Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z + 2 = 0\). Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;2;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \[3x + y - 7z - 3 = 0\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + z - 2 = 0\). Điểm nào sau đây thuộc \(\left( \alpha \right)\)?
\(Q\left( {1; - 2;2} \right)\).
\(N\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(P\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;1; - 1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5;2; - 3} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)là
\(5x + 2y - 3z - 17 = 0\).
\(2x + 2y + z - 11 = 0\).
\(5x + 2y - 3z - 11 = 0\).
\(2x + 2y + z - 17 = 0\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng
\(5\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 2y - 3z - 11 = 0\)
Vậy \(\left( P \right):5x + 2y - 3z - 11 = 0\).Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
\(\left( { - 1;1;3} \right)\).
\(\left( {2; - 4;1} \right)\).
\(\left( {1;1;3} \right)\).
\(\left( {2;4;1} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {3; - 2;1} \right)\), \(N\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình đường thẳng \(MN\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 2 - 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4;2} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(N\left( {1;2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).Trong không gian \(Oxyz\), phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 - 1t\\y = 2 + 2t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = 2 - 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\].Tính góc giữa mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]và mặt phẳng \[\left( P \right)\]có phương trình \(\left( P \right):x + z + 1 = 0.\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;0;1} \right)\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), khi đó
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
Chọn BTrong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng có phương trình
\(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)
Khi đó \({\rm{cosin}}\)góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Đường thẳng \(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\),
Đường thẳng \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\), khi đó
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}.\)Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - z = 0\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(150^\circ \).
\(120^\circ \)
Đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\),
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), khi đó
\(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ \).Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
\(I\left( {1; - 2;3} \right);R = 5\).
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right);R = 5\).
\(I\left( {1; - 2;3} \right);R = 25\).
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right);R = 25\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right)\)và \(B\left( {5;4;4} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 17\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt {17} \).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt {17} \).
Tọa độ tâm mặt cầu là \(I\left( {3\,;\,2\,;\,1} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {17} \).
Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\).Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(I\left( {2;1;0} \right)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là
\(\left( S \right):\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {11} \).
\(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {11} \).
\(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 11\).
\(\left( S \right):\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 11\
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là \(2x - y + 3z - 9 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là \(\sqrt {14} \)
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là\(H\left( {\frac{{ - 26}}{{11}};\frac{{ - 48}}{{11}};\frac{{ - 17}}{{11}}} \right)\)...
a) Đúng.
Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.
Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\)
Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\).
Vậy mp\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).
b) Sai.
\(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) có Vtpt \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\).
\(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)có Vtpt \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - 6 \ne 0\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) không vuông góc với \(\left( R \right)\).
c) Đúng.
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\):
\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \).
d) Sai.
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có vtcp là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = - 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ H \right\} = \Delta \cap \left( P \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 3 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 3t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x - y + 3z + 5 = 0}\end{array}} \right.\, \Rightarrow 4t + 3 + t + 3\left( {2 + 3t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Vậy \(H\left( { - 2; - 2; - 1} \right)\).Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\), \(B\left( {1; - 2;3} \right)\)và đường thẳng \(\Delta \):
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\)Phương trình đường thẳng \(AB\):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Đường thẳng \(AB\)song song với đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) .
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \):
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).
a) Đúng.
Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)làm vtcp:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
b) Đúng.
Đường thẳng \(AB\)có vtpt \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) có vtcp \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\)
Và \(A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta \) nên \(AB//\Delta \).
c) Sai.
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) đi qua điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
d) Đúng.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Vì \(OH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).
Cho \(A\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {5\,;\,5\,;\,8\,} \right)\) và đường thẳng . Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)...
Điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).
a) Đúng:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).
Và \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \).
Vậy mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
b) Sai:
Ta có \[\overrightarrow {OI} = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Suy ra điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.
c) Sai:
Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Ta có đường thẳng có \(M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)\).
Do đó \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Cách 2. Sử dụng số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu :
Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\).
Thay \[x = 3 + t\,;y = \frac{3}{2} + 2t\,;\,\,z = \frac{5}{2} - 2t\] vào \(\left( S \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {3 + t - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} + 2t - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{2} - 2t - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t + 3} \right)^2} = \frac{{25}}{2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\).
Vì phương trình \(9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\) vô nghiệm nên đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) hay đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Đúng:
Gọi giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r\).
Sử dụng công thức \({R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]^2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} \).
Ta có \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.\frac{7}{2} - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).
Do đó \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {3^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z = 1\).
Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).
Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)...
a) Sai:
Phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 4\).
b) Đúng:
Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
\( \Leftrightarrow 2ax + 2by + 2cz - d = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) \(\left( 1 \right)\).
Thay tọa độ các điểm \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) vào \(\left( 1 \right)\), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - d = 0}\\{8a - d = 16}\\{8b - d = 16}\\{8c - d = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{d = 0}\end{array}} \right.\).
Khi đó mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có tâm \(I\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 0} = 2\sqrt 3 \).
Vậy phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).
c) Sai:
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z - 4 = 0\).
Khi đó \(d\left( {0\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
d) Đúng:
Trong tam giác \(OAC\) hạ \(OH \bot AC\).
Theo bài ra \(\left( {OAC} \right) \bot OB \Rightarrow OH \bot BC\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot AC}\\{OH \bot OB}\end{array}} \right.\) nên \(OH\) là đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\).
Lại có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 4\,;\,0\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {OH} = \left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {16\,;\,0\,;\,16} \right) = 16\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Do đó phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Nhận thấy đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) có \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,0\,;\,2} \right) = 2\overrightarrow {{u_{OH}}} \) và đều đi qua điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nên đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\) trùng nhau.
Vậy đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).Ta có: \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M\left( { - 1 + 2t\,;\, - 1 + t\,;\, - 5 + 6t} \right)\).
Suy ra \( - 1 + 2t - 1 + t - 5\left( { - 5 + 6t} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 27 = 27t \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy \(M\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Kết luận \(S = 2,24\).Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).
Điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).
Nên \(T = \left( {a + b + c + 3.d} \right).2024 = \left( {4 + 5 + 2 - 9} \right).2024 = 4048\).Ta có: \(M\left( {2\,;2\,;0} \right) \in \left( \Delta \right)\) và \(M'\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right) \in \left( {\Delta '} \right)\).
Nên \(\overrightarrow {M'M} = \left( {0\,;3;\,0} \right)\).
Có \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( {1\,;\,2;\, - 3} \right)\) lần lượt là VTCP của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( {\Delta '} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\).
Nên \(d\left( {\left( \Delta \right)\,,\,\left( {\Delta '} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {M'M} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \sqrt 6 \approx 2,45\).![Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu (S): (x -1 ) ^ 2+ ( y -2 ) ^ 2 + ( z-3 )^ 2 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid12-1770351245.png)
\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\] có \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2;3} \right)\\R = 3\end{array} \right.\].
Ta có \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9 > R\] nên mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( S \right)\] không có điểm chung.
Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua tâm \[I\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\].
\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Điểm \[M\] cần tìm là giao điểm của \[d\] và \[\left( S \right)\].
Tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {3;4;2} \right)\\{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\end{array} \right.\]
\[d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right) > d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\].
Vậy điểm \[{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\] là điểm cần tìm.
Suy ra \[a + b + c = 3\].Trong không gian \[Oxyz\], một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \[A\left( {10;0;3} \right)\] và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \left( {2;2;1} \right)\](đơn vị trên mỗi trục tọa độ là m). Hai cột trụ cáp treo đặt tại điểm \[B,C\] biết \[{x_B} = 20;{y_C} = 120\]. Thời gian cabin đi từ điểm \[B\] đến điểm \[C\] là \[55{\rm{s}}\]. Hỏi vận tốc của cabin bằng bao nhiêu \[m/s\]?
Phương trình tham số của đường cáp treo là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
\[{x_B} = 20 \Rightarrow B\left( {20;10;8} \right)\], \[{y_C} = 120 \Rightarrow C\left( {130;120;63} \right)\].
\[BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165\left( m \right)\].
Vậy vận tốc của cabin đi là \[v = \frac{{165}}{{55}} = 3\left( {m/s} \right)\].Vì mặt dưới mái nhà vuông góc với trục \[Oz\] và đi qua điểm \[A\left( {3;4;33} \right)\] nên có phương trình là \[\left( P \right):z - 33 = 0\].
Khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà bằng khoảng cách từ \[B\left( {9;8;35} \right)\] đến \[\left( P \right)\].
Ta có \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{1} = 2\].
Suy ra độ dày của mái nhà bằng \[2\,{\rm{dm = 0,2 m}}\].
Thể tích beton cần đổ mái là \[50.0,2 = 10{m^3}\].
Tiền beton cần trả là \[10.1\,100\,000 = 11\,000\,000\] (đồng).
Tiền công cần trả là \[50.100\,000 = 5\,000\,000\](đồng).
Vậy tổng số tiền chủ nhà cần trả là 16.000.000 (đồng).
