Đề kiểm tra Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + 2\sin \left( {2x + 1} \right)\).

+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} - 2\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + 4\sin \left( {2x + 1} \right)\).

+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x - \sin \left( {2x + 1} \right)\).

+ \({\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)} \right)^\prime } = x + \sin \left( {2x + 1} \right)\). Vậy \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}\cos \left( {2x + 1} \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \sin \left( {2x + 1} \right)\).

\(\int {\left( {4{x^3} - 3x - 1} \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x = {x^4} - \frac{3}{2}{x^2} - x + C\).

+ \(F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2\sqrt x } \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C\).

+ \(F\left( 1 \right) =  - \frac{1}{3} + C = \frac{5}{3} \Rightarrow C = 2.\)

+ Vậy \(F\left( x \right) = {x^3} - \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + 2\).

+ \(F\left( x \right) = \int {\left( {2\sin x - \cos x} \right)} {\mathop{\rm d}\nolimits} x =  - 2\cos x - \sin x + C\).

+ \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) =  - 2\cos \frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{3} + C =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow C = 1\).

+ Vậy \(F\left( x \right) =  - 2\cos x - \sin x + 1\).

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(y = {2024^x}\) là \(\frac{{{{2024}^x}}}{{\ln 2024}} + C\).

\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {{{\rm{e}}^{3x}}{\rm{ + 1}}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{1}{3}\int {{{\rm{e}}^{3x}}{\rm{d}}\left( {3x} \right)}  + \int {{\rm{d}}x}  + C = \frac{1}{3}{{\rm{e}}^{3x}} + x + C.\)

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{1}{x}{\rm{ln}}x{\rm{d}}x}  = \int {{\rm{ln}}x{\rm{d}}} \left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x + C\).

Ta có

\(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left[ {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right) + {2^x} + 2024} \right]{\rm{d}}x} \)\( = \int {\frac{1}{{3x + 1}}\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x}  + \int {{2^x}{\rm{d}}x}  + \int {2024{\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{3}\int {\ln \left( {3x + 1} \right){\rm{d}}\left[ {\ln \left( {3x + 1} \right)} \right]}  + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\)\( = \frac{1}{6}{\ln ^2}\left( {3x + 1} \right) + \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + 2024x + C\).

Ta có:

\(\int {\frac{2}{x}{\rm{d}}x} = 2\ln \left| x \right| + C\).

Ta có:

\[\int {\frac{{{x^2} + 1}}{x}{\rm{d}}x = \int {\left( {x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C} } \].

Ta có:

\(\)\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x = } \ln \left| x \right| + \tan x + C\]

Ta có:

\[\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right){\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + C} \].

Mà \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x + 1\).

a)   Do \(F(x) = \int {f(x){\rm{d}}x} \) nên \(F'(x) = f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Vậy câu a) đúng.

b)   Do \(y' = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1 = f(x)\) nên câu b) đúng.

c)   Do \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) nên \(F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + C\). Vậy câu c) sai.

d)         Có \(F(0) = C = 1 \Rightarrow F(x) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x + 1 \Rightarrow F(1) = \frac{1}{4}\). Vậy câu d) sai.

a)   \(F'\left( x \right) = f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}\). Vậy câu a) đúng.

b)   Do \[\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{2}{{{x^2} - 4x + 3}} = 2f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)\] nên câu b) sai.

c)   \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right){\rm{d}}x = \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 3}} - \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x - 1}}} } } \right)}  = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x - 3} \right| - \ln \left| {x - 1} \right|} \right) + C\)

\( = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right| + C\).

Vậy câu c) sai.

d)   Ta có \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_1}\) khi \(x \in \left( {1;3} \right)\) và \(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left( { - \frac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right) + {C_2}\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

Có \(F(2) = {C_1} = 2 \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \ln \sqrt 3  + 2\).

\(F( - 1) = \frac{1}{2}\ln 2 + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 5 - \ln \sqrt 2  \Rightarrow F(4) =  - \ln \sqrt 3  + 5 - \ln \sqrt 2 \).

Suy ra \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) + F(4) = \ln \sqrt 3  + 2 + 5 - \ln \sqrt 3  - \ln \sqrt 2  = 7 - \ln \sqrt 2  < 10\)

Vậy câu d) đúng.

a) Sai.

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2x + 1}}{x}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} dx = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

b) Đúng.

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{{2x + 1}}{x}} dx = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} dx = 2x + \ln \left| x \right| + C\), suy ra \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( 1 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2.1 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 2\).

Vậy \(F\left( 2 \right) = 2.2 + \ln 2 - 2 = 2 + \ln 2\)

c) Sai

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow f\left( {2x} \right) = 2 + \frac{1}{{2x}}\].

\(\int {f\left( {2x} \right)dx}  = \int {\left( {2 + \frac{1}{{2x}}} \right)} dx = 2x + \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C \Rightarrow F\left( {2x} \right) = 4x + \ln \left| {2x} \right| + C\).

Vậy \(F\left( {2x} \right)\)không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( {2x} \right)\).

d) Sai.

Hàm số \[f\left( {{e^x}} \right) = 2 + \frac{1}{{{e^x}}} = 2 + {e^{ - x}}\] \[ \Rightarrow \int {f\left( {{e^x}} \right)dx}  = \int {\left( {2 + {e^{ - x}}} \right)dx = 2x - {e^{ - x}} + C} \].

a) Sai.

