Đề kiểm tra Công thức xác suất toàn phần – công thức Bayes lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{6}{{11}}\).
\(\frac{{23}}{{44}}\).
Gọi hai biến cố:
\(A\): “Lấy được bút xanh từ hộp I”;
\(B\): “Lấy được bút xanh từ hộp II”.
Theo bài ra, ta có
\(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\) ; \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) ; \(P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{{11}}\) ; \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
\(P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{3}{4}.\frac{6}{{11}} + \frac{1}{4}.\frac{5}{{11}} = \frac{{23}}{{44}}\).Có hai chiếc hộp đựng 50 viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê nhận được bảng số liệu sau:
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{19}}{{42}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{4}{7}\).
Xét hai biến cố
\(A\): “Chọn được hộp I”;
\(B\): “Chọn được viên bi màu đỏ”
\(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\) ; \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) ; \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\) ; \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có
\(P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{2}.\frac{4}{7} + \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{{19}}{{42}}\).Trong lễ khai giảng năm học mới, bạn An tham gia trò chơi gồm hai vòng. Xác suất thắng ở vòng chơi đầu tiên là \(0,7\). Nếu An thắng ở vòng thứ nhất thì xác suất thắng ở vòng hai là \(0,8\). Ngược lại, nếu An thua ở vòng thứ nhất thì xác suất thắng ở vòng hai là \(0,4\). Gọi:
Biến cố \(A\): “Bạn An thắng ở vòng thứ nhất”;
Biến cố \(B\): “Bạn An thắng ở vòng thứ hai”
Ta có sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên như sau:
\(0,56\).
\(0,12\).
\(0,68\).
\(0,32\).
Trong trò chơi bốc thăm trúng thưởng, có 20 phiếu bốc thăm trong đó có 8 phiếu trúng thưởng. Bạn Anh bốc thăm phiếu thứ nhất, sau đó bạn Bảo bốc thăm phiếu thứ hai. Gọi
Biến cố \(A\): “Bạn Anh bốc được phiếu trúng thưởng”;
Biến cố \(B\): “Bạn Bảo bốc được phiếu trúng thưởng”
Ta có sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên như sau:
Xác suất bạn Bảo bốc được phiếu trúng thưởng là
\(\frac{{14}}{{95}}\).
\(\frac{{24}}{{95}}\).
\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{2}{5}\).
Dựa theo sơ đồ hình cây, ta có
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{7}{{19}}.\frac{2}{5} + \frac{8}{{19}}.\frac{3}{5} = \frac{2}{5}\).
Hàng ngày, Hùng luyện tập hai môn thể thao là bóng chuyền hoặc cầu lông. Nếu hôm nay Hùng chơi bóng chuyền thì xác suất để hôm sau Hùng chơi cầu lông là \(0,6\). Nếu hôm nay Hùng chơi cầu lông thì xác suất để hôm sau Hùng chơi bóng chuyền là \(0,5\). Xét một tuần mà thứ hai Hùng chơi bóng chuyền. Gọi hai biến cố:
\(A\): “Thứ ba Hùng chơi cầu lông”;
\(B\): “Thứ ba Hùng chơi cầu lông”
Ta có sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên trong hai ngày thứ ba, thứ tư như sau:
\(0,54\).
\(0,3\).
\(0,24\).
\(0,16\)
Dựa theo sơ đồ hình cây, ta có
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0,6.0,5 + 0,4.0,6 = 0,54\).\[0,25\].
\[\frac{{56}}{{65}}\].
\[0,65\].
\[0,5\].
+ Ta có: \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\].
+ Công thức Bayes: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\]
\[ \Rightarrow P\left( {B|A} \right) = \frac{{0,8.0,7}}{{0,8.0,7 + 0,2.0,45}} = \frac{{56}}{{65}}\].\(\frac{3}{5}\).
\(\frac{3}{4}\).
\(\frac{7}{{30}}\).
\(\frac{7}{{10}}\).
Gọi biến cố \(X:''\)Chọn được quả bóng xanh\(''\), biến cố \(L:''\)chọn được quả bóng lỗi\(''\).
Ta có:
\(P(X) = 0.6\) : xác suất chọn được bóng xanh.
\(P(X|L) = 0.7\): xác suất chọn được bóng xanh biết bóng bị lỗi.
\(P(L) = 0.2\): xác suất chọn được bóng bị lỗi.
Xác suất chọn bóng bị lỗi biết bóng đã chọn màu xanh là:
\(P(L|X) = P\left( {X|L} \right).\frac{{P\left( L \right)}}{{P\left( X \right)}} = 0.7.\frac{{0.2}}{{0.6}} = \frac{7}{{30}}\)\(10\% \).
\(77\% \).
\(90\% \).
