a) Với A là biến cố “Trời mưa” và B là biến cố “Bán hết vé”.

Theo bài ra ta có: P(A) = 0,75. Suy ra P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 1 – 0,75 = 0,25.

Lại có:

+) nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4. Vậy P(B | A) = 0,4.

+) nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9. Vậy $P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,9.

b) Nhà tổ chức quan tâm tới P(B) nhất.

Gọi A là biến cố: “Trời mưa” và B là biến cố: “Bán hết vé”.

Từ HĐ 1a, ta có: P(A) = 0,75; P($\overline{A}$) = 1 – P(A) = 0,25;

P(B | A) = 0,4; $P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,9.

Thay vào công thức xác suất toàn phần ta được

P(B) = P(A) ∙ P(B | A) + P($\overline{A}$) ∙ $P\left(B|\overline{A}\right)$ = 0,75 ∙ 0,4 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,525.

Vậy xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé là 0,525.

Kí hiệu A là biến cố: “Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy”; B là biến cố: “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy”.

Khi đó, biến cố “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt” chính là $\overline{B}$.

Ta có sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố như sau:

Hai nhánh cây đi tới $\overline{B}$ là $OA\overline{B}$ và $O\overline{A}\overline{B}$.

Như vậy $P\left(\overline{B}\right)$ = 0,4 ∙ 0,7 + 0,6 ∙ 0,6 = 0,64.

Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”;

       M là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây bố”;

       N là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây mẹ”;

       E là biến cố: “Cây con có kiểu gene bb”.

Theo giả thiết, M và N độc lập nên P(E) = P(M) ∙ P(N).

Tính P(M): Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(M) = P(A) ∙ P(M | A) + P($\overline{A}$) ∙ P(M | $\overline{A}$). (*)

Ta có P(A) = 0,4; P($\overline{A}$) = 0,6.

P(M | A) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb. Do đó, P(M | A) = 1.

P(M | $\overline{A}$) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb. Do đó, P(M | $\overline{A}$) = 0,5.

Thay vào (*) ta được: P(M) = 0,4 ∙ 1 + 0,6 ∙ 0,5 = 0,7.

Tương tự tính được P(N) = 0,7.

Vậy P(E) = P(M) ∙ P(N) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49.

Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60%, thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng 49%.

a) Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”;  

           K là biến cố: “Cây con nhận gene B từ bố”;

           H là biến cố: “Cây con nhận gene B từ mẹ”;

           F là biến cố: “Cây con có kiểu gene BB”.

Theo giả thiết, K và H độc lập nên P(F) = P(K) ∙ P(H).

Ta tính P(K) theo công thức xác suất toàn phần:

P(K) = P(A) ∙ P(K | A) + P($\overline{A}$) ∙ P(K | $\overline{A}$). (1)

Ta có P(A) = 0,4; P($\overline{A}$) = 0,6.

P(K | A) là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene bb.

Vậy P(K | A) = 0.

P(K | $\overline{A}$) là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene Bb.

Vậy P(K | $\overline{A}$) = 0,5.

Thay vào (2) ta được P(K) = 0,4 ∙ 0 + 0,6 ∙ 0,5 = 0,3.

Tương tự tính được P(H) = 0,3.

Vậy P(F) = P(K) ∙ P(H) = 0,3 ∙ 0,3 = 0,09.

Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene BB là khoảng 9%.

b) Gọi G là biến cố: “Cây con có kiểu gene Bb”.

Vì $\overline{G}=E\cup F$ và hai biến cố E, F xung khắc nên

P($\overline{A}$) = P(E) + P(F) = 0,49 + 0,09 = 0,58.

Vậy P(G) = 1 – P($\overline{A}$) = 1 – 0,58 = 0,42.

Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là khoảng 42%.

a)

P(A | B) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.

P(B | A)  là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.

b) Nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính, tức là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện người đó mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,95. Do đó, P(B | A) = 0,95.

Vậy không phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X.

Gọi A là biến cố: “Chai rượu là rượu loại I”;

      B là biến cố: “Ông Tùng xác nhận nhận đây là rượu loại I”.

Bài toán yêu cầu tính P(A | B).

Áp dụng công thức Bayes ta có