Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x + 2y - 4z + 1 = 0\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3\,;\,2\,;\,4} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {2\,;\, - 4\,;\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3\,;\, - 4\,;\,1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 4} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)\).
\(x - 2y + 3z + 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z - 6 = 0\).
\(x - 2y + 3z - 12 = 0\).
\(x - 2y - 3z + 6 = 0\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 2}}{3}\). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\)
\(\overrightarrow u = \left( {1;\,3;\, - 2} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;\,5;\,3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 5;\,3} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {1;\,3;\,2} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1;\; - 2;\;1} \right)\), \(N\left( {0;\;1;\;3} \right)\). Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(M\), \(N\) là
\[\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\].
\[\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\].
\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\].
\[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\].
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là
\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\].Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; - 1;7} \right)\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 5\).
Bán kính mặt cầu \(R = IA = 5.\)
Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.\)Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 6 = 0.\) Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đối xứng với \(\left( P \right)\) qua gốc tọa độ \(O\) là
\(\left( Q \right): - x - y + z - 6 = 0\).
\(\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0\).
\(\left( Q \right):x + y + z - 6 = 0\).
\(\left( Q \right):x - y - z + 6 = 0\).
Cách 1:
Theo tính chất đối xứng qua \[O\] thì \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( Q \right),\) suy ra \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right).\)
Lấy điểm \(M\left( {0,0,6} \right) \in \left( P \right).\)
Điểm đối xứng với \(M\) qua \(O\)là \[M'\left( {0;0; - 6} \right).\]
Mà \[M' \in \left( Q \right),\]suy ra \(\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.\)
Cách 2: Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(O.\)
Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow \left( P \right):x + y - z + 6 = 0.\)\( \Leftrightarrow \left( { - x} \right) + \left( { - y} \right) + \left( { - z} \right) - 6 = 0.\)
\( \Rightarrow M'\left( { - x; - y; - z} \right) \in \left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.\)Cho ba điểm \(A\left( {3;0;0} \right),B\left( {0; - 6;0} \right),C\left( {0;2; - 3} \right).\) Tính khoảng cách \[d\] từ trọng tâm \[G\] của tam giác \(ABC\)đến mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right).\]
\(d = 2\).
\(d = 3\).
\(d = 1\).
\(d = 4\).
Cách 1: Theo định lí Thales ta có
\(d = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1.\)
Cách 2: Cao độ của trọng tâm \[G\]là \({z_G} = - 1.\)
Khoảng cách \(d = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| { - 1} \right| = 1.\)Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho hai mặt phẳng \((\alpha ):\,2x\, - \,y\, + \,2z\, - \,1\, = \,0\) và \((\beta ):\,x\, + \,2y\, - \,2z\, - \,3\, = \,0.\) Cosin góc giữa mặt phẳng \((\alpha )\)và mặt phẳng\(\,(\beta )\) bằng:
\(\frac{4}{9}\).
\( - \frac{4}{9}.\)
\(\frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
\( - \frac{4}{{3\sqrt 3 }}.\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), \(\,\overrightarrow {{n_\beta }} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, - \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, - \,2)\).
Áp dụng công thức
\(cos((\alpha ),\,(\beta ))\,\, = \,\,\left| {cos(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} )} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\frac{{\left| {2.1 - 1.2 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{( - 1)}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {({1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{( - 2)}^2}} }}\,\, = \,\,\frac{4}{9}.\)Trong không gian với hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\], cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 4t\\z = - 3 + 6t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\z = 3t\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
\({d_1}\)và \({d_2}\) chéo nhau.
\({d_1} \equiv {d_2}\).
\({d_1} \bot {d_2}\).
\({d_1}\parallel {d_2}\).
Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;4;6} \right)\), đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = 2\overrightarrow {{u_2}} \), \(M\left( {2\,;0\,; - 3} \right) \in {d_1}\) và \(M\left( {2\,;0\,; - 3} \right) \in {d_2}\) nên \({d_1} \equiv {d_2}\).Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{{x + 24}}{3} = \frac{{y - 25}}{4} = \frac{z}{{ - 5}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 26}}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}.\) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},\;\;{\Delta _2}\) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
\({81^0}\).