\(50\% \).
Gọi biến cố Người đó mắc bệnh\(''\)
Biến cố \(B:''\)Người đó có kết quả xét nghiệm dương tính\(''\).
Với \(P\left( {B|A} \right)\): xác suất kết quả dương tính khi người đó mắc bệnh,
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{100}}{{100 + 20}} = \frac{5}{6}\).
\(\begin{array}{l}P\left( A \right) = \frac{{100 + 20}}{{1000}} = \frac{{120}}{{1000}} = 0.12.{\rm{ }}\\P\left( B \right) = \frac{{100 + 30}}{{1000}} = 0.13.\end{array}\)
Từ đó suy ra: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{5}{6}.\frac{{0.12}}{{0.13}} = 0.7692 \simeq 77\% \).Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ mắc bệnh là \(0,1\% \) , ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là \(5\% \) ( tức là trong số những người không bị bệnh có \(5\% \) số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính).
Gọi biến cố \(K:''\)Người được chọn ra không mắc bệnh\(''\)
Biến cố \(D:''\)Người được chọn ra có phản ứng dương tính\(''\)
Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên như sau:
\(1.96\% \).
\(1.91\% \).
\(0.18\% \).
\(1.54\% \).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có \(25\% \) cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là \(60\% \) và \(25\% \), được biểu diễn ở sơ đồ hình cây sau:
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{5}{9}\).
\(\frac{7}{9}\).
\(\frac{8}{9}\).
Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi \(A\) là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" và \(B\) là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau:
Ta có \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,15 + 0,1875 = 0,3375\).
Theo công thức Bayes, ta có \(P(A\mid B) = \frac{{P(A)P(B\mid A)}}{{P(B)}} = \frac{{0,15}}{{0,3375}} = \frac{4}{9}\).\[\frac{7}{{13}}\].
\[\frac{6}{{13}}\].
\[\frac{4}{{13}}\].
\[\frac{9}{{13}}\].
Gọi \[A\] là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra \[\bar A\] là biến cố “người không nghiện thuốc lá”.
Gọi \[B\] là biến cố “người bị bệnh phổi”.
Ta có: \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)\].
Theo bài ra có \[P\left( A \right) = 0,2\,;\,P\left( {B|A} \right) = 0,7\,;\,P\left( {\bar A} \right) = 0,8\,;\,P\left( {B|\bar A} \right) = 0,15\].
Vậy \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,15 = 0,26\].
Theo công thức Bayes, ta có: \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,7}}{{0,26}} = \frac{7}{{13}}\]
Như vậy trong số người bị bệnh phổi của tỉnh X, có khoảng \[\frac{7}{{13}}\] số người nghiện thuốc lá.\[\frac{3}{5}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{4}{{13}}\].
\[\frac{9}{{16}}\].
Gọi \[A\] là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”.
Gọi \[B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\bar B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”.
Lúc này ta đi tính \[P\left( A \right)\] theo công thức: \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right)\].
Ta có:\[P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}\].
\[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\].
\[P\left( {A|B} \right) = 60\% = \frac{3}{5}\].
\[P\left( {A|\bar B} \right) = 100\% - 50\% = \frac{1}{2}\].
Vậy \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{5}{8}.\frac{3}{5} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{9}{{16}}\].\(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).
\(P\left( {\overline B \left| A \right.} \right) = 0,5\).
\(P\left( {AB} \right) = 0,72\).
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,1\).
a) Đúng. \(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất thí nghiệm thứ 2 thành công nếu thí nghiệm thứ nhất thành công do đó \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).
b) Sai. \(P\left( {\overline B \left| A \right.} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1\).
c) Đúng. \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,8.0,9 = 0,72\).
d) Đúng. \(\overline A \overline B \) là biến cố “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”.
Theo giả thiết, \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\) và \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).
Vậy xác suất để cả hai thí nghiệm không thành công là
\(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1\).Xác suất để vận động viên chọn ra thuộc đội I là \(\frac{5}{9}\)
Xác suất không đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội II là \(0,45\)
Xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng là \(\frac{{103}}{{180}}\)
Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là \(\frac{{48}}{{103}}\).
|
Câu |
Đáp án |
|
a) |
S |
|
b) |
Đ |
|
c) |
Đ |
|
d) |
Đ |
a) Xác suất để vận động viên chọn ra thuộc đội I là \(\frac{8}{{18}} = \frac{4}{9}\).
b) Xác suất không đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội II là \(1 - 0,55 = 0,45\)
c) Gọi \(A\) là biến cố: “Vận động viên đạt huy chương vàng”, \(B\) là biến cố: “Thành viên đội I” thì biến cố đối của \(B\) là \(\overline B \): “Thành viên đội II đạt huy chương vàng”.
Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{8}{{18}} = \frac{4}{9};\,P\left( {\overline B } \right) = \frac{5}{9}\) ; \(P\left( {A|B} \right) = 0,6;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,55\)
Theo công thức xác suất toàn phần ta có
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{4}{9}.0,6 + \frac{5}{9}.0,55 = \frac{{103}}{{180}}\)
d) Ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{4}{9}.0,6}}{{\frac{{103}}{{180}}}} = \frac{{48}}{{103}}\)
Xác suất chọn được thùng hàng loại I bằng \(48\% \).
Xác suất chọn được thùng hàng loại II đã được kiểm định bằng 38,4%.
Xác suất chọn được thùng hàng chưa kiểm định bằng 17,4%.
Giả sử thùng hàng được lấy ra là thùng hàng chưa được kiểm định, xác suất thùng hàng đó là thùng loại I thấp hơn xác suất thùng hàng đó là thùng loại II.
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một thùng hàng trong kho.
Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được thùng hàng loại I”.
\(B\) là biến cố: “Chọn được thùng hàng đã được kiểm định”.
Theo bài ra ta có \[P\left( {B\left| A \right.} \right) = 80\% ,\,\,P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 85\% \]
a) Đúng
Xác suất chọn được thùng hàng loại I là \(P\left( A \right) = \frac{{480}}{{1000}} = 48\% \).
b) Sai
Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{520}}{{1000}} = 52\% \), \[P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 85\% \].
Xác suất chọn được thùng hàng loại II đã được kiểm định là
\(P\left( {\overline A \cap B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 52\% .85\% = 44,2\% \).
c) Đúng
Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 48\% .80\% + 52\% .85\% = 82,6\% \)
Suy ra xác suất chọn được thùng hàng chưa kiểm định là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 17,4\% \)
d) Sai
Giả sử thùng hàng được lấy ra là thùng hàng chưa được kiểm định. Khi đó:
Xác suất thùng hàng đó là thùng loại I là \(P\left( {A\left| {\overline B } \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B \left| A \right.} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{48\% .\left( {1 - 80\% } \right)}}{{17,4\% }} = \frac{{16}}{{29}}\).
Xác suất thùng hàng đó là thùng loại II là \(P\left( {\overline A \left| {\overline B } \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B \left| A \right.} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{52\% .\left( {1 - 85\% } \right)}}{{17,4\% }} = \frac{{13}}{{29}}\).
Vây xác suất thùng hàng đó là thùng loại I cao hơn xác suất thùng hàng đó là thùng loại II.Chọn ngẫu nhiên 1 xạ thủ bắn và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Gọi A là biến cố “Viên đạn trúng đích”. B là biến cố “ Xạ thủ loại I bắn”. C là biến cố “ Xạ thủ loại II bắn”. Khi đó ta có xác suất để viên đạn trúng đích được tính theo công thức công thức:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|\overline C } \right)\]
Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ bắn và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Xác suất để viên đạn đó trúng đích là \[0.74\].
Chọn ngẫu nhiên ra hai xạ thủ và cả hai xạ thủ đều bắn một viên đạn. Gọi E là biến cố “ Cả hai viên đạn đều bắn trúng đích” \[{E_i}\] là biến cố chọn được i xạ thủ loại I. Khi đó ta có công thức tính xác xuất để cả hai xạ thủ đều bắn trúng là
\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|\overline {{E_1}} } \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|\overline {{E_2}} } \right)\].
Chọn ngẫu nhiên hai xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn. Xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích là \[0.596\]
a) Sai
vì B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]
b) Đúng
Gọi A là biến cố “Viên đạn trúng đích”.
B là biến cố “ Xạ thủ loại I bắn”.
C là biến cố “ Xạ thủ loại II bắn”.
Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = 0,2;\quad P\left( {A|B} \right) = 0.9;\quad P\left( C \right) = \frac{8}{{10}} = 0,8;\quad P\left( {A|C} \right) = 0.7\]
B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]
\[ = 0.2.0.9 + 0.8.0.7 = 0.74\]
c) Sai
vì \[{E_i}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên
\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]
d) Sai
Gọi E là biến cố “ Cả hai viên đạn đều bắn trúng đích” \[{E_i}\] là biến cố “chọn được i xạ thủ loại I”
Ta có: \[P\left( {{E_0}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{28}}{{45}};\;P\left( {E|{E_o}} \right) = 0,7.0,7 = 0,49\]
\[P\left( {{E_1}} \right) = \frac{{C_2^1C_8^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{16}}{{45}};\;P\left( {E|{E_1}} \right) = 0,9.0,7 = 0,63\]
\[P\left( {{E_2}} \right) = \frac{{C_2^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{45}};\;P\left( {E|{E_2}} \right) = 0,9.0,9 = 0,81\]
Vì \[{E_o},{\kern 1pt} {E_1},\;{E_2}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên ta có Xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích là:
\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]
\[ = \frac{{28}}{{45}}.0,49 + \frac{{16}}{{45}}.0.63 + \frac{1}{{45}}.0,81 = 0,5469\].Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được người trình bày báo cáo bằng tiếng anh”, \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,6\)
Gọi \(B\) là biến cố “Chọn được người trình bày nữ”\( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,4\).
