Bài tập Các bài toán liên quan đến công thức Bayes lớp 12 (có lời giải)
25 câu hỏi
Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,3; P(B) = 0,6 và P(A|B) = 0,4 thì P(B|A) bằng
0,5;
0,6;
0,8;
0,2.
Đáp án đúng là: C
Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,6.0,4}}{{0,3}} = 0,8\).
Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,2; P(B|A) = 0,7; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,15\). Tính P(A|B).
\(\frac{7}{{13}}\);
\(\frac{6}{{13}}\);
\(\frac{4}{{13}}\);
\(\frac{9}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Có P(A) = 0,2 \( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,8\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2.0,7 + 0,8.0,15 = 0,26\).
Theo công thức Bayes \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,7}}{{0,26}} = \frac{7}{{13}}\).
Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 3% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có 21% là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?
3;
7;
5;
6.
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”,
B là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.
Khi đó P(A) = 3% = 0,03; P(A|B) = 21% = 0,21.
Theo công thức Bayes: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)\( \Rightarrow \frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,21}}{{0,03}} = 7\).
Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 7 lần.
Có hai hộp đựng các viên bi. Hộp thứ nhất đựng 5 bi đỏ và 3 bi vàng, hộp thứ hai đựng 4 bi đỏ và 2 bi vàng. Đầu tiên lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ hai. Tìm xác suất để lần thứ nhất lấy được bi đỏ biết rằng khi lấy bi từ hộp thứ hai thì thu được bi đỏ.
\(\frac{{15}}{{28}}\);
\(\frac{{17}}{{28}}\);
\(\frac{{25}}{{37}}\);
\(\frac{{27}}{{34}}\).
Đáp án đúng là: C
Gọi biến cố A: “Lấy bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai”;
Biến cố B: “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ hai”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{5}{8};P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{7};P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{8};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{7}\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{8}.\frac{5}{7} + \frac{3}{8}.\frac{4}{7} = \frac{{37}}{{56}}\).
Vì vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{\frac{5}{8}.\frac{5}{7}}}{{\frac{{37}}{{56}}}} = \frac{{25}}{{37}}\).
Một bệnh viên có hai phòng khám X và Y với khả năng lựa chọn của bệnh nhân là như nhau. Tỉ lệ bệnh nhân nam có ở phòng X và phòng Y lần lượt là 60% và 40%. Một người bệnh được chọn ngẫu nhiên từ hai phòng khám và biết người này là nam, xác suất để người bệnh đến từ phòng khám X là
0,6;
0,5;
0,4;
0,3.
Đáp án đúng là: A
Biến cố A: “Bệnh nhân đến từ phòng khám X”; biến cố B: “Bệnh nhân là nam”.
Ta có P(A) = 0,5; P(B|A) = 0,6; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,5;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,4\).
Khi đó \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,5.0,6 + 0,5.0,4 = 0,5\).
Xác suất cần tính: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,5.0,6}}{{0,5}} = 0,6\).
Trường Phan Đình Phùng có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Tính xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao?
0,8;
0,25;
0,86;
0,68.
Đáp án đúng là: D
Biến cố A: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”;
Biến cố B: “Chọn được học sinh biết chơi bóng đá”.
Theo đề ta có P(A) = 0,2; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,8\); P(B|A) = 0,85; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2.0,85 + 0,8.0,1 = 0,25\).
Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,85}}{{0,25}} = 0,68\).
Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng là \(\frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính b – a.
1;
2;
100;
−100.
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố “Lần đầu rút được quả màu trắng”;
B là biến cố “Lần thứ hai rút được quả màu trắng”.
Theo đề \(P\left( A \right) = \frac{1}{3};P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3};\)\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{C_{49}^1}}{{C_{149}^1}} = \frac{{49}}{{149}}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{C_{50}^1}}{{C_{149}^1}} = \frac{{50}}{{149}}\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{49}}{{149}}}}{{\frac{1}{3}.\frac{{49}}{{149}} + \frac{2}{3}.\frac{{50}}{{149}}}} = \frac{{49}}{{149}}\].