\({82^0}\).
\({62^0}\).
\({83^0}\).
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = (3;\;\;4;\;\; - 5)\) và \({\vec u_2} = (5;\;\;3;\;\;4).\)
Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},\;\;{\Delta _2}} \right) = \frac{{\mid 3.5 + 4.3 + ( - 5).4)\mid }}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{{50}}.\)
Suy ra \(\left( {{\Delta _1},\;\;{\Delta _2}} \right) \approx 82^\circ .\)Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,4\,;\, - 7} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 2024 = 0\) có phương trình là
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{{ - 2}} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 7}}{{ - 2}}\).
\[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 7}}{{ - 7}}\].
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,4\,;\, - 7} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng\(\left( P \right):x + 2y - 2z + 2024 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT là: \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Vì\(\Delta \) vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên nhận \(\vec u = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;2\,; - 2} \right)\) làm VTCP.
Phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}\).Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 1 = 0.\) Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\)(làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
\({64^0}\).
\({63^0}\).
\({62^0}\).
\({65^0}\).
Ta có: \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng và \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
Khi đó, \(\sin (\Delta ,\;\;(P)) = \frac{{|\vec u.\vec n|}}{{|\vec u|.|\vec n|}} = \frac{{|2.2 + 1.2 + ( - 2).( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{9}.\)
Suy ra \(\cos (\Delta ,\;\;(P)) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}(\Delta ,\;\;(P))} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{8}{9}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{9}.\)
Vậy góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng khoảng \(63^\circ \) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là \(2x - y + 3z - 9 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là \(\sqrt {14} \).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) là\(H\left( {\frac{{ - 26}}{{11}};\frac{{ - 48}}{{11}};\frac{{ - 17}}{{11}}} \right)\).
a) Đúng.
Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.
Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\)
Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\).
Vậy mp\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).
b) Sai.
\(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) có Vtpt \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\).
\(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)có Vtpt \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = - 6 \ne 0\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) không vuông góc với \(\left( R \right)\).
c) Đúng.
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\):
\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \).
d) Sai.
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có vtcp là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = - 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ H \right\} = \Delta \cap \left( P \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = - 3 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 3t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x - y + 3z + 5 = 0}\end{array}} \right.\, \Rightarrow 4t + 3 + t + 3\left( {2 + 3t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Vậy \(H\left( { - 2; - 2; - 1} \right)\).Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \(A\left( {0;\, - 3;\,2} \right)\), \(B\left( {1; - 2;3} \right)\)và đường thẳng \(\Delta \):
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\)Phương trình đường thẳng \(AB\):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Đường thẳng \(AB\)song song với đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) .
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{{3\sqrt 6 }}{2}\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \):\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).
a) Đúng.
Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)làm vtcp:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).
b) Đúng.
Đường thẳng \(AB\)có vtpt \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) có vtcp \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\)
Và \(A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta \) nên \(AB//\Delta \).
c) Sai.
Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) đi qua điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).
d) Đúng.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).
Vì \(OH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).Cho \(A\left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {5\,;\,5\,;\,8\,} \right)\) và đường thẳng . Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng hay sai?Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt.
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).
a) Đúng:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).
Và \(\overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \).
Vậy mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
b) Sai:
Ta có \[\overrightarrow {OI} = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].
Suy ra điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.
c) Sai:
Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Ta có đường thẳng có \(M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {IM} = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)\).
Do đó \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).Cách 2. Sử dụng số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu :
Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\).
Thay \[x = 3 + t\,;y = \frac{3}{2} + 2t\,;\,\,z = \frac{5}{2} - 2t\] vào \(\left( S \right)\) ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {3 + t - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} + 2t - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{2} - 2t - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t + 3} \right)^2} = \frac{{25}}{2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\).
Vì phương trình \(9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\) vô nghiệm nên đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) hay đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).
d) Đúng:
Gọi giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r\).
Sử dụng công thức \({R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]^2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} \).
Ta có \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.\frac{7}{2} - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).
Do đó \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {3^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).
Vậy mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z = 1\).
Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).
Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).
a) Sai:
Phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 4\).
b) Đúng:
Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
\( \Leftrightarrow 2ax + 2by + 2cz - d = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) \(\left( 1 \right)\).
Thay tọa độ các điểm \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) vào \(\left( 1 \right)\), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - d = 0}\\{8a - d = 16}\\{8b - d = 16}\\{8c - d = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{d = 0}\end{array}} \right.\).
Khi đó mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có tâm \(I\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 0} = 2\sqrt 3 \).
Vậy phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).
c) Sai:
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z - 4 = 0\).
Khi đó \(d\left( {0\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
d) Đúng:
Trong tam giác \(OAC\) hạ \(OH \bot AC\).
Theo bài ra \(\left( {OAC} \right) \bot OB \Rightarrow OH \bot BC\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot AC}\\{OH \bot OB}\end{array}} \right.\) nên \(OH\) là đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\).
Lại có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 4\,;\,0\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {OB} = \left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {OH} = \left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {16\,;\,0\,;\,16} \right) = 16\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\).
Do đó phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\).
Nhận thấy đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) có \(\overrightarrow u = \left( {2\,;\,0\,;\,2} \right) = 2\overrightarrow {{u_{OH}}} \) và đều đi qua điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nên đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\) trùng nhau.
Vậy đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).Ta có: \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M\left( { - 1 + 2t\,;\, - 1 + t\,;\, - 5 + 6t} \right)\).
Suy ra \( - 1 + 2t - 1 + t - 5\left( { - 5 + 6t} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 27 = 27t \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy \(M\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Kết luận \(S = 2,24\).Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).
Điểm chung của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).
Nên \(T = \left( {a + b + c + 3.d} \right).2024 = \left( {4 + 5 + 2 - 9} \right).2024 = 4048\).Ta có: \(M\left( {2\,;2\,;0} \right) \in \left( \Delta \right)\) và \(M'\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right) \in \left( {\Delta '} \right)\).
Nên \(\overrightarrow {M'M} = \left( {0\,;3;\,0} \right)\).
Có \(\overrightarrow u = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( {1\,;\,2;\, - 3} \right)\) lần lượt là VTCP của đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( {\Delta '} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\).
Nên \(d\left( {\left( \Delta \right)\,,\,\left( {\Delta '} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {M'M} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \sqrt 6 \approx 2,45\).![Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu ( S): ( x-1 ) ^2 + ( y -2 )^2+ ( z -3 ) ^ 2=9 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid9-1770349736.png)
\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\] có \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2;3} \right)\\R = 3\end{array} \right.\].
Ta có \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9 > R\] nên mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( S \right)\] không có điểm chung.
Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua tâm \[I\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\].
\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Điểm \[M\] cần tìm là giao điểm của \[d\] và \[\left( S \right)\].
Tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {3;4;2} \right)\\{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\end{array} \right.\]
\[d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right) > d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\].
Vậy điểm \[{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\] là điểm cần tìm.
Suy ra \[a + b + c = 3\].Phương trình tham số của đường cáp treo là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
\[{x_B} = 20 \Rightarrow B\left( {20;10;8} \right)\], \[{y_C} = 120 \Rightarrow C\left( {130;120;63} \right)\].
\[BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}} = 165\left( m \right)\].
Vậy vận tốc của cabin đi là \[v = \frac{{165}}{{55}} = 3\left( {m/s} \right)\].Vì mặt dưới mái nhà vuông góc với trục \[Oz\] và đi qua điểm \[A\left( {3;4;33} \right)\] nên có phương trình là \[\left( P \right):z - 33 = 0\].
Khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà bằng khoảng cách từ \[B\left( {9;8;35} \right)\] đến \[\left( P \right)\].
Ta có \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{1} = 2\].
Suy ra độ dày của mái nhà bằng \[2\,{\rm{dm = 0,2 m}}\].
Thể tích beton cần đổ mái là \[50.0,2 = 10{m^3}\].
Tiền beton cần trả là \[10.1\,100\,000 = 11\,000\,000\] (đồng).
Tiền công cần trả là \[50.100\,000 = 5\,000\,000\](đồng).
Vậy tổng số tiền chủ nhà cần trả là 16.000.000 (đồng).
