Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z + 2 = 0\). Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;2;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \[3x + y - 7z - 3 = 0\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;1; - 7} \right)\].
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + z - 2 = 0\). Điểm nào sau đây thuộc \(\left( \alpha \right)\)?
\(Q\left( {1; - 2;2} \right)\).
\(N\left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(P\left( {2; - 1; - 1} \right)\).
\(M\left( {1;1; - 1} \right)\).
Thay toạ độ các điểm \(Q,N,P,M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), thấy toạ độ điểm \(N\)thoả mãn.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {5;2; - 3} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)là
\(5x + 2y - 3z - 17 = 0\).
\(2x + 2y + z - 11 = 0\).
\(5x + 2y - 3z - 11 = 0\).
\(2x + 2y + z - 17 = 0\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng
\(5\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 2y - 3z - 11 = 0\)
Vậy \(\left( P \right):5x + 2y - 3z - 11 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\,\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
\(\left( { - 1;1;3} \right)\).
\(\left( {2; - 4;1} \right)\).
\(\left( {1;1;3} \right)\).
\(\left( {2;4;1} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có phương trình \(d:\,\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\). Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là: \(\left( { - 1;1;3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {3; - 2;1} \right)\), \(N\left( {1;2;3} \right)\). Phương trình đường thẳng \(MN\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 2 - 2t\\z = - 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 2;4;2} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(N\left( {1;2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 - 1t\\y = 2 + 2t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = 2 - 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\].Tính góc giữa mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\]và mặt phẳng \[\left( P \right)\]có phương trình \(\left( P \right):x + z + 1 = 0.\)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;0;1} \right)\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), khi đó
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
Chọn B
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng có phương trình
\(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\) và \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)
Khi đó \({\rm{cosin}}\)góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
\(\frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
Đường thẳng \(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)\),
Đường thẳng \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\), khi đó
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}.\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - z = 0\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) bằng
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(150^\circ \).
\(120^\circ \)
Đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)\),
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), khi đó
\(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
\(I\left( {1; - 2;3} \right);R = 5\).
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right);R = 5\).
\(I\left( {1; - 2;3} \right);R = 25\).
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right);R = 25\).
Chọn A
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right)\)và \(B\left( {5;4;4} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 17\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\).
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt {17} \).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt {17} \).
Tọa độ tâm mặt cầu là \(I\left( {3\,;\,2\,;\,1} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {17} \).
Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(I\left( {2;1;0} \right)\) và \(A\left( {1;2;3} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là
\(\left( S \right):\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {11} \).
\(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \sqrt {11} \).
\(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 11\).
\(\left( S \right):\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 11\
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;0} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt {11} \) có phương trình là: \(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 11\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\).
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là \(2x - y + 3z - 9 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là \(\sqrt {14} \)
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là\(H\left( {\frac{{ - 26}}{{11}};\frac{{ - 48}}{{11}};\frac{{ - 17}}{{11}}} \right)\)...
a) Đúng.
Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.
Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\)
Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\).
Vậy mp\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).
b) Sai.
\(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) có Vtpt \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\).
\(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)có Vtpt \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - 6 \ne 0\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) không vuông góc với \(\left( R \right)\).
c) Đúng.
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\):
\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \).
d) Sai.
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có vtcp là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = - 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ H \right\} = \Delta \cap \left( P \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 3 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 3t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x - y + 3z + 5 = 0}\end{array}} \right.\, \Rightarrow 4t + 3 + t + 3\left( {2 + 3t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Vậy \(H\left( { - 2; - 2; - 1} \right)\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\), \(B\left( {1; - 2;3} \right)\)và đường thẳng \(\Delta \):
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\)
Phương trình đường thẳng \(AB\):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Đường thẳng \(AB\)song song với đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) .
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \):
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).
a) Đúng.
Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)làm vtcp:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
b) Đúng.
Đường thẳng \(AB\)có vtpt \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) có vtcp \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\)
Và \(A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta \) nên \(AB//\Delta \).
c) Sai.
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) đi qua điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
d) Đúng.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Vì \(OH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).
Cho \(A\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {5\,;\,5\,;\,8\,} \right)\) và đường thẳng d: x=3+ty=32+2tz=52−2t. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)...
Điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).
a) Đúng:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).
Và \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \).
Vậy mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
b) Sai:
Ta có \[\overrightarrow {OI} = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Suy ra điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.
c) Sai:
Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Ta có đường thẳng d: x=3+ty=32+2tz=52−2t có \(M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)\).
Do đó \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
Cách 2. Sử dụng số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu :
Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\).
Thay \[x = 3 + t\,;y = \frac{3}{2} + 2t\,;\,\,z = \frac{5}{2} - 2t\] vào \(\left( S \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {3 + t - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} + 2t - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{2} - 2t - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t + 3} \right)^2} = \frac{{25}}{2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\).
Vì phương trình \(9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\) vô nghiệm nên đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) hay đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Đúng:
Gọi giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r\).
Sử dụng công thức \({R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]^2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} \).
Ta có \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.\frac{7}{2} - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).
Do đó \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {3^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).
Cho \(A\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(B\left( {0\,;\,4\,;\,0\,} \right)\), \(C\left( {0\,;\,0\,;\,4} \right)\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?
Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z = 1\).
Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).
Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)...
a) Sai:
Phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 4\).
b) Đúng:
Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
\( \Leftrightarrow 2ax + 2by + 2cz - d = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) \(\left( 1 \right)\).
Thay tọa độ các điểm \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) vào \(\left( 1 \right)\), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - d = 0}\\{8a - d = 16}\\{8b - d = 16}\\{8c - d = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{d = 0}\end{array}} \right.\).
Khi đó mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có tâm \(I\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 0} = 2\sqrt 3 \).
