Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sin \left( {2x + 1} \right)\)?
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \cos \left( {2x + 1} \right)\).
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - 2\cos \left( {2x + 1} \right)\).
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\).
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\).
+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + 2\sin \left( {2x + 1} \right)\).
+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 2\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + 4\sin \left( {2x + 1} \right)\).
+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x - \sin \left( {2x + 1} \right)\).
+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + \sin \left( {2x + 1} \right)\). Vậy \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sin \left( {2x + 1} \right)\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3x - 1\) là
\(F\left( x \right) = {x^4} - \frac{3}{2}{x^2} - x + C\).
\(F\left( x \right) = {x^4} - \frac{3}{2}{x^2} - x\).
\(F\left( x \right) = 12{x^2} - 3x + C\).
\(F\left( x \right) = 12{x^4} - 3{x^2} - x + C\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2\sqrt x \) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{3}\) là
\(F\left( x \right) = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2\).
\(F\left( x \right) = {x^3} - {x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{3}\).
\(F\left( x \right) = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{3}\).
\(F\left( x \right) = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 2\).
+ \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2\sqrt x } \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C\).
+ \(F\left( 1 \right) = - \frac{1}{3} + C = \frac{5}{3} \Rightarrow C = 2.\)
+ Vậy \(F\left( x \right) = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 2\).
Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x - \cos x\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) là
\(F\left( x \right) = 2\cos x - \sin x - 1\).
\(F\left( x \right) = 2\cos x + \sin x - 1 - \sqrt 3 \).
\(F\left( x \right) = - 2\cos x - \sin x + 1\).
\(F\left( x \right) = - 2\cos x - \sin x - 1\).
+ \(F\left( x \right) = \int {\left( {2\sin x - \cos x} \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x = - 2\cos x - \sin x + C\).
+ \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 2\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{3} + C = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow C = 1\).
+ Vậy \(F\left( x \right) = - 2\cos x - \sin x + 1\).
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(y = {2024^x}\) là
\({2024^x} + C\).
\(\frac{{{{2024}^{x + 1}}}}{{2024}} + C\).
\(\frac{{{{2024}^x}}}{{\ln 2024}} + C\) .
\({2024^x}.\ln 2024 + C\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(y = {2024^x}\) là \(\frac{{{{2024}^x}}}{{\ln 2024}} + C\).
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^{3x}} + 1\) là
\[3{{\rm{e}}^{3x}} + C\].
\[\frac{1}{3}{{\rm{e}}^{3x}} + C\].
\[3{{\rm{e}}^{3x}} + x + C\].
\[\frac{1}{3}{{\rm{e}}^{3x}} + x + C\].
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\ln x\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
\[{\ln ^2}x + C\].
\( - \frac{1}{{{x^3}}} + C\).
\(\frac{1}{2}\ln x + C\).
\(\frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024\) với mọi \(x \in \left( { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\).
\(\frac{3}{2}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).
\(\frac{3}{2}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + {2^x}\ln 2 + 2024x + C\).
\(\frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).
\(\frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + {2^x}\ln 2 + 2024x + C\).
Ta có
\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left[ {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} + \int {{2^x}{\rm{d}}x} + \int {2024{\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{3}\int {\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}\left[ {\ln \left( {3x + 1} \right)} \right]} + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\)\( = \frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).Họ nguyên hàm của \(\frac{2}{x}\) là
\[2\].
\[2\ln \left| x \right| + C\].
\[\frac{2}{{{x^2}}}\].
\[2\ln \left| x \right|\].
Ta có:
\(\int {\frac{2}{x}{\rm{d}}x} = 2\ln \left| x \right| + C\).
\(\int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}{\rm{d}}x} \) bằng
\[{x^2} + \ln \left| x \right|\].
\[\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right|\].
\[\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C\].
\[\frac{x}{2} + \ln \left| x \right| + C\].
Ta có:
\[\int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C} } \].
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]. Chọn khẳng định đúng:
\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + \tan x + C} \].
