Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là: \(\overrightarrow u \) = (1; 2; −1).

Đường thẳng ∆ đi qua B(1; −2; 3) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa ∆ và đi qua A là: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]\) (với \(\overrightarrow {AB} \) = (−1; −1; 2)).

Suy ra \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AB} } \right]\) = \(\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right)\) = (3; −1; 1).

Vậy \(\overrightarrow n \) = (3; −1; 1).

Đáp án đúng là: C

Ta có: d(A, (P)) = \(\frac{{\left| {2.\left( { - 2} \right) - 2.1 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }}\) = 3.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2; −1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (−1; 1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(2; 1; −3) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (2; 1; −3) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&1\end{array}} \right|} \right)\) = (−5; 1; −3) ≠ \(\overrightarrow 0 \).

           \(\overrightarrow {AB} \) = (1; −1; −2).

Và \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −5.1 + 1.(−1) + (−3).(−2) = 0 nên hai đường thẳng ∆, ∆' cắt nhau.

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; −1; 1), \(\overrightarrow {AC} \) = (1; −2; 3).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

\(\overrightarrow n \) = \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) = \(\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\{ - 2}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\3&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 1}\\1&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)\) = (−1; 10; 7).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

−1(x – 2) + 10(y – 3) + 7(z + 1) = 0

⇔ −x + 10y + 7z – 21 = 0

⇔ x – 10y – 7z + 21 = 0.

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; −1; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 3 - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1; −1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−1; 2; 3) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (1; −1; 2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]\) = (5; −5; −5) và \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; 1; 4) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −40 ≠ 0.

Hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Ta có: cos(∆, ∆') = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}\) = \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\).

c) Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (3; 2; 1) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x + 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\).

a) Ta có: d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {3 - 2.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\) = 4.

b) Bán kính mặt cầu (S) chính là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P).

Do đó, R = 4.

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 3)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 16.

c) Đường thẳng d vuông với mặt phẳng (P) nên nhận vectơ \(\overrightarrow n \) = (1; −2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)

a) Ta có I thuộc d nên I có dạng I(1 + t; 2t; −1 – 2t).

I cũng thuộc (P) nên thay I vào phương tình mặt phẳng (P), ta được:

2(1 + t) + 2t + (−1 – 2t) + 5 = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

⇒ I(−2; −6; 5).

b) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).

⇒ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\1&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&1\end{array}} \right|} \right)\) = (4; −5; −3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆'.

Đường thẳng ∆' qua I nên ta có phương trình đường thẳng như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6 - 5t\\z = 5 - 3t\end{array} \right.\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; 2; −2), \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 1; 1).

Do đó, sin(∆, (P)) = \(\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_\Delta },{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }.{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{9}\).

⇒ (∆, (P)) ≈ 15,8°.

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(3; −2; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (2; 1; 3) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−2; 3; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (3; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−5; 5; 0) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 2}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&2\end{array}} \right|} \right)\) = (−8; 13; 1) ≠ \(\overrightarrow 0 \)

⇒ \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −5.(−8) + 5.13 + 0.1 = 105 ≠ 0.

Do đó, hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Mặt phẳng (P) nhận vectơ \(\overrightarrow n \) = \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]\) = (−8; 13; 1) làm vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (P) đi qua điểm A.

Mặt phẳng (P) có phương trình là: −8(x – 3) + 13(y + 2) +1(z – 1) = 0

⇔ −8x + 13y + z + 49 = 0

⇔ 8x – 13y – z – 49 = 0.

a) Ta có: (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 9

        ⇔ (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 3²

Mặt cầu có tâm I(2; −1; 3) và bán kính R = 3.

b) Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}} \) = 2 < 3 nên A nằm trong mặt cầu (S).

c) Kẻ IH vuông góc với mặt phẳng (P), có IH ≤ IA nên để IH lớn nhất thì H trùng với A hay \(\overrightarrow {IA} \) = (0; 0; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là: −2(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.

a) Phương trình có các hệ số: a = −3, b = 0, c = 4 và d = 5.

⇒ a² + b² + c² – d = (−3)² + 0² +4² – 5 = 20 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−3; 0; 4) và bán kính

R = \(\sqrt {20} \).

b) Phương trình có các hệ số a = 2, b = 0, c = −3 và d =17.

⇒ a² + b² + c² – d = 2² + 0² + (−3)² – 17 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 2x² + 2y² + 2z² – 5 = 0.

⇔ x² + y² + z² – \(\frac{5}{2}\) = 0.

⇔ x² + y² + z² = \(\frac{5}{2}\).

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

a) Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (2; 2; −1), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) = (2; 2; −1).

Có \(\frac{2}{2} = \frac{2}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \frac{8}{{ - 2}}\) nên mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

b) Lấy điểm A(0; 0; 8) thuộc mặt phẳng (P).

Khi đó, d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = \(\frac{{\left| {0.2 + 0.2 - 8 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\) = 2.

Ta có: A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên trục Ox, Oy, Oz nên tọa độ các điểm lần lượt là: A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 5).

Do đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết dưới dạng phương trình đoạn chắn như sau:

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} = 1\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (1; −3; −1), \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 1; 2).

\(\overrightarrow {{n_Q}} \) = \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right]\) = \(\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 1}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\1&1\end{array}} \right|} \right)\) = (−5; −3; 4) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2; −1; −3) nên ta có phương trình như sau:

−5(x – 2) – 3(y + 1) + 4(z + 3) = 0

⇔ −5x + 10 – 3y – 3 + 4z + 12 = 0

⇔ 5x + 3y – 4z – 19 = 0.

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \) = (0; 0; 1).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là (1; 1; 1).

Ta có: cos((Oxy), (α)) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow k ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + 0.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

⇒ ((Oxy), (α)) ≈ 54,7°.

Ta có: \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t} \right)^2} + {\left( {\sqrt {\sqrt 2 \sin t\cos t} } \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t - \cos t} \right)^2} - 1\)

= \(\frac{1}{2}{\sin ^2}t + \sqrt 2 \sin t\cos t + \frac{1}{2}{\sin ^2}t - \sqrt 2 \sin t\cos t + {\cos ^2}t - 1\)

= sin²t + cos²t – 1

= 1 – 1 = 0.

Vậy \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t} \right)^2} + {\left( {\sqrt {\sqrt 2 \sin t\cos t} } \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin t - \cos t} \right)^2} - 1\) = 0.

Vậy trong quá trình chuyển động, vật thể luôn thuộc mặt cầu (S).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (0; 1; −1), mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow k \) = (0; 0; 1).

Ta có: sin(AB, (Oxy)) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right|\) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

⇒ (AB, (Oxy)) = 45°.

Vậy ống nước nghiêng 45° so với mặt phẳng nằm ngang.