Vậy phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).
c) Sai:
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z - 4 = 0\).
Khi đó \(d\left( {0\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
d) Đúng:
Trong tam giác \(OAC\) hạ \(OH \bot AC\).
Theo bài ra \(\left( {OAC} \right) \bot OB \Rightarrow OH \bot BC\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot AC}\\{OH \bot OB}\end{array}} \right.\) nên \(OH\) là đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\).
Lại có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 4\,;\,0\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {OH} = \left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {16\,;\,0\,;\,16} \right) = 16\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Do đó phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Nhận thấy đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) có \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,0\,;\,2} \right) = 2\overrightarrow {{u_{OH}}} \) và đều đi qua điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nên đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\) trùng nhau.
Vậy đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 5z + 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{6}\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). Điểm \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là giao điểm của \(d\) và \(P\). Tính \(S = \frac{{28}}{{25}}\left( {a + b + c} \right)\).
Ta có: \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M\left( { - 1 + 2t\,;\, - 1 + t\,;\, - 5 + 6t} \right)\).
Suy ra \( - 1 + 2t - 1 + t - 5\left( { - 5 + 6t} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 27 = 27t \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy \(M\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Kết luận \(S = 2,24\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - z + 3 = 0\) và \(\left( \beta \right):x + y + z - 1 = 0\). Phương trình chính tắc đường thẳng \(\Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có dạng \(\Delta :\frac{{x + a}}{c} = \frac{{y - b}}{d} = \frac{z}{1}\). Tính \(T = \left( {a + b + c + 3d} \right).2024\) ?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).
Điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).
Nên \(T = \left( {a + b + c + 3.d} \right).2024 = \left( {4 + 5 + 2 - 9} \right).2024 = 4048\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(\left( {\Delta '} \right):\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\) chéo nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng trên là bao nhiêu ? (làm tròn đến hàng phần trăm)
Ta có: \(M\left( {2\,;2\,;0} \right) \in \left( \Delta \right)\) và \(M'\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right) \in \left( {\Delta '} \right)\).
Nên \(\overrightarrow {M'M} = \left( {0\,;3;\,0} \right)\).
Có \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( {1\,;\,2;\, - 3} \right)\) lần lượt là VTCP của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( {\Delta '} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\).
Nên \(d\left( {\left( \Delta \right)\,,\,\left( {\Delta '} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {M'M} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \sqrt 6 \approx 2,45\).
Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\], mặt phẳng \[\left( P \right):2x + 2y - z + 24 = 0\]. Điểm \[M\left( {a;b;c} \right)\] thuộc mặt cầu \[\left( S \right)\] sao cho khoảng cách từ \[M\] đến \[\left( P \right)\] nhỏ nhất. Khi đó \[a + b + c\] có giá trị bằng
![Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu (S): (x -1 ) ^ 2+ ( y -2 ) ^ 2 + ( z-3 )^ 2 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid12-1770351245.png)
\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\] có \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2;3} \right)\\R = 3\end{array} \right.\].
Ta có \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9 > R\] nên mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( S \right)\] không có điểm chung.
Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua tâm \[I\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\].
\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Điểm \[M\] cần tìm là giao điểm của \[d\] và \[\left( S \right)\].
Tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {3;4;2} \right)\\{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\end{array} \right.\]
\[d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right) > d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\].
Vậy điểm \[{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\] là điểm cần tìm.
Suy ra \[a + b + c = 3\].
Trong không gian \[Oxyz\], một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \[A\left( {10;0;3} \right)\] và chuyển động theo đường cáp có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u \left( {2;2;1} \right)\](đơn vị trên mỗi trục tọa độ là m). Hai cột trụ cáp treo đặt tại điểm \[B,C\] biết \[{x_B} = 20;{y_C} = 120\]. Thời gian cabin đi từ điểm \[B\] đến điểm \[C\] là \[55{\rm{s}}\]. Hỏi vận tốc của cabin bằng bao nhiêu \[m/s\]?
Phương trình tham số của đường cáp treo là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
\[{x_B} = 20 \Rightarrow B\left( {20;10;8} \right)\], \[{y_C} = 120 \Rightarrow C\left( {130;120;63} \right)\].
\[BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165\left( m \right)\].
Vậy vận tốc của cabin đi là \[v = \frac{{165}}{{55}} = 3\left( {m/s} \right)\].
Khi gắn hệ trục tọa độ \[Oxyz\](đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet) vào một ngôi nhà 1 tầng có diện tích \[50{m^2}\], người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục \[Oz\]. Biết rằng các vị trí \[A\left( {3;4;33} \right)\] và \[B\left( {9;8;35} \right)\] lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Biết giá tiền \[1{m^3}\] bê tông tươi là 1.100.000 (đồng), tiền công đổ mái là \[100.000\,\]đồng trên \(1\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Chi phí chủ nhà phải trả để đổ được mái bằng bao nhiêu (đơn vị tính triệu đồng).
Vì mặt dưới mái nhà vuông góc với trục \[Oz\] và đi qua điểm \[A\left( {3;4;33} \right)\] nên có phương trình là \[\left( P \right):z - 33 = 0\].
Khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà bằng khoảng cách từ \[B\left( {9;8;35} \right)\] đến \[\left( P \right)\].
Ta có \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{1} = 2\].
Suy ra độ dày của mái nhà bằng \[2\,{\rm{dm = 0,2 m}}\].
Thể tích beton cần đổ mái là \[50.0,2 = 10{m^3}\].
Tiền beton cần trả là \[10.1\,100\,000 = 11\,000\,000\] (đồng).
Tiền công cần trả là \[50.100\,000 = 5\,000\,000\](đồng).
Vậy tổng số tiền chủ nhà cần trả là 16.000.000 (đồng).
