Đề kiểm tra Công thức xác suất toàn phần – công thức Bayes lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
\(P(A) = P(A).P(A|B) + P(\overline A ).P(A|\overline B )\)
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\).
\(P(A) = P(A).P(\overline A |B) + P(\overline A ).P(A|\overline B )\).
\[P(B) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B )\].
\(0,018\).
\(0,036\).
\(0,028\).
\(0,024\).
\(P(B) = 0,2 \Rightarrow P(\overline B ) = 0,8\).
Vì \(B\) xảy ra thì tỉ lệ \(A\) sảy ra \(4\% \) nên \(P(A|B) = 0,04\).
Tương tự ta cũng có \(P(A|\overline B ) = 0,02\). Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,2.0,04 + 0,8.0,02 = 0,024\).\(0,46\).
\(0,34\).
\(0,15\).
\(0,31\).
Ta có: \[P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 0,8\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = 0,8.0,5 + 0,2.0,3 = 0,46\].\(0,9\).
\(0,25\).
\(0,2\).
\(0,75\).
Đặt \[P\left( B \right) = x\], suy ra \[P\left( {\overline B } \right) = 1 - x\].
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\]
\[ \Leftrightarrow 0,4 = 0,5x + 0,1\left( {1 - x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 0,3 = 0,4x\]
\[ \Leftrightarrow x = 0,75\]
Vậy \[P\left( B \right) = 0,75\].\(0,7\).
\(0,4\).
\(0,58\).
\(0,52\).
Ta có: \(P(\bar B) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\).
Theo công thức xác suất toàn phần:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\bar B).P(A|\bar B) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58\).\(0,1875\).
\(0,48\).
\(0,333\).
\(0,95\).
Theo công thức Bayes, ta có
\(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,3.0,25}}{{0,4}} = 0,1875\).\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right) + P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) - P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|\overline B } \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|B} \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(3\).
\(7\).
\(5\).
\(6\).
Ta gọi \(A\) là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”, \(B\) là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.
Khi đó \(P\left( A \right) = 3\% = 0,03,\,P\left( {A|B} \right) = 21\% = 0,21.\,\)
Theo công thức Bayes: \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow \frac{{P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,21}}{{0,03}} = 7.\]
Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên \[7\] lần.\(0,2\).
\(0,3\).
\(0,4\).
\(0,6\).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 22 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( A \right)P\left( {B|A} \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\).
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)\).
Giả sử \(A\) và \(B\) là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn \(P\left( A \right) > 0\) và \(0 < P\left( B \right) < 1\). Khi đó, công thức Bayes:
\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right)}}\) hay còn có thể viết dưới dạng: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).\(0,72\).
\(0,35\).
\(0,82\).
\(0,55\).
Gọi \(A\) là biến cố áo được chọn là áo chất lượng cao. \(B\) là biến cố áo được chọn ở chi nhánh \(I\) và \(\overline B \) là biến cố áo được chọn ở chi nhánh \(II\).
Từ giải thiết ta có \(P\left( B \right) = 0,56\), \(P\left( {\left. A \right|B} \right) = 0,75\), \(P\left( {\overline B } \right) = 0,44\), \(P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,68\).
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 0,56.0,75 + 0,44.0,68 = 0,7192 \approx 0,72\).
Vậy xác suất chọn được áo chất lượng cao là \(0,72\).\(\frac{{19}}{{21}}\).
\(\frac{{20}}{{21}}\).
\(\frac{{24}}{{25}}\).
\(\frac{{18}}{{25}}\).
Gọi \(A\) là biến cố người được chọn là đàn ông, \(B\) là biến cố người được chọn mù màu.
Theo đề bài ra ta có \(P\left( {\left. B \right|A} \right) = 0,05;P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = 0,0025\).
Vì số đàn ông bằng số phụ nữ nên ta có \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5\).
Áp dụng công thức Bayes ta có xác suất để chọn được một người đàn ông mù màu là
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\left. B \right|\overline A } \right)}} = \frac{{0,5.0,05}}{{0,5.0,05 + 0,5.0,0025}} = \frac{{20}}{{21}}.\)\(P\left( {\overline B } \right) = 0,07\).
Công thức xác suất đầy đủ là \(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\).
Công thức xác suất đầy đủ là \(P\left( A \right) = P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\).
\(P\left( A \right) = 0,017\).
a) Sai.
\(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,3 = 0,7\).
b) Đúng.
Theo công thức được nêu trong sách giáo khoa.
c) Sai.
d) Đúng.
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\)
\( = 0,3 \cdot 0,01 + 0,7 \cdot 0,02 = 0,017\).Xác suất một khách hàng mua điện thoại Samsung là \(0,75\).
Xác suất để một khách hàng mua điện thoại Iphone là \(0,15\).
