Đường tròn (O; 25 cm) có đường kính là 2.25 = 50 cm.

Vì trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên độ dài dây lớn nhất của đường tròn (O; 25 cm) là 50 cm.

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 4 cm, r = 1 cm.

Khi đó, R ‒ r = 4 ‒ 1 = 3 (cm) và R + r = 4 + 1 = 5 (cm).

a) Ta có: 3 < 4,5 < 5 nên R ‒ r < OO’ < R + r.

Vậy hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 1 cm) cắt nhau.

b) Do 5 < 6 nên R + r < OO’

Vậy hai đường tròn (O; 4 cm) và (O’; 1 cm) ở ngoài nhau.

c) Do 3 > 2 nên R ‒ r > OO’

Vậy đường tròn (O; 4 cm) đựng đường tròn (O’; 1 cm).

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là R = 3,5 cm và r = 4,5 cm.

Hai đường tròn (O; 3,5 cm) và (O’; 4,5 cm) tiếp xúc ngoài khi

OO’ = R + r = 3,5 + 4,5 = 8 (cm).

Gọi H là giao điểm của OO’ với AB (hình vẽ).

Ta có OA = OB (bán kính đường tròn tâm O) và O’A = O’B (bán kính đường tròn tâm O’)

Suy ra OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó OO’ ⊥ AB tại trung điểm H của AB.

Đặt OH = x (cm) thì O’H = OO’ – OH = 21 ‒ x (cm).

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = AH² + OH², suy ra AH² = OA² ‒ OH².

Xét ∆O’AH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

O’A² = AH² + O’H², suy ra AH² = O’A² ‒ O’H².

Do đó OA² ‒ OH² = O’A² ‒ O’H²

Suy ra: 17² ‒ x² = 10² ‒ (21 ‒ x)²

289 – x² = 100 – 441 + 42x – x²

42x = 630

x = 15 (cm).

Do đó AH² = OA² ‒ OH² = 17² – x² = 17² – 15² = 64.

Suy ra$AH=\sqrt{64}=8 \text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm.}$

Mà H là trung điểm của AB nên AB = 2AH = 2.8 = 16 cm.

Vậy AB = 16 cm.

Tứ giác OAO’B có OA = OB = O’A = O’B (cùng bằng bán kính của (O) và (O’))

Suy ra tứ giác OAO’B là hình thoi.

Do đó hai đường chéo AB và OO’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do hai điểm A, B nằm trên đường tròn tâm O bán kính 2 km nên ta có: OA = OB = 2 km = 2 000 m.

Xét ∆OAB có OA = OB (do A, B cùng nằm trên đường tròn tâm O) nên ∆OAB cân tại O. Do đó đường cao OH của ∆OAB đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AB, hay $AH=BH=\frac{AB}{2}.$

Xét ∆OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OH² + AH²

Suy ra AH² = OA² – OH² = 2 000² – 1 732² = 1 000 176.

Do đó $AH=\sqrt{1000176} \text{m}.$

Vậy $AB=2AH=2\sqrt{1000176}\approx 2000m.$

Gọi hòn đảo lớn là đường tròn (O; 500 m) và hòn đảo nhỏ là đường tròn (O’; 300 m). Lấy A thuộc đường tròn (O) và B thuộc đường tròn tâm (O’) là hai vị trí đầu cầu (hình vẽ).

Khi đó, AB là chiều dài cây cầu và OO’ = 950 m, OA = 500 m, O’B = 300 m.

Xét ba điểm O’, A, B, ta có: AB ≥ O’A ‒ O’B.

Xét ba điểm O, O’, A, ta có: O’A ≥ OO’ ‒ OA.

Do đó AB ≥ OO’ ‒ OA ‒ O’B hay AB ≥ 150 m.

Dấu “=“ xảy ra khi bốn điểm O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự đó.

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu có chiều dài ngắn nhất là 150 m.