^2} + 10t + {C_1}\]
+ Ta có \[{S_1}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_1} = 0\]\[ \Rightarrow {S_1}\left( t \right) = - 5{t^2} + 10t\].
+ Sau \[1\left( s \right)\] viên đá đạt độ cao \[ \Rightarrow {S_1}\left( 1 \right) = 5\left( m \right)\].
+ Vận tốc khi viên đá rơi xuống là \[{v_2}\left( t \right) = \int {g{\rm{d}}t} = \int {10} {\rm{d}}t = 10t + {C_2}\].
+ Lúc bắt đầu rơi \[{v_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_2} = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = 10t\].
+ Quãng đường viên đá rơi xuống là: \[{S_2}\left( t \right) = \int {{v_2}\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {10t} {\rm{d}}t = 5{t^2} + {C_3}\].
+ Ta có \[{S_2}\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {C_3} = 0\]\[ \Rightarrow {S_2}\left( t \right) = 5{t^2}\].
Do đó \[5{t^2} = 5 \Rightarrow t = 1\left( s \right)\], suy ra thời gian viên đá rơi đến khi chạm đất là \[1\left( s \right)\].
Vậy tổng thời gian viên đá từ lúc ném lên đến khi rơi xuống là \[2\left( s \right)\].
Biết rằng hàm số \[F\left( x \right) = x + 2024\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\]; hàm số\[G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\]là một nguyên hàm của hàm số \[g\left( x \right)\]. Gọi \[H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} \], biết \[H\left( 4 \right) = 4\]. Tính \[H\left( 1 \right)\].
* \[f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 1;\,g\left( x \right) = G'\left( x \right) = \frac{x}{2}\].
* \[H\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{.g}}\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{x}{2}{\rm{d}}x} = \frac{{{x^2}}}{4} + C\]
* \[H\left( 4 \right) = 4\] nên suy ra \[C = 0\]. Do đó \[H\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}\].
* \[H\left( 1 \right) = \frac{1}{4} = 0,25\].
Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao \[3,0\,({\rm{m)}}\] đang không chứa nước. Người ta cần thay nước mới cho hồ bơi nên dùng máy bơm để bơm nước vào hồ, giả sử \[h\left( t \right)\,\,({\rm{m)}}\] là chiều cao của mực nước đã được bơm vào tại thời điểm \[t\] giờ. Biết rằng tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại giờ thứ \[t\] kể từ lúc bắt đầu bơm nước vào hồ là \[h'\left( t \right) = \frac{{\sqrt[3]{{t + 3}}}}{5}\]. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ lúc bắt đầu bơm thì hồ đạt được độ sâu \[2,1\,({\rm{m)}}\](Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
* \[h\left( t \right) = \int {h'\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {t + 3} \right)}^{\frac{1}{3}}}{\rm{d}}t} = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} + C\].
* \[h\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} \to h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}}\].
* \[h\left( t \right) = 2,1 \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} - \frac{{9\sqrt[3]{3}}}{{20}} = 2,1 \Leftrightarrow {\left( {t + 3} \right)^{\frac{4}{3}}} \simeq 18,33 \to t \simeq 6\].
Vậy sau khi bơm khoảng 6 giờ thì độ sâu của mực nước trong hồ là 2,1 (m).