Suy ra a = 49; b = 149. Do đó b – a = 100.
Trong một đợt khảo sát về nguy cơ mắc bệnh tim mạch, người ta thấy rằng tại thành phố X, tỷ lệ người dân có lối sống ít vận động là 25%, tỷ lệ người bị bệnh tim trong số người ít vận động là 60% , trong số người có lối sống tích cực là 10%. Hỏi khi gặp một người bị bệnh tim tại thành phố này thì xác suất người đó có lối sống ít vận động là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
0,23;
0,32;
0,67;
0,36.
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố “Người đó có lối sống ít vận động”;
B là biến cố “Người đó bị bệnh tim”.
Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,25 \( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,75\); P(B|A) = 0,6; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,25.0,6 + 0,75.0,1 = 0,225\).
Theo công thức Bayes, ta có
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,25.0,6}}{{0,225}} = \frac{2}{3} \approx 0,67\].
Như vậy khi gặp một người bị bệnh tim tại thành phố này thì xác suất người đó có lối sống ít vận động là 0,67.
Hai máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 35%, máy II sản xuất 65% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0,3% và 0,7%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Tính xác suất để chọn được phế phấm do máy I sản xuất?
0,0056;
0,1875;
0,1785;
0,1587.
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố “Sản phẩm được chọn do máy I sản xuất”;
B là biến cố “Sản phẩm được chọn là phế phẩm”.
Theo đề ta có P(A) = 0,35; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,65\); P(B|A) = 0,003; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,007\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,0056\).
Theo công thức Bayes, có
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = 0,1875\].
Một bệnh viện sử dụng một xét nghiệm để phát hiện một loại bệnh với độ chính xác là 95% (nghĩa là 95% bệnh nhân mắc bệnh sẽ có kết quả dương tính). Xét nghiệm này cũng có tỷ lệ dương tính giả là 2% (nghĩa là 2% bệnh nhân không mặc bệnh cũng có kết quả dương tính). Biết rằng 1% dân số thực sự mắc bệnh này. Nếu một người nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất thực sự người đó mắc bệnh là bao nhiêu?
Khoảng 32%;
Khoảng 47%;
Khoảng 83%;
Khoảng 95%.
Đáp án đúng là: A
Gọi B là biến cố “Người đó mắc bệnh”,
A là biến cố “Người đó được xét nghiệm có kết quả dương tính”.
Theo đề, P(B) = 1% = 0,01 \( \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,01 = 0,99\);
P(A|B) = 95% = 0,95; \(P\left( {A|\overline B } \right) = 2\% = 0,02\).
Có \(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\) = 0,01.0,95 + 0,02.0,99 = 0,0293.
Suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,95.0,01}}{{0,0293}} \approx 0,3242\).
Vậy xác suất người đó thực sự mắc bệnh là khoảng 32%.
Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0. Công thức Bayes nào sau đây là đúng để tính xác suất có điều kiện P(A|B)?
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\) .
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\) .
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
\(P\left( {A|B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Giả sử một xét nghiệm y khoa chẩn đoán bệnh có tỷ lệ dương tính thật là P(T|B) (với B là có bệnh, T là dương tính). Nếu biết xác suất có bệnh trong cộng đồng là P(B) và xác suất một người bất kỳ có kết quả dương tính là P(T). Công thức xác suất để một người thực sự có bệnh khi nhận kết quả dương tính là:
\(P\left( {B|T} \right) = \frac{{P\left( T \right) \cdot P\left( {B|T} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
\(P\left( {B|T} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot P\left( {T|B} \right)}}{{P\left( T \right)}}\).
\(P\left( {B|T} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {T|B} \right)\).
\(P\left( {B|T} \right) = \frac{{P\left( {BT} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
\(P\left( {B|T} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot P\left( {T|B} \right)}}{{P\left( T \right)}}\).