\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \ln x + \tan x + C} \].
\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \ln x + \tan \left| x \right| + C} \].
\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \ln \left| x \right| + \tan x} \].
Ta có:
\(\)\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x = } \ln \left| x \right| + \tan x + C\]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(f\left( x \right)\) bằng
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x\].
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 3\].
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 1\].
\[\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 2\].
Ta có:
\[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + C} \].
Mà \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\).
Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 1\).Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\) và \(F(x) = \int {f(x){\rm{d}}x} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(F'(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\).
Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\).
\(F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\).
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(F(0) = 1.\) Khi đó \(F(1) = \frac{5}{4}\).
a) Do \(F(x) = \int {f(x){\rm{d}}x} \) nên \(F'(x) = f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Vậy câu a) đúng.
b) Do \(y' = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = f(x)\) nên câu b) đúng.
c) Do \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nên \(F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + C\). Vậy câu c) sai.
d) Có \(F(0) = C = 1 \Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1 \Rightarrow F(1) = \frac{1}{4}\). Vậy câu d) sai.Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\) và \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(F'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\).
\[f(x) = \frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}\].
\(F(x) = \frac{1}{2}\ln \frac{{x - 3}}{{x - 1}} + C\).
Biết \(F(2) = 2\) và \(F( - 1) = 5\). Khi đó \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) + F(4) < 10\).
a) \(F'\left( x \right) = f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\). Vậy câu a) đúng.
b) Do \[\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 4x + 3}} = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)\] nên câu b) sai.
c) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 3}} - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 1}}} } } \right)} = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C\)
\( = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right| + C\).
Vậy câu c) sai.
d) Ta có \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_1}\) khi \(x \in \left( {1;3} \right)\) và \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_2}\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Có \(F(2) = {C_1} = 2 \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \sqrt 3 + 2\).
\(F( - 1) = \frac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 5 - \ln \sqrt 2 \Rightarrow F(4) = - \ln \sqrt 3 + 5 - \ln \sqrt 2 \).
Suy ra \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) + F(4) = \ln \sqrt 3 + 2 + 5 - \ln \sqrt 3 - \ln \sqrt 2 = 7 - \ln \sqrt 2 < 10\)
Vậy câu d) đúng.
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\]. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(\int {f\left( x \right)dx} = x + \ln \left| x \right| + C\).
Nếu \[F\left( 1 \right) = 0\] thì \[F\left( 2 \right) = 2 + \ln 2\].
\(F\left( {2x} \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).
Hàm số \[f\left( {{e^x}} \right)\] có một nguyên hàm là \[2x + {e^{ - x}}\]./
a) Sai.
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} dx = 2x + \ln \left| x \right| + C\).
b) Đúng.
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2x + 1}}{x}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} dx = 2x + \ln \left| x \right| + C\), suy ra \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C\).
Mà \(F\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2\).
Vậy \(F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2\)
c) Sai
Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}\].
\(\int {f\left( {2x} \right)dx} = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)} dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C\).
Mà \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C\).
Vậy \(F\left( {2x} \right)\)không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).
d) Sai.
Hàm số \[f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}\] \[ \Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)dx} = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx = 2x - {e^{ - x}} + C} \].Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(\int {\left( {2x + \sin \frac{x}{2}} \right)dx} = {x^2} - \cos \frac{x}{2} + C\).
\(\int {{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + \frac{1}{2}{e^{ - 2x}} + x + C\).
\(\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \ln x - \frac{2}{x} + C\).
\(\int {\frac{{{x^2} + \ln x}}{x}dx} = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}\ln x + C\).
a) Sai.
Ta có \(\int {\left( {2x + \sin \frac{x}{2}} \right)dx} = \int {2xdx + 2\int {\sin \frac{x}{2}d\left( {\frac{x}{2}} \right)} } = {x^2} - 2\cos \frac{x}{2} + C\).
b) Sai
Ta có \(\int {{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {{e^{2x}} + 2 + {e^{ - 2x}}} \right)} d\left( {2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{2x}} + 4x - {e^{ - 2x}}} \right) + C\).
c) Sai
Ta có \(\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} + \int {\frac{2}{{{x^2}}}} dx = \ln \left| x \right| - \frac{2}{x} + C\).
d) Sai.
