Đề kiểm tra Công thức xác suất toàn phần – công thức Bayes lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Cho A, B là hai biến cố. Công thức xác xuất toàn phần nào sau đây đúng?
\(P(A) = P(A).P(A|B) + P(\overline A ).P(A|\overline B )\)
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\).
\(P(A) = P(A).P(\overline A |B) + P(\overline A ).P(A|\overline B )\).
\[P(B) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\].
Theo định lý về công thức xác suất toàn phần, ta có đáp án như trên.
Cho \(A\), \(B\) là hai biến cố. Biết \(P(B) = 0,2\). Nếu \(B\)không xảy ra thì thỉ lệ \(A\)xảy ra là \(2\% \). Nếu \(B\) xảy ra thì tỉ lệ \(A\) xảy ra \(4\% \). Xác suất của biến cố \(A\)là bao nhiêu?
\(0,018\).
\(0,036\).
\(0,028\).
\(0,024\).
\(P(B) = 0,2 \Rightarrow P(\overline B ) = 0,8\).
Vì \(B\) xảy ra thì tỉ lệ \(A\) sảy ra \(4\% \) nên \(P(A|B) = 0,04\).
Tương tự ta cũng có \(P(A|\overline B ) = 0,02\). Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,2.0,04 + 0,8.0,02 = 0,024\).
Cho hai biến cố \[A,\,B\] thỏa mãn \[P\left( {\overline B } \right) = 0,2;\,P\left( {A|B} \right) = 0,5;\,P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,3\]. Khi đó, \[P\left( A \right)\] bằng
\(0,46\).
\(0,34\).
\(0,15\).
\(0,31\).
Ta có: \[P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0,8\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,5 + 0,2.0,3 = 0,46\].
Cho hai biến cố \[A,\,B\] thỏa mãn \[P\left( A \right) = 0,4;\,P\left( {A|B} \right) = 0,5;\,P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,1\]. Khi đó, \[P\left( B \right)\] bằng
\(0,9\).
\(0,25\).
\(0,2\).
\(0,75\).
Đặt \[P\left( B \right) = x\], suy ra \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - x\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\]
\[ \Leftrightarrow 0,4 = 0,5x + 0,1\left( {1 - x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 0,3 = 0,4x\]
\[ \Leftrightarrow x = 0,75\]
Vậy \[P\left( B \right) = 0,75\].
Cho hai biến cố \(A,B\) với \(P(B) = 0,6\), \(P(A|B) = 0,7\) và \(P(A|\bar B) = 0,4\). Khi đó, \(P(A)\) bằng
\(0,7\).
\(0,4\).
\(0,58\).
\(0,52\).
Ta có: \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\).
Theo công thức xác suất toàn phần:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\bar B).P(A|\bar B) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).
Cho hai biến cố \(A,B\) thỏa mãn \(P(A) = 0,4\), \(P(B) = 0,3\), \(P(A|B) = 0,25\). Khi đó, \(P(B|A)\) bằng
\(0,1875\).
\(0,48\).
\(0,333\).
\(0,95\).
Theo công thức Bayes, ta có
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,3.0,25}}{{0,4}} = 0,1875\).
Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn \(P\left( A \right) > 0\) và \[0 < P\left( B \right) < 1\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right) + P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) - P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|B} \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn \(P\left( A \right) > 0\) và \[0 < P\left( B \right) < 1\], khi đó ta có công thức Bayes \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\) hay \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có \(3\% \) tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có \(21\% \) là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?
\(3\).
\(7\).
\(5\).
\(6\).
Ta gọi \(A\) là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”, \(B\) là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.
Khi đó \(P\left( A \right) = 3\% = 0,03,\,P\left( {A|B} \right) = 21\% = 0,21.\,\)
Theo công thức Bayes: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow \frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,21}}{{0,03}} = 7.\]
Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên \[7\] lần.
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) sao cho \(P\left( A \right) = 0,6\); \(P\left( B \right) = 0,4\); \(P\left( {A|B} \right) = 0,3\). Khi đó \(P\left( {B|A} \right)\) bằng?
\(0,2\).
\(0,3\).
\(0,4\).
\(0,6\).
Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,6}} = 0,2\).
Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn \(P\left( A \right) > 0\) và \(0 < P\left( B \right) < 1\). Khẳng định nào dưới đây sai?
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)\).
Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn \(P\left( A \right) > 0\) và \(0 < P\left( B \right) < 1\). Khi đó, công thức Bayes:
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\) hay còn có thể viết dưới dạng: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
Một công ty may có hai chi nhánh cùng sản xuất một loại áo, trong đó có \(56\% \)áo ở chi nhánh I và \(44\% \) áo ở chi nhánh II. Tại chi nhánh I có \(75\% \) áo chất lượng cao và tại chi nhánh II có \(68\% \) áo chất lượng cao ( kích thước và hình dáng bề ngoài của các áo là như nhau). Chọn ngẫu nhiên \(1\) áo . Xác suất chọn được áo chất lượng cao là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
\(0,72\).
\(0,35\).
\(0,82\).
\(0,55\).
Gọi \(A\) là biến cố áo được chọn là áo chất lượng cao. \(B\) là biến cố áo được chọn ở chi nhánh \(I\) và \(\overline B \) là biến cố áo được chọn ở chi nhánh \(II\).
Từ giải thiết ta có \(P\left( B \right) = 0,56\), \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = 0,75\), \(P\left( {\overline B } \right) = 0,44\), \(P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,68\).
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,56.0,75 + 0,44.0,68 = 0,7192 \approx 0,72\).
Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là \(0,72\).
Được biết có \(5\% \) đàn ông bị mù màu, và \(0,25\% \) phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chon một người bị mù màu. Xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?
\(\frac{{19}}{{21}}\).
\(\frac{{20}}{{21}}\).
\(\frac{{24}}{{25}}\).
\(\frac{{18}}{{25}}\).
Gọi \(A\) là biến cố người được chọn là đàn ông, \(B\) là biến cố người được chọn mù màu.
Theo đề bài ra ta có \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 0,05;P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = 0,0025\).
Vì số đàn ông bằng số phụ nữ nên ta có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5\).
Áp dụng công thức Bayes ta có xác suất để chọn được một người đàn ông mù màu là
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\left. B \right|\overline A } \right)}} = \frac{{0,5.0,05}}{{0,5.0,05 + 0,5.0,0025}} = \frac{{20}}{{21}}.\)
Cho \(A\) và \(B\)là hai biến cố của cùng phép thử, biết rằng \(P\left( B \right) = 0,3\),\(\,P\left( {\left. A \right|B} \right) = 0,01\) và \(P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,02\).
\(P\left( {\overline B } \right) = 0,07\).
Công thức xác suất đầy đủ là \(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\).
Công thức xác suất đầy đủ là \(P\left( A \right) = P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\).
\(P\left( A \right) = 0,017\).
a) Sai.
\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).
b) Đúng.
Theo công thức được nêu trong sách giáo khoa.
c) Sai.
d) Đúng.
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\)
\( = 0,3 \cdot 0,01 + 0,7 \cdot 0,02 = 0,017\).
Một cửa hàng chỉ bán hai loại điện thoại là Samsung và Iphone. Tỷ lệ khách hàng mua điện thoại Samsung là \(75\% \). Trong số các khách hàng mua điện thoại Samsung thì có \(60\% \) mua kèm ốp điện thoại. Tỷ lệ khách hàng mua điện thoại Iphone kèm ốp điện thoại trong số những khách hàng mua điện thoại Iphone là \(30\% .\)
Xác suất một khách hàng mua điện thoại Samsung là \(0,75\).
Xác suất để một khách hàng mua điện thoại Iphone là \(0,15\).
Xác suất để một khách hàng mua ốp điện thoại biết rằng khách hàng đó đã mua điện thoại Samsung là , xác suất để một khách hàng mua ốp điện thoại biết rằng khách hàng đó đã mua Iphone là .
Xác suất một khách hàng mua điện thoại kèm ốp là .
Gọi là biến cố một khách hàng mua điện thoại kèm ốp, là biến cố một khách hàng mua điện thoại Samsung
a) Đúng.
. \(0,6\)
b) Sai.
Xác suất để một khách hàng mua điện thoại Iphone là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).
c) Đúng.
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = 60\% = 0,6;\,P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 30\% = 0,3\).
d) Đúng.
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\)
\( = 0,75 \cdot 0,6 + 0,25 \cdot 0,3 = 0,525\).
Một căn bệnh có 2% dân số mắc phải. Một phương pháp chẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là 99%. Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính 99% số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng 97%. Lấy một người đi kiểm tra.
