Đề kiểm tra Công thức xác suất toàn phần – công thức Bayes lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Gọi hai biến cố:

                \(A\): “Lấy được bút xanh từ hộp I”;

                \(B\): “Lấy được bút xanh từ hộp II”.

Theo bài ra, ta có

\(P\left( A \right) = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\) ; \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\) ; \(P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{{11}}\) ; \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

Xét hai biến cố

\(A\): “Chọn được hộp I”;

\(B\): “Chọn được viên bi màu đỏ”

\(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\) ; \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) ; \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\) ; \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

Dựa theo sơ đồ hình cây, ta có

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{7}{{19}}.\frac{2}{5} + \frac{8}{{19}}.\frac{3}{5} = \frac{2}{5}\).

Dựa theo sơ đồ hình cây, ta có

+ Ta có: \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\].

+ Công thức Bayes: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\]

Gọi biến cố \(X:''\)Chọn được quả bóng xanh\(''\), biến cố \(L:''\)chọn được quả bóng lỗi\(''\).

Ta có:

                  \(P(X) = 0.6\) : xác suất chọn được bóng xanh.

                 \(P(X|L) = 0.7\): xác suất chọn được bóng xanh biết bóng bị lỗi.

                 \(P(L) = 0.2\): xác suất chọn được bóng bị lỗi.

Xác suất chọn bóng bị lỗi biết bóng đã chọn màu xanh là:

Gọi biến cố Người đó mắc bệnh\(''\)

Biến cố \(B:''\)Người đó có kết quả xét nghiệm dương tính\(''\).

Với \(P\left( {B|A} \right)\): xác suất kết quả dương tính khi người đó mắc bệnh,

\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{100}}{{100 + 20}} = \frac{5}{6}\).

\(\begin{array}{l}P\left( A \right) = \frac{{100 + 20}}{{1000}} = \frac{{120}}{{1000}} = 0.12.{\rm{ }}\\P\left( B \right) = \frac{{100 + 30}}{{1000}} = 0.13.\end{array}\)

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi \(A\) là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" và \(B\) là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khoẻ về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau:

Ta có \(P(B) = P(A) \cdot P(B\mid A) + P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) = 0,15 + 0,1875 = 0,3375\).

Gọi \[A\]  là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra \[\bar A\]  là biến cố “người không nghiện thuốc lá”.

Gọi \[B\]  là biến cố “người bị bệnh phổi”.

Ta có: \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)\].

Theo bài ra có \[P\left( A \right) = 0,2\,;\,P\left( {B|A} \right) = 0,7\,;\,P\left( {\bar A} \right) = 0,8\,;\,P\left( {B|\bar A} \right) = 0,15\].

Vậy \[P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,15 = 0,26\].

Theo công thức Bayes, ta có:  \[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,7}}{{0,26}} = \frac{7}{{13}}\]

Gọi \[A\]  là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”.

Gọi \[B\]  là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\bar B\]  là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”.

Lúc này ta đi tính \[P\left( A \right)\] theo công thức: \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right)\].

Ta có:\[P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8}\].

\[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\].

\[P\left( {A|B} \right) = 60\%  = \frac{3}{5}\].

\[P\left( {A|\bar B} \right) = 100\%  - 50\%  = \frac{1}{2}\].

a) Đúng. \(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất thí nghiệm thứ 2 thành công nếu thí nghiệm thứ nhất thành công do đó \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).

b) Sai. \(P\left( {\overline B \left| A \right.} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 1 - 0,9 = 0,1\).

c) Đúng. \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0,8.0,9 = 0,72\).

d) Đúng.  \(\overline A \overline B \) là biến cố “Cả hai thí nghiệm đều không thành công”.

Theo giả thiết, \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,8 = 0,2\) và \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - 0,5 = 0,5\).

Vậy xác suất để cả hai thí nghiệm không thành công là

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một thùng hàng trong kho.

Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được thùng hàng loại I”.