Hàm số \(\int {\frac{{{x^2} + \ln x}}{x}dx} = \int {\left( {x + \frac{{\ln x}}{x}} \right)} dx = \int {xdx + \int {\ln xd\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}} } {\left( {\ln x} \right)^2} + C\).Ta có: \(\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x\)\( = \left( {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\sin 2x\)
\( = \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x\)\( = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x\).
Suy ra: \(I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \) .
\(I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \)\( = - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) = - \frac{1}{4}\int {\left( {1 + {{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right)} } \)\( = \frac{{ - 1}}{4}\int {{\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) - \frac{1}{4}\int {{{\cos }^2}2x} } {\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) = - \frac{{\cos 2x}}{4} - \frac{{{{\cos }^3}2x}}{{12}} + C\)
Khi đó \(a = 4,\,b = 12 \Rightarrow {a^2} + b = 28\).Ta có: \[f(x) = xf'(x) - 2{x^3} - 3{x^2} \Leftrightarrow xf'(x) - f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} = {x^2}(2x + 3)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = 2x + 3 \Leftrightarrow \int {{{\left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)}^\prime }} dx = \int {\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{{f(x)}}{x} = {x^2} + 3x + C.\]
Do \[f(1) = 4 \Rightarrow 4 = 1 + 3 + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow \]\[f(2) = 20.\]Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = 1 + {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]^\prime }\)
\( \Rightarrow \int {f(x){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {{{\left[ {\ln ({x^2} + 1)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
\(F\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(0 + \ln \left( {{0^2} + 1} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).
Xét phương trình \(F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]\).
Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\)
Phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + 1} \right) = x\log \left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln 10.\log \left( {{x^2} + 1} \right) - x\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + 1} \right).\left( {\ln 10 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\\ln 10 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 1\\x = \ln 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \ln 10\end{array} \right.\).
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là \(T = {0^2} + {\left( {\ln 10} \right)^2} \approx 5,3\).Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là \({v_0}\) \(\left( {m/s} \right)\)
Vận tốc tại thời điểm \(t\) kể từ lúc bắt đầu phanh là: \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 5} \right){\rm{dt}}} = - 5t + C\).
Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là \({v_0}\,\left( {\,m/s} \right)\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0} \Rightarrow v\left( t \right) = - 5t + {v_0}\)
Quãng đường vật đi được tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu đạp phanh là \(S\left( t \right) = \int {v(t){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - 5t + {v_0}} \right){\rm{dt}}} = - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t + C\).
Ta có \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) = - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t\).
Khi xe dừng hẳn ta có \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 5t + {v_0} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}\).
Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(S = S\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right) = - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{5} = \frac{{v_0^2}}{{10}}\) \(\left( m \right)\).
Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là \({v_0}\) \(\left( m \right)\).
Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{{v_0^2}}{{10}} + {v_0} = 41,6\).
Giải phương trình ta được \(\left[ \begin{array}{l}{v_0} = 16\\{v_0} = - 26\end{array} \right.\).
Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là \(16\,\,\left( {m/s} \right)\).
Ta có :
\[f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x} \]
\[ \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }}\]
\[ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} \]
\[ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x + C\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x + C}}\]
Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \[1 = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }} + C}} \Rightarrow C = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]
\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}}\]
Suy ra \(f\left( 5 \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt 5 - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}} = {e^{\frac{{2\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 3 }}}} \approx 4,2\).Quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v\left( t \right)\) nên:
\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,{\rm{dt}} = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)
Cho \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)
\( \Rightarrow C = 0\)
\( \Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t\)
Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5\).
Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây.
Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:\(s\left( 5 \right) = - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37,5\left( m \right)\)Bạn có thích hoạt động này không?