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra là \(0,02\).
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: \[0,99\].
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: \[0,01\].
Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là \(0,25\)
a) Đúng.
Gọi \[A\] là biến cố “người đó mắc bệnh”
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:\[P\left( A \right) = 2\% = 0,02\]
b) Đúng
Gọi \[B\] là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính”
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: \[P\left( {B|A} \right) = 99\% = 0,99\]
c) Sai
Xác xuất kết quả âm tính nếu người đó không mắc bệnh là: \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 97\% = 0,97\).
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: \[P\left( {B|\bar A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,97 = 0,03\]
d) Sai
Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: \[P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\]
Xác suất để người đó thực sự bị bệnh là
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,02.0,99}}{{0,02.0,99 + 0,98.0,03}} = \frac{{33}}{{82}} \approx 0,402.\]
Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu đỏ và 20 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 80% số viên bi màu đỏ đánh số và 60% số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp.
Xác suất để lấy được bi đánh số có màu vàng là \[0,6\].
Xác suất để lấy được bi không đánh số có màu đỏ là \[0,8\].
Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là \[0,36\].
Xác suất để lấy viên bi màu đỏ có đánh số là \[\frac{2}{3}\].
Gọi \[A\] là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi \[B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\bar B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,
a) Đúng
\[P\left( {A|\bar B} \right) = 60\% = 0,6\]
b) Sai
\[P\left( {A|B} \right) = 80\% = 0,8\], nên \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).
c) Sai
Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{{30}}{{50}} = 0,6\]; \[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{20}}{{50}} = 0,4\]
Vậy \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0,6.0,8 + 0,4.0,6 = 0,72\]
d) Đúng
Ta có:\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,6.0,8}}{{0,72}} = \frac{2}{3}\].
Một hộp có 80 viên bi, trong đó có 50 viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 90% số viên bi màu đỏ được đánh số và 50% số viên bi màu vàng được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số (kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm) .
Gọi \[A\]là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi \[B\]là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\overline B \]là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có màu vàng”.
Khi đó, ta có:
\[P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8};{\rm{ }}P\left( {\overline B } \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\];
\[P\left( {A|B} \right) = 90\% = \frac{9}{{10}};{\rm{ }}P\left( {A|\overline B } \right) = 50\% = \frac{1}{2}\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P(A) = P(B).P\left( {A|B} \right){\rm{ + }}P(\overline B ).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{5}{8}.\frac{9}{{10}} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\].
Một lô linh kiện có chứa 40% linh kiện do nhà máy I sản xuất và 60% linh kiện do nhà máy II sản xuất. Biết tỉ lệ phế phẩm của nhà máy I, II lần lượt là 3%, 4%. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng đó. Tính xác suất để linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt ( kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm) .
Gọi \[A\]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt”
Gọi \[B\]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy I sản xuất ”, suy ra \[\overline B \]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất”.
Khi đó, ta có:
\[P\left( B \right) = 40\% = \frac{2}{5};{\rm{ }}P\left( {\overline B } \right) = 60\% = \frac{3}{5}\];
\[P\left( {A|B} \right) = 100\% - 3\% = 97\% = \frac{{97}}{{100}};{\rm{ }}P\left( {A|\overline B } \right) = 100\% - 4\% = 96\% = \frac{{96}}{{100}} = \frac{{24}}{{25}}\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P(A) = P(B).P\left( {A|B} \right){\rm{ + }}P(\overline B ).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{2}{5}.\frac{{97}}{{100}} + \frac{3}{5}.\frac{{24}}{{25}} = \frac{{241}}{{250}} \approx 0,96\].
Một công ty du lịch bố trí chỗ nghỉ cho đoàn khách tại ba khách sạn \[A,\,B,\,C\] theo tỉ lệ \[20\]% , \[50\]% , \[30\]% . Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là \[5\]% , \[4\]% , \[8\]% . Tính xác suất để:
a) Một khách ở khách sạn \(A\), biết khách đó ở phòng điều hòa bị hỏng.
b) Một khách ở khách sạn \[C\], biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng.
(kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi biến cố \[H\]: “Khách nghỉ ở phòng có điều hòa bị hỏng”
\(A\): “Khách nghỉ tại khách sạn \[A\]”
\(B\): “Khách nghỉ tại khách sạn \[B\]”
\(C\): “Khách nghỉ tại khách sạn \[C\]”
Theo bài ra ta có: \(P\left( A \right) = 0,2\); \(P\left( B \right) = 0,5\); \(P\left( C \right) = 0,3\).
\(P\left( {H|A} \right) = 0,05\); \(P\left( {H|B} \right) = 0,04\); \(P\left( {H|C} \right) = 0,08\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( H \right)\, = \,P\left( A \right).P\left( {H|A} \right)\, + \,P\left( B \right).P\left( {H|B} \right)\, + \,P\left( C \right).P\left( {H|C} \right)\,\,\]
\[ = \,0,2.\,0,05\, + \,0,5.0,04\, + \,0,3.0,08\]
\[ = \,0,054\].
a) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một khách ở khách sạn \(A\), biết khách đó ở phòng điều hòa bị hỏng là:
\[P\left( {A|H} \right)\, = \,\frac{{P\left( A \right).P\left( {H|A} \right)}}{{P\left( H \right)}}\, = \,\frac{{0,2.0,05}}{{0,054}}\, = \,\frac{5}{{27}}\, \simeq \,0,19\].
b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một khách ở khách sạn \[C\], biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng là:
\[P\left( {C|\overline H } \right)\, = \,\frac{{P\left( C \right).P\left( {\overline H |C} \right)}}{{P\left( {\overline H } \right)}}\, = \,\frac{{0,3.\left( {1 - \,0,08} \right)}}{{1 - 0,054}}\, = \,\frac{{138}}{{473}}\, \simeq \,0,29\].
Cho hộp\[I\]gồm \[5\] bi trắng và 5 bi đỏ, hộp \[II\]gồm \[6\]bi trắng và 4 bi đỏ. Bỏ ngẫu nhiên hai bi từ hộp \[I\] sang hộp \[II\]. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp \[II\] một bi.
a) Tính xác suất để lấy được bi trắng .
b) Giả sử lấy được viên bi trắng. Tính xác suất để lấy được bi trắng từ hộp \[I\].
(kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm)
Gọi \[{K_1}\]: “Bi lấy ra từ hộp II là bi của hộp \[I\]”
\[{K_2}\]: “Bi lấy ra từ hộp \[II\] là bi của hộp \[II\]”
\[A\]: “Lấy được bi trắng”
a) Ta có : \[P\left( {{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{1}{6}\]; \[P\left( {{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{5}{6}\].
\[P\left( {A|{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{1}{2}\]; \[P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{3}{5}\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để lấy được bi trắng là:
\[P\left( A \right)\, = \,P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)\, + P\left( {{K_2}} \right).P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{1}{6}.\frac{1}{2}\, + \,\frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{7}{{12}} \simeq \,0,58\].
b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để lấy được bi trắng của hộp \[I\] là:
\[P\left( {{K_1}|A} \right)\, = \,\frac{{P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)}}{{P\left( A \right)\,}}\,\, = \,\frac{{\frac{1}{6}.\frac{1}{2}}}{{\frac{7}{{12}}}}\, = \,\frac{1}{7}\, \simeq \,0,14\].
Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là \(1\% \). Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng \(\frac{a}{b}\) (Phân số tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu?
Gọi \(A\) là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”.
\(B\) là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.
Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus\(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).
Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với \(20\% \) các trường hợp không thực sự nhiễm virus \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2\)
\(P\left( A \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,99\)
Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,2 = 0,207\)
Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,207}} = \frac{1}{{23}}\)
Vậy \(a = 1,b = 23 \Rightarrow a + b = 24\).
Tỷ lệ người nghiện thuốc lá tại một vùng là \(30\% \). Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là \(60\% \), còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là \(40\% \). Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy không bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá. (Làm tròn kết quả tới hàng phần trăm)
Gọi \(A\) là biến cố “Người này bị nghiện thuốc lá”
B là biến cố “Người này không bị viêm họng”
Ta có \(P\left( A \right) = 0,3 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,7\).
Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người bị nghiện thuốc là \(P\left( {\bar B|A} \right) = 0,6\)
Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người không bị nghiện thuốc là \(P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 0,4\)
Do đó \(P\left( {\bar B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\bar B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46\).
Suy ra \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\bar B} \right) = 0,54\).
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3.0,4}}{{0,54}} = \frac{2}{9} \approx 0,22\).