Theo đề bài ta có \[P\left( {A|B} \right) = 0,3\]. Áp dụng công thức Bayes ta có:
Do đó: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,6}} = 0,2\]Số học sinh nữ là đoàn viên là \(60\% .150 = 90\) (học sinh).
Số học sinh nam là đoàn viên là \(50\% .100 = 50\) (học sinh).
Xét biến cố:
\(A\) là biến cố “Chọn được học sinh là đoàn viên”.
\(B\) là biến cố “ Chọn được học sinh nam”. Khi đó:
\[P\left( B \right) = \frac{{100}}{{250}} = \frac{2}{5}\]; \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\].
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{50}}{{100}} = 0,5\]; \[P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{90}}{{150}} = 0,6\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
\[P\left( B \right)\]
Với \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{2}{5}.0,5 + \frac{3}{5}.0,6 = 0,56\].Gọi \({A_i}\) là biến cố chọn được thùng loại \(i.\) (\(i = I,II,III\))
\(B\) là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.
Gọi số thùng loại III là \(x\) thùng ( \(x > 0\)).
Do đó số thùng loại I và loại II lần lượt là \(6x;{\rm{ 3}}x.\)
Từ đó, ta có \[P\left( {{A_1}} \right) = \frac{6}{{10}};\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{{10}};\;P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{10}}\]
Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là:
\[\begin{array}{l}P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {B|{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right).P\left( {B|{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right).P\left( {B|{A_3}} \right)\\ = \frac{6}{{10}} \times \frac{{C_3^2C_{21}^8}}{{C_{24}^{10}}} + \frac{3}{{10}} \times \frac{{C_4^2C_{20}^8}}{{C_{24}^{10}}} + \frac{1}{{10}} \times \frac{{C_2^2C_{22}^8}}{{C_{24}^{10}}} \approx 0,3\end{array}\]Gọi biến cố \[A\]: “Người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”.
Biến cố \[{H_1}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời sẽ mua”.
Biến cố \[{H_2}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời có thể sẽ mua”.
Biến cố \[{H_3}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời không mua”.
Ta có \[P\left( {{H_1}} \right) = \frac{{50}}{{200}} = 0,25\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {{H_2}} \right) = \frac{{90}}{{200}} = 0,45\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {{H_3}} \right) = \frac{{60}}{{200}} = 0,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\]
\[P\left( {A|{H_1}} \right) = 0,6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {A|{H_2}} \right) = 0,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {A|{H_3}} \right) = 0,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\]
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có tiềm năng của sản phẩm đó trên thị trường là
\(\begin{array}{l}P\left( A \right) = P\left( {{H_1}} \right).P\left( {A|{H_1}} \right) + P\left( {{H_2}} \right).P\left( {A|{H_2}} \right) + P\left( {{H_3}} \right).P\left( {A|{H_3}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0,25.0,6 + 0,45.0,4 + 0,3.0,1 = 0,36.\end{array}\)
Theo công thức Bayes, ta có xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là
\(P\left( {{H_1}|A} \right) = \frac{{P\left( {{H_1}} \right).P\left( {A|{H_1}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,25.0,6}}{{0,36}} = \frac{5}{{12}}.\)
Suy ra \[a = 5,\,b = 12.\]
Vậy \[T = \frac{1}{2}a + b = \frac{1}{2}.5 + 12 = 14,5.\]Gọi A là biến cố dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.
\[{H_i}{\rm{ }}\left( {i = 1,2,3} \right)\] lần lượt là các biến cố dự án thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao
\[P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right) = {\rm{ }}0,2;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right) = 0,45;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right) = 0,35\] .
\[P{\rm{ }}(A\;|{H_1}) = {\rm{ }}0,05;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right) = {\rm{ }}0,2;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right) = {\rm{ }}0,4\].
\[P{\rm{ }}\left( A \right) = {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_1}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_3}} \right) = {\rm{ }}0,24\].
\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_1}|A} \right) = \] \(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_1}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,04\]
\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_2}|A} \right) = \]\(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,38\] .
\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_3}|A} \right) = \]\(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_3}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,58\]
Vậy khả năng dự án gặp rủi ro là cao nhất là \[0,58\].Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và \(B\) là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B|A} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\).
Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{{27}}}} \approx 0.3\).Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