Một công ty sử dụng hai máy tự động I và II để đóng gói sản phẩm. Máy I đóng gói 70% sản lượng, máy II đóng gói 30% sản lượng. Tỷ lệ đóng gói lỗi của máy I là 5%, của máy II là 10%. Người ta chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho tổng và thấy nó bị lỗi. Xác suất để sản phẩm lỗi này do máy I đóng gói là (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)
0,353.
0,538.
0,462.
0,065.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Gọi A là biến cố “Sản phẩm do nhà máy I đóng gói”;
B là biến cố “Sản phẩm đó bị lỗi”.
Theo đề ta có P(A) = 0,7; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\); P(B|A) = 0,05; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,7×0,05 + 0,3×0,1 = 0,065.
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,7 \cdot 0,05}}{{0,065}} \approx 0,538\).
Tỷ lệ người dân mắc một loại bệnh dịch tại một khu vực là 2%. Người ta triển khai xét nghiệm sàng lọc. Một người mắc bệnh khi xét nghiệm có xác suất dương tính là 90%. Một người không mắc bệnh khi xét nghiệm vẫn có xác suất bị dương tính giả là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 người đi xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Xác suất để người này thực sự mắc bệnh là khoảng
0,269.
0,018.
0,731.
0,067.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh”;
B là biến cố “Kết quả xét nghiệm dương tính”.
Theo đề ta có P(A) = 0,02; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,98\); P(B|A) = 0,9; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,02×0,9 + 0,98×0,05 = 0,067.
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,02 \cdot 0,9}}{{0,067}} \approx 0,269\).
Một cửa hàng kinh doanh thiết bị điện tử nhập pin từ hai nhà phân phối X và Y với tỷ lệ lần lượt là 60% và 40%. Tỷ lệ pin có tuổi thọ cao của nhà phân phối X là 80%, của nhà phân phối Y là 90%. Một khách hàng mua ngẫu nhiên 1 viên pin tại cửa hàng và thấy pin này đạt tiêu chuẩn tuổi thọ cao. Tính xác suất để viên pin đó thuộc nhà phân phối X (làm tròn đến hàng phần nghìn).
0,571.
0,429.
0,480.
0,840.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Gọi A là biến cố “Pin đó thuộc nhà phân phối X”;
B là biến cố “Pin đạt tiêu chuẩn tuổi thọ cao”.
Theo đề ta có P(A) = 0,6; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4\); P(B|A) = 0,8; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9\).
Ta có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,6×0,8 + 0,4×0,9 = 0,84.
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,8}}{{0,84}} \approx 0,571\).
Trong một bài toán chẩn đoán lỗi thiết bị, lỗi xảy ra do nguyên nhân M hoặc nguyên nhân N. Ký hiệu E là biến cố thiết bị phát tín hiệu cảnh báo hư hỏng. Biết các thông số:
P(M) = 0,4; P(N) = 0,6; P(E|M) = 0,95; P(E|N) = 0,1.
Xác suất toàn phần thiết bị phát tín hiệu cảnh báo là P(E) = 0,44.
Công thức Bayes áp dụng để tính xác suất hư hỏng do nguyên nhân M khi có cảnh báo là \(P\left( {M|E} \right) = \frac{{P\left( M \right) \cdot P\left( {E|M} \right)}}{{P\left( E \right)}}\).
Xác suất thiết bị báo lỗi do nguyên nhân N khi có cảnh báo lớn hơn xác suất do nguyên nhân M.
P(M|E) ≈ 0,864.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Xác suất toàn phần P(E) = 0,4×0,95 + 0,6×0,1 = 0,44.
b) Đúng. Đây là dạng phát biểu chuẩn của công thức Bayes.
c) Sai. Xác suất lỗi do \(M\) khi có cảnh báo là \(P\left( {M|E} \right) = \frac{{0,38}}{{0,44}} = \frac{{19}}{{22}} \approx 0,864\).