Xác suất để một khách hàng mua ốp điện thoại biết rằng khách hàng đó đã mua điện thoại Samsung là , xác suất để một khách hàng mua ốp điện thoại biết rằng khách hàng đó đã mua Iphone là .
Xác suất một khách hàng mua điện thoại kèm ốp là .
Gọi là biến cố một khách hàng mua điện thoại kèm ốp, là biến cố một khách hàng mua điện thoại Samsung
a) Đúng.
. \(0,6\)
b) Sai.
Xác suất để một khách hàng mua điện thoại Iphone là \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).
c) Đúng.
\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = 60\% = 0,6;\,P\left( {\left. A \right|\overline B } \right) = 30\% = 0,3\).
d) Đúng.
\(P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {\left. A \right|\overline B } \right)\)
\( = 0,75 \cdot 0,6 + 0,25 \cdot 0,3 = 0,525\).Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra là \(0,02\).
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: \[0,99\].
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: \[0,01\].
Biết rằng đã có kết quả chuẩn đoán là dương tính, xác suất để người đó thực sự bị bệnh là \(0,25\)
a) Đúng.
Gọi \[A\] là biến cố “người đó mắc bệnh”
Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra:\[P\left( A \right) = 2\% = 0,02\]
b) Đúng
Gọi \[B\] là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính”
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: \[P\left( {B|A} \right) = 99\% = 0,99\]
c) Sai
Xác xuất kết quả âm tính nếu người đó không mắc bệnh là: \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 97\% = 0,97\).
Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: \[P\left( {B|\bar A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,97 = 0,03\]
d) Sai
Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: \[P\left( {\bar A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\]
Xác suất để người đó thực sự bị bệnh là
\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right)}} = \frac{{0,02.0,99}}{{0,02.0,99 + 0,98.0,03}} = \frac{{33}}{{82}} \approx 0,402.\]Xác suất để lấy được bi đánh số có màu vàng là \[0,6\].
Xác suất để lấy được bi không đánh số có màu đỏ là \[0,8\].
Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là \[0,36\].
Xác suất để lấy viên bi màu đỏ có đánh số là \[\frac{2}{3}\].
Gọi \[A\] là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi \[B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\bar B\] là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”,
a) Đúng
\[P\left( {A|\bar B} \right) = 60\% = 0,6\]
b) Sai
\[P\left( {A|B} \right) = 80\% = 0,8\], nên \(P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\).
c) Sai
Ta có: \[P\left( B \right) = \frac{{30}}{{50}} = 0,6\]; \[P\left( {\bar B} \right) = \frac{{20}}{{50}} = 0,4\]
Vậy \[P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {A|\bar B} \right) = 0,6.0,8 + 0,4.0,6 = 0,72\]
d) Đúng
Ta có:\[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right)P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,6.0,8}}{{0,72}} = \frac{2}{3}\].Gọi \[A\]là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi \[B\]là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra \[\overline B \]là biến cố: “ Viên bi được lấy ra có màu vàng”.
Khi đó, ta có:
\[P\left( B \right) = \frac{{50}}{{80}} = \frac{5}{8};{\rm{ }}P\left( {\overline B } \right) = \frac{{30}}{{80}} = \frac{3}{8}\];
\[P\left( {A|B} \right) = 90\% = \frac{9}{{10}};{\rm{ }}P\left( {A|\overline B } \right) = 50\% = \frac{1}{2}\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P(A) = P(B).P\left( {A|B} \right){\rm{ + }}P(\overline B ).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{5}{8}.\frac{9}{{10}} + \frac{3}{8}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\].Gọi \[A\]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra là linh kiện tốt”
Gọi \[B\]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy I sản xuất ”, suy ra \[\overline B \]là biến cố: “ linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất”.
Khi đó, ta có:
\[P\left( B \right) = 40\% = \frac{2}{5};{\rm{ }}P\left( {\overline B } \right) = 60\% = \frac{3}{5}\];
\[P\left( {A|B} \right) = 100\% - 3\% = 97\% = \frac{{97}}{{100}};{\rm{ }}P\left( {A|\overline B } \right) = 100\% - 4\% = 96\% = \frac{{96}}{{100}} = \frac{{24}}{{25}}\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P(A) = P(B).P\left( {A|B} \right){\rm{ + }}P(\overline B ).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{2}{5}.\frac{{97}}{{100}} + \frac{3}{5}.\frac{{24}}{{25}} = \frac{{241}}{{250}} \approx 0,96\].Gọi biến cố \[H\]: “Khách nghỉ ở phòng có điều hòa bị hỏng”
\(A\): “Khách nghỉ tại khách sạn \[A\]”
\(B\): “Khách nghỉ tại khách sạn \[B\]”
\(C\): “Khách nghỉ tại khách sạn \[C\]”
Theo bài ra ta có: \(P\left( A \right) = 0,2\); \(P\left( B \right) = 0,5\); \(P\left( C \right) = 0,3\).