\(B\) là biến cố: “Chọn được thùng hàng đã được kiểm định”.

Theo bài ra ta có \[P\left( {B\left| A \right.} \right) = 80\% ,\,\,P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 85\% \]

a) Đúng

Xác suất chọn được thùng hàng loại I  là \(P\left( A \right) = \frac{{480}}{{1000}} = 48\% \).

b) Sai

Ta có \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{520}}{{1000}} = 52\% \), \[P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 85\% \].

Xác suất chọn được thùng hàng loại II đã được kiểm định là

\(P\left( {\overline A  \cap B} \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 52\% .85\%  = 44,2\% \).

c) Đúng

Xác suất chọn được thùng hàng đã được kiểm định là

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) = 48\% .80\%  + 52\% .85\%  = 82,6\% \)

Suy ra xác suất chọn được thùng hàng chưa kiểm định là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 17,4\% \)

d) Sai

Giả sử thùng hàng được lấy ra là thùng hàng chưa được kiểm định. Khi đó:

Xác suất thùng hàng đó là thùng loại I  là \(P\left( {A\left| {\overline B } \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\overline B \left| A \right.} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{48\% .\left( {1 - 80\% } \right)}}{{17,4\% }} = \frac{{16}}{{29}}\).

Xác suất thùng hàng đó là thùng loại II  là \(P\left( {\overline A \left| {\overline B } \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B \left| A \right.} \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{52\% .\left( {1 - 85\% } \right)}}{{17,4\% }} = \frac{{13}}{{29}}\).

a) Sai

vì B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]

b) Đúng

Gọi A là biến cố “Viên đạn trúng đích”.

B là biến cố “ Xạ thủ loại I bắn”.

C là biến cố “ Xạ thủ loại II bắn”.

Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{2}{{10}} = 0,2;\quad P\left( {A|B} \right) = 0.9;\quad P\left( C \right) = \frac{8}{{10}} = 0,8;\quad P\left( {A|C} \right) = 0.7\]

B và C tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên \[P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {A|C} \right)\]

   \[ = 0.2.0.9 + 0.8.0.7 = 0.74\]

c) Sai

vì \[{E_i}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên

\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]

d) Sai

Gọi E là biến cố “ Cả hai viên đạn đều bắn trúng đích”  \[{E_i}\] là biến cố “chọn được i xạ thủ loại I”

Ta có:  \[P\left( {{E_0}} \right) = \frac{{C_8^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{{28}}{{45}};\;P\left( {E|{E_o}} \right) = 0,7.0,7 = 0,49\]

             \[P\left( {{E_1}} \right) = \frac{{C_2^1C_8^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{{16}}{{45}};\;P\left( {E|{E_1}} \right) = 0,9.0,7 = 0,63\]

             \[P\left( {{E_2}} \right) = \frac{{C_2^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{45}};\;P\left( {E|{E_2}} \right) = 0,9.0,9 = 0,81\]

Vì \[{E_o},{\kern 1pt} {E_1},\;{E_2}\] tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên ta có Xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích là:

\[P\left( E \right) = P\left( {{E_o}} \right).P\left( {E|{E_o}} \right) + P\left( {{E_1}} \right).P\left( {E|{E_1}} \right) + P\left( {{E_2}} \right).P\left( {E|{E_2}} \right)\]

Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được người trình bày báo cáo bằng tiếng anh”, \( \Rightarrow P\left( A \right) = 0,6\)

Gọi \(B\) là biến cố “Chọn được người trình bày nữ”\( \Rightarrow P\left( B \right) = 0,4\).

Theo đề bài ta có \[P\left( {A|B} \right) = 0,3\]. Áp dụng công thức Bayes ta có:

Số học sinh nữ là đoàn viên là \(60\% .150 = 90\) (học sinh).

Số học sinh nam là đoàn viên là \(50\% .100 = 50\) (học sinh).