Xác suất lỗi do N khi có cảnh báo là 1 – 0,864 = 0,136.
Vậy do M lớn hơn nhiều so với N.
d) Đúng. Theo câu c.
Một hãng taxi sử dụng hai dòng xe: Xe xăng chiếm 40% và xe điện chiếm 60%. Thống kê ghi nhận xác suất một chiếc xe xăng gặp sự cố nhỏ trên đường trong vòng 1 tháng là 0,05; đối với xe điện là 0,02. Vào cuối tháng, quản lý chọn ngẫu nhiên hồ sơ của 1 chiếc xe và thấy chiếc xe này đã gặp sự cố trong tháng qua.
Xác suất để chiếc xe đó gặp sự cố trong tháng là 0,032
Xác suất chiếc xe đo gặp sự cố là xe điện đạt 37,5%.
Nếu biết xe gặp sự cố, khả năng nó là xe điện cao hơn xe xăng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Gọi A là biến cố “Xe được chọn là xe xăng”;
B là biến cố “Xe được chọn gặp sự cố trong tháng qua”.
Theo đề ta có P(A) = 0,4; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,6\); P(B|A) = 0,05; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,02\).
a) Đúng. Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,4×0,05 + 0,6×0,02 = 0,032.
b) Đúng. \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,05}}{{0,032}} \approx 0,625 = 62,5\% \).
c) Đúng. \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - 0,625 = 0,375 \approx 37,5\% \).
d) Sai. Vì 62,5% > 37,5% nên xe xăng gặp sự cố cao hơn xe điện.
Một email gửi đến hệ thống có thể là thư hợp lệ chiếm 80% hoặc thư rác/spam chiếm 20%. Bộ lọc thông minh của hệ thống nhận diện: tỷ lệ thư rác chứa từ khóa “Khuyến mãi” là 90%; tỷ lệ thư hợp lệ chứa từ khóa này là 10%. Một email vừa đến hệ thống và bị phát hiện có chứa từ khóa “Khuyến mãi”.
Xác suất để email đó chứa từ khóa “Khuyến mãi” là 0,26.
Biết email chứa từ khóa này, xác suất nó thực sự là thư rác (spam) bằng \(\frac{9}{{13}}\).
Biết email chứa từ khóa này, xác suất nó là thư hợp lệ bằng \(\frac{4}{{13}}\).
Hệ thống nên tự động xóa email này vì xác suất nó là thư rác đạt trên 90%.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Gọi A là biến cố “Email gửi đến hệ thống là hợp lệ”;
B là biến cố “Email có chứa từ khóa “Khuyến mãi” ”.
Theo đề ta có P(A) = 0,8; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,2\); P(B|A) = 0,1; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9\).
a) Đúng. \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,8×0,1 + 0,2×0,9 = 0,26.
b) Đúng. \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2 \cdot 0,9}}{{0,26}} = \frac{9}{{13}}\).
c) Đúng. \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,8 \cdot 0,1}}{{0,26}} = \frac{4}{{13}}\).
d) Sai. Theo câu b, xác suất nó là thư rác là \(\frac{9}{{13}} \approx 69\% \) < 90% nên hệ thống không tự động xóa email.
Tại một tòa án, một thẩm phán xem xét vụ án trộm cắp. Dựa vào bằng chứng ngoại phạm, nghi phạm có thể có tội với xác suất 0,6 hoặc vô tội với xác suất 0,4. Hệ thống nhân chứng nhận diện: nếu nghi phạm có tội, nhân chứng nhận diện đúng với xác suất 0,85. Nếu nghi phạm vô tội, nhân chứng vẫn nhận diện nhầm là có tội với xác suất 0,1. Tại phiên tòa, nhưng chứng chỉ tay khẳng định nghi phạm chính là kẻ trộm.
Xác suất để nhân chứng khẳng định nghi phạm là kẻ trộm là 0,55.