Ta có \(\int {\left( {2x + \sin \frac{x}{2}} \right)dx}  = \int {2xdx + 2\int {\sin \frac{x}{2}d\left( {\frac{x}{2}} \right)} }  = {x^2} - 2\cos \frac{x}{2} + C\).

b) Sai

Ta có \(\int {{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}dx}  = \frac{1}{2}\int {\left( {{e^{2x}} + 2 + {e^{ - 2x}}} \right)} d\left( {2x} \right) = \frac{1}{2}\left( {{e^{2x}} + 4x - {e^{ - 2x}}} \right) + C\).

c) Sai

Ta có \(\int {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \int {\frac{1}{x}dx}  + \int {\frac{2}{{{x^2}}}} dx = \ln \left| x \right| - \frac{2}{x} + C\).

d) Sai.

Hàm số \(\int {\frac{{{x^2} + \ln x}}{x}dx}  = \int {\left( {x + \frac{{\ln x}}{x}} \right)} dx = \int {xdx + \int {\ln xd\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}} } {\left( {\ln x} \right)^2} + C\).

Ta có: \(\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x\)\( = \left( {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\sin 2x\)

                   \( = \left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)\sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\sin 2x\)\( = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x\).

Suy ra: \(I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \) .

\(I = \int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \)\( =  - \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) =  - \frac{1}{4}\int {\left( {1 + {{\cos }^2}2x} \right){\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right)} } \)\( = \frac{{ - 1}}{4}\int {{\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) - \frac{1}{4}\int {{{\cos }^2}2x} } {\rm{d}}\left( {\cos 2x} \right) =  - \frac{{\cos 2x}}{4} - \frac{{{{\cos }^3}2x}}{{12}} + C\)

Khi đó \(a = 4,\,b = 12 \Rightarrow {a^2} + b = 28\).

Ta có: \[f(x) = xf'(x) - 2{x^3} - 3{x^2} \Leftrightarrow xf'(x) - f(x) = 2{x^3} + 3{x^2} = {x^2}(2x + 3)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = 2x + 3 \Leftrightarrow \int {{{\left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)}^\prime }} dx = \int {\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow \frac{{f(x)}}{x} = {x^2} + 3x + C.\]

Do \[f(1) = 4 \Rightarrow 4 = 1 + 3 + C \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f(x) = {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow \]\[f(2) = 20.\]

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = 1 + {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]^\prime }\)

\( \Rightarrow \int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {1{\rm{d}}x}  + \int {{{\left[ {\ln ({x^2} + 1)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x}  = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).

\(F\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(0 + \ln \left( {{0^2} + 1} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét phương trình \(F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]\).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + 1} \right) = x\log \left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln 10.\log \left( {{x^2} + 1} \right) - x\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + 1} \right).\left( {\ln 10 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\\ln 10 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 1\\x = \ln 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \ln 10\end{array} \right.\).

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là \(T = {0^2} + {\left( {\ln 10} \right)^2} \approx 5,3\).

Gọi vận tốc của xe khi bắt đầu phanh là \({v_0}\) \(\left( {m/s} \right)\)

Vận tốc tại thời điểm \(t\) kể từ lúc bắt đầu phanh là: \(v\left( t \right) = \int {\left( { - 5} \right){\rm{dt}}}  =  - 5t + C\).

Vận tốc của vật tại thời điểm bắt đầu phanh xe là \({v_0}\,\left( {\,m/s} \right)\) nên ta có \(v\left( 0 \right) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0} \Rightarrow v\left( t \right) =  - 5t + {v_0}\)

Quãng đường vật đi được tại thời điểm \(t\) kể từ khi bắt đầu đạp phanh là \(S\left( t \right) = \int {v(t){\rm{dt}}} \)\( = \int {\left( { - 5t + {v_0}} \right){\rm{dt}}}  =  - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t + C\).

Ta có \(S\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S\left( t \right) =  - \frac{5}{2}{t^2} + {v_0}t\).

Khi xe dừng hẳn ta có \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 5t + {v_0} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{{v_0}}}{5}\).

Quãng đường xe đi được từ khi bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn là \(S = S\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right) =  - \frac{5}{2}{\left( {\frac{{{v_0}}}{5}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{5} = \frac{{v_0^2}}{{10}}\) \(\left( m \right)\).

Quãng đường người lái xe đi từ khi nhìn thấy chướng ngại vật đến khi đạp phanh là \({v_0}\) \(\left( m \right)\).

Theo bài ra ta có phương trình \(\frac{{v_0^2}}{{10}} + {v_0} = 41,6\).

Giải phương trình ta được \(\left[ \begin{array}{l}{v_0} = 16\\{v_0} =  - 26\end{array} \right.\).

Vậy vận tốc khi người lái xe bắt đầu phanh là \(16\,\,\left( {m/s} \right)\).

Ta có :

\[f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3x} \]

\[ \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x} }}\]

\[ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} \]

\[ \Rightarrow \ln f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x  + C\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x  + C}}\]

Mà \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \[1 = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }} + C}} \Rightarrow C =  - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\]

\[ \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt x  - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}}\]

Suy ra \(f\left( 5 \right) = {e^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt 5  - \frac{2}{{\sqrt 3 }}}} = {e^{\frac{{2\sqrt 5  - 2}}{{\sqrt 3 }}}} \approx 4,2\).

Quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian \(t\) (giây) là một nguyên hàm của \(v\left( t \right)\) nên:

\(s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} {\rm{dt}} = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,{\rm{dt}} =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C\)

Cho \(t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0\)

\( \Rightarrow C = 0\)

\( \Rightarrow s\left( t \right) =  - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t\)

Khi xe dừng hẳn thì \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5\).

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây.

Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:\(s\left( 5 \right) =  - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37,5\left( m \right)\)