Xét biến cố:

 \(A\) là biến cố “Chọn được học sinh là đoàn viên”.

\(B\) là biến cố “ Chọn được học sinh nam”. Khi đó:

\[P\left( B \right) = \frac{{100}}{{250}} = \frac{2}{5}\]; \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\].

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{50}}{{100}} = 0,5\]; \[P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{90}}{{150}} = 0,6\].

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

\[P\left( B \right)\]

Gọi \({A_i}\) là biến cố chọn được thùng loại \(i.\) (\(i = I,II,III\))

\(B\) là biến cố chọn được 10 sản phẩm trong đó có 2 lon quá hạn từ thùng được chọn ra.

Gọi số thùng loại III là \(x\) thùng ( \(x > 0\)).

Do đó số thùng loại I và loại II lần lượt là \(6x;{\rm{ 3}}x.\)

Từ đó, ta có \[P\left( {{A_1}} \right) = \frac{6}{{10}};\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{3}{{10}};\;P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{10}}\]

Xác suất để chọn được 2 lon quá hạn là:

Gọi biến cố \[A\]: “Người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”.

Biến cố \[{H_1}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời sẽ mua”.

Biến cố \[{H_2}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời có thể sẽ mua”.

Biến cố \[{H_3}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời không mua”.

Ta có \[P\left( {{H_1}} \right) = \frac{{50}}{{200}} = 0,25\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {{H_2}} \right) = \frac{{90}}{{200}} = 0,45\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {{H_3}} \right) = \frac{{60}}{{200}} = 0,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\]

            \[P\left( {A|{H_1}} \right) = 0,6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {A|{H_2}} \right) = 0,4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {A|{H_3}} \right) = 0,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\]

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có tiềm năng của sản phẩm đó trên thị trường là

\(\begin{array}{l}P\left( A \right) = P\left( {{H_1}} \right).P\left( {A|{H_1}} \right) + P\left( {{H_2}} \right).P\left( {A|{H_2}} \right) + P\left( {{H_3}} \right).P\left( {A|{H_3}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0,25.0,6 + 0,45.0,4 + 0,3.0,1 = 0,36.\end{array}\)

Theo công thức Bayes, ta có xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là

\(P\left( {{H_1}|A} \right) = \frac{{P\left( {{H_1}} \right).P\left( {A|{H_1}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,25.0,6}}{{0,36}} = \frac{5}{{12}}.\)

Suy ra \[a = 5,\,b = 12.\]

Gọi A là biến cố dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư.

\[{H_i}{\rm{ }}\left( {i = 1,2,3} \right)\] lần lượt là các biến cố dự án thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao

\[P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right) = {\rm{ }}0,2;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right) = 0,45;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right) = 0,35\] .

\[P{\rm{ }}(A\;|{H_1}) = {\rm{ }}0,05;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right) = {\rm{ }}0,2;{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right) = {\rm{ }}0,4\].

\[P{\rm{ }}\left( A \right) = {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_1}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_3}} \right) = {\rm{ }}0,24\].

\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_1}|A} \right) = \]  \(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_1}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_1}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,04\]

\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_2}|A} \right) = \]\(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_2}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_2}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,38\] .         

\[\;P{\rm{ }}\left( {{H_3}|A} \right) = \]\(\frac{{P{\rm{ }}\left( {{H_3}} \right).{\rm{ }}P{\rm{ }}\left( {A|{H_3}} \right)}}{{P(A)}} \approx \) \[0,58\]

Gọi \(A\) là biến cố: “Lấy được đồng xu cân đối đồng chất” và \(B\) là biến cố: “Tung đồng xu ba lần đều xuất hiện mặt ngửa”. Khi đó ta cần tính \(P\left( {A|B} \right)\).

Ta có \(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\), \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\) và \(P\left( {B|A} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\), \(P\left( {B|\overline A } \right) = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{8}{{27}}\).

Theo công thức Bayes và công thức xác suất toàn phần ta có