Sau lời khẳng định của nhân chứng, xác suất để nghi phạm thực sự có tội bằng \(\frac{{51}}{{55}}\).
Sau lời khẳng định của nhân chứng, xác suất để nghi phậm thực sự vô tội bằng \(\frac{4}{{55}}\).
Lời khẳng định của nhân chứng đã làm tăng xác suất có tội của nghi phạm từ 60% ban đầu lên thành hơn 92%.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
Gọi A là biến cố “Nghi phạm có tội”;
B là biến cố “Nhân chứng khẳng định nghi phạm chính là kẻ trộm”.
Theo đề ta có P(A) = 0,6; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4\); P(B|A) = 0,85; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
a) Đúng. \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,6×0,85 + 0,4×0,1 = 0,55.
b) Đúng. \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,85}}{{0,55}} = \frac{{51}}{{55}}\).
c) Đúng. \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,1}}{{0,55}} = \frac{4}{{55}}\).
d) Đúng. Theo câu b, Xác suất nghi phạm có tội là \(\frac{{51}}{{55}} \approx 92,7\% \).
Một quỹ đầu tư mạo hiểm phân tích xu hướng thị trường. Thị trường năm tới có thể tăng trưởng với xác suất 0,7 hoặc suy thoái với xác suất 0,3. Công ty nghiên cứu đưa ra dự báo: nếu thị trường tăng trưởng, công ty dự báo chính xác tăng với xác suất 0,9. Nếu thị trường suy thoái công ty dự báo nhầm là tăng với xác suất 0,2. Đầu năm, công ty nghiên cứu gửi bản dự báo tăng trưởng đến quỹ đầu tư.
Xác suất để công ty nghiên cứu đưa ra dự báo tăng trưởng là 0,69.
Biết nhận được dự báo tăng trưởng, xác suất để thị trường thực tế năm tới diễn ra tăng trưởng đúng như dự báo bằng \(\frac{{21}}{{23}}\).
Biết nhận được dự báo tăng trưởng, xác suất để thị trường thực tế rơi vào suy thoái bằng \(\frac{2}{{23}}\).
Bản dự báo tăng trưởng này có độ tin cậy thực tế (xác suất tăng trưởng thật khi có dự báo tăng) đạt trên 90%.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.
Gọi A là biến cố “Thị trường năm tới tăng”;
B là biến cố “Công ty nghiên cứu đưa ra dự báo tăng trưởng”.
Theo đề ta có P(A) = 0,7; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\); P(B|A) = 0,9; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,2\).
a) Đúng. \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,7×0,9 + 0,3×0,2 = 0,69.
b) Đúng. \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,7 \cdot 0,9}}{{0,69}} = \frac{{21}}{{23}}\).
c) Đúng. \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3 \cdot 0,2}}{{0,69}} = \frac{2}{{23}}\).
d) Đúng. Theo câu b, Bản dự báo tăng trưởng này có độ tin cậy thực tế (xác suất tăng trưởng thật khi có dự báo tăng) đạt \(\frac{{21}}{{23}} = 91,3\% \) trên 90%.
Một trường THPT có 60% học sinh khối 12 chọn thi tổ hợp KHTN và 40% chọn thi tổ hợp KHXH. Thống kê điểm thi thử môn Toán cho thấy: tỷ lệ học sinh đạt điểm giỏi của nhóm KHTN là 30%, của nhóm KHXH là 10%. Chọn ngẫu nhiên hồ sơ của 1 học sinh khối 12 và thấy học sinh này đạt điểm giỏi môn Toán. Tính xác suất để học sinh đó chọn thi tổ hợp KHTN (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,82
Gọi A là biến cố “Học sinh đó chọn thi tổ hợp KHTN”;
B là biến cố “Học sinh đó đạt điểm giỏi môn Toán”.
Theo đề ta có P(A) = 0,6; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4\); P(B|A) = 0,3; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,6×0,3 + 0,4×0,1 = 0,22.