\(P\left( {H|A} \right) = 0,05\); \(P\left( {H|B} \right) = 0,04\); \(P\left( {H|C} \right) = 0,08\)
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\[P\left( H \right)\, = \,P\left( A \right).P\left( {H|A} \right)\, + \,P\left( B \right).P\left( {H|B} \right)\, + \,P\left( C \right).P\left( {H|C} \right)\,\,\]
\[ = \,0,2.\,0,05\, + \,0,5.0,04\, + \,0,3.0,08\]
\[ = \,0,054\].
a) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một khách ở khách sạn \(A\), biết khách đó ở phòng điều hòa bị hỏng là:
\[P\left( {A|H} \right)\, = \,\frac{{P\left( A \right).P\left( {H|A} \right)}}{{P\left( H \right)}}\, = \,\frac{{0,2.0,05}}{{0,054}}\, = \,\frac{5}{{27}}\, \simeq \,0,19\].
b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để một khách ở khách sạn \[C\], biết khách đó ở phòng điều hòa không bị hỏng là:
\[P\left( {C|\overline H } \right)\, = \,\frac{{P\left( C \right).P\left( {\overline H |C} \right)}}{{P\left( {\overline H } \right)}}\, = \,\frac{{0,3.\left( {1 - \,0,08} \right)}}{{1 - 0,054}}\, = \,\frac{{138}}{{473}}\, \simeq \,0,29\].Gọi \[{K_1}\]: “Bi lấy ra từ hộp II là bi của hộp \[I\]”
\[{K_2}\]: “Bi lấy ra từ hộp \[II\] là bi của hộp \[II\]”
\[A\]: “Lấy được bi trắng”
a) Ta có : \[P\left( {{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_2^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{1}{6}\]; \[P\left( {{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_{10}^1}}{{C_{12}^1}}\, = \,\frac{5}{6}\].
\[P\left( {A|{K_1}} \right)\, = \,\frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{1}{2}\]; \[P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{{C_6^1}}{{C_{10}^1}}\, = \,\frac{3}{5}\].
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để lấy được bi trắng là:
\[P\left( A \right)\, = \,P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)\, + P\left( {{K_2}} \right).P\left( {A|{K_2}} \right)\, = \,\frac{1}{6}.\frac{1}{2}\, + \,\frac{5}{6}.\frac{3}{5} = \frac{7}{{12}} \simeq \,0,58\].
b) Áp dụng công thức Bayes, xác suất để lấy được bi trắng của hộp \[I\] là:
\[P\left( {{K_1}|A} \right)\, = \,\frac{{P\left( {{K_1}} \right).P\left( {A|{K_1}} \right)}}{{P\left( A \right)\,}}\,\, = \,\frac{{\frac{1}{6}.\frac{1}{2}}}{{\frac{7}{{12}}}}\, = \,\frac{1}{7}\, \simeq \,0,14\].Gọi \(A\) là biến cố “Người đó bị nhiễm Virus”.
\(B\) là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”.
Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với \(90\% \) các trường hợp thực sự nhiễm virus\(P\left( {B|A} \right) = 0,9\).
Xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả âm tính với \(80\% \) các trường hợp thực sự không nhiễm virus, nên cho kết quả dương tính với \(20\% \) các trường hợp không thực sự nhiễm virus \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,2\)
\(P\left( A \right) = 0,01 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,99\)
Do đó xác suất để người đó cho kết quả dương tính là:
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = 0,01.0,9 + 0,99.0,2 = 0,207\)
Xác suất để người nhiễm virus cho kết quả dương tính là:
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01.0,9}}{{0,207}} = \frac{1}{{23}}\)
Vậy \(a = 1,b = 23 \Rightarrow a + b = 24\).
Gọi \(A\) là biến cố “Người này bị nghiện thuốc lá”
B là biến cố “Người này không bị viêm họng”
Ta có \(P\left( A \right) = 0,3 \Rightarrow P\left( {\bar A} \right) = 0,7\).
Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người bị nghiện thuốc là \(P\left( {\bar B|A} \right) = 0,6\)
Tỷ lệ người bị viêm họng trong số người không bị nghiện thuốc là \(P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 0,4\)
Do đó \(P\left( {\bar B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\bar B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\bar B|\bar A} \right) = 0,3.0,6 + 0,7.0,4 = 0,46\).
Suy ra \(P\left( B \right) = 1 - P\left( {\bar B} \right) = 0,54\).
\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3.0,4}}{{0,54}} = \frac{2}{9} \approx 0,22\).Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