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,3}}{{0,22}} \approx 0,82\).
Thống kê tại một trung tâm y tế cho thấy có 1% người dân nghi ngờ bị nhiễm virus V. Một thiết bị xét nghiệm nhanh có độ chính xác như sau: nếu nhiễm virus, thiết bị báo dương tính với xác suất 0,98; nếu không nhiễm virus, thiết bị vẫn báo dương tính nhầm với xác suất 0,01. Một người đến kiểm tra và nhận kết quả dương tính. Tính xác suất để người này thực sự không nhiễm virus V (làm tròn kết quả đến 2 chữ số thập phân).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,50
Gọi A là biến cố “Người đó nhiễm virus V”;
B là biến cố “Người đó nhận kết quả dương tính”.
Theo đề ta có P(A) = 0,01; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,99\); P(B|A) = 0,98; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,01\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,01×0,98 + 0,99×0,01 = 0,0197.
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,99 \cdot 0,01}}{{0,0197}} = 0,50\).
Một xưởng cơ khí sử dụng hai dây chuyền sản xuất bulông. Dây chuyền sản xuất tự động chiếm 80% tổng sản lượng, dây chuyền bán tự động chiếm 20% còn lại. Tỷ lệ bulông đạt chuẩn của dây chuyền tự động là 98%, của dây chuyền bán tự động là 90%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của xưởng và thấy sản phẩm này đạt chuẩn. Tính xác suất để sản phẩm đạt chuẩn này được sản xuất từ dây chuyền bán tự động (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,17
Gọi A là biến cố “Sản phẩm sản xuất từ dây chuyền tự động”;
B là biến cố “Sản phẩm đạt chuẩn”.
Theo đề ta có P(A) = 0,8; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,2\); P(B|A) = 0,98; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,8×0,98 + 0,2×0,9 = 0,964.
\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2 \cdot 0,9}}{{0,964}} \approx 0,17\).
Một tài xế công nghệ chạy xe ở hai quận: Quận 1 chiếm 70% số chuyến và Quận 3 chiếm 30% số chuyến. Tỷ lệ nhận được đánh giá 5 sao từ khách hàng khi chạy ở Quận 1 là 85%, ở Quận 3 là 95%. Tổng đài chọn ngẫu nhiên 1 chuyến xe đạt 5 sao của tài xế này để tặng thưởng. Tính xác suất để chuyến xe được chọn đó đã được chạy ở Quận 1 (làm tròn kết quả đến 2 chữ số thập phân).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,68
Gọi A là biến cố “Chuyến xe đó chạy ở Quận 1”;
B là biến cố “Chuyến xe đó được đánh giá 5 sao”.
Theo đề ta có P(A) = 0,7; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,3\); P(B|A) = 0,85; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,7×0,85 + 0,3×0,95 = 0,88.
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,7 \cdot 0,85}}{{0,88}} \approx 0,68\).
Có hai túi đựng kẹo. Túi X chứa 7 viên kẹo sữa và 3 viên kẹo dâu. Túi Y chứa 4 viên kẹo sữa và 6 viên kẹo dâu. Người ta lấy một con súc sắc cân đối gieo ngẫu nhiên, nếu ra mặt lẻ chấm thì chọn bốc ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ túi X, nếu ra mặt chẵn chấm thì bốc ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ túi Y. Biết rằng viên kẹo bốc ra là kẹo sữa. Tính xác suất để viên kẹo sữa đó được bốc ra từ túi X (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0,64
Gọi A là biến cố “Viên kẹo lấy ra từ túi X”;
B là biến cố “Viên kẹo lấy ra là kẹo sữa”.
Theo đề ta có P(A) = 0,5; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,5\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{10}}\); \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{4}{{10}}\).
Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,5 \cdot \frac{7}{{10}} + 0,5 \cdot \frac{4}{{10}} = 0,55\).
Có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,5 \cdot \frac{7}{{10}}}}{{0,55}} \approx 0,64\).
