Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):3x + 2y - 4z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3\,;\,2\,;\, - 4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0\)

Đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;\, - 5;\,3} \right)\) .

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là

\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\].

Bán kính mặt cầu \(R = IA = 5.\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25.\)

Cách 1:

Theo tính chất đối xứng qua \[O\] thì \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( Q \right),\) suy ra \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right).\)

Lấy điểm \(M\left( {0,0,6} \right) \in \left( P \right).\)

Điểm đối xứng với \(M\) qua \(O\)là \[M'\left( {0;0; - 6} \right).\]

Mà \[M' \in \left( Q \right),\]suy ra \(\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.\)

  Cách 2: Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(O.\)

Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow \left( P \right):x + y - z + 6 = 0.\)\( \Leftrightarrow \left( { - x} \right) + \left( { - y} \right) + \left( { - z} \right) - 6 = 0.\)

\( \Rightarrow M'\left( { - x; - y; - z} \right) \in \left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.\)

Cách 1: Theo định lí Thales ta có

                 \(d = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{3} = 1.\)

Cách 2: Cao độ của trọng tâm \[G\]là \({z_G} =  - 1.\)

Khoảng cách \(d = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| { - 1} \right| = 1.\)

Gọi \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), \(\,\overrightarrow {{n_\beta }} \) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, - \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, - \,2)\).

Áp dụng công thức

\(cos((\alpha ),\,(\beta ))\,\, = \,\,\left| {cos(\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} )} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}} = \,\,\frac{{\left| {2.1 - 1.2 - 2.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + \,\,{{( - 1)}^2}\,\, + \,\,{2^2}} .\sqrt {({1^2}\,\, + \,\,{2^2}\,\, + \,\,{{( - 2)}^2}} }}\,\, = \,\,\frac{4}{9}.\)

Đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;4;6} \right)\), đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 1;2;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_1}}  = 2\overrightarrow {{u_2}} \), \(M\left( {2\,;0\,; - 3} \right) \in {d_1}\) và \(M\left( {2\,;0\,; - 3} \right) \in {d_2}\) nên \({d_1} \equiv {d_2}\).

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \({\vec u_1} = (3;\;\;4;\;\; - 5)\) và \({\vec u_2} = (5;\;\;3;\;\;4).\)

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},\;\;{\Delta _2}} \right) = \frac{{\mid 3.5 + 4.3 + ( - 5).4)\mid }}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{{50}}.\)

Suy ra \(\left( {{\Delta _1},\;\;{\Delta _2}} \right) \approx 82^\circ .\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,4\,;\, - 7} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng\(\left( P \right):x + 2y - 2z + 2024 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT là: \({\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).

Vì\(\Delta \) vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên nhận \(\vec u = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,;2\,; - 2} \right)\) làm VTCP.

Phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}\).

Ta có: \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng và \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

Khi đó, \(\sin (\Delta ,\;\;(P)) = \frac{{|\vec u.\vec n|}}{{|\vec u|.|\vec n|}} = \frac{{|2.2 + 1.2 + ( - 2).( - 1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{8}{9}.\)

Suy ra \(\cos (\Delta ,\;\;(P)) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}(\Delta ,\;\;(P))}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{8}{9}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{9}.\)

Vậy góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng khoảng \(63^\circ \) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

a) Đúng.

Gọi \(\left( Q \right)\)là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)\)

Mà \(\left( Q \right)\) qua \(A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 9\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\).

Vậy mp\(\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0\).

b) Sai.

\(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\) có Vtpt  \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;\, - 1;\,3} \right)\).

\(\left( R \right):\,x + 2y - 2z - 5 = 0\)có Vtpt  \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;\,2;\, - 2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  =  - 6 \ne 0\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) không vuông góc với \(\left( R \right)\).

c) Đúng.

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,2x - y + 3z + 5 = 0\):

\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \).

d) Sai.

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có vtcp là \(\overrightarrow u \left( {2; - 1;3} \right)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y =  - 3 - t}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.\,\,\,\,(t \in \mathbb{R})\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ H \right\} = \Delta  \cap \left( P \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y =  - 3 - t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 3t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x - y + 3z + 5 = 0}\end{array}} \right.\, \Rightarrow 4t + 3 + t + 3\left( {2 + 3t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\)

Vậy \(H\left( { - 2; - 2; - 1} \right)\).

a) Đúng.

Phương trình đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)làm vtcp:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y =  - 3 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,t \in \mathbb{R}\).

b) Đúng.

Đường thẳng \(AB\)có vtpt \(\overrightarrow {AB} \left( {1;\,1;\,1} \right)\)

 Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) có vtcp \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right)\)

Và \(A\left( {0; - 3;2} \right) \notin \Delta \) nên \(AB//\Delta \).

c) Sai.

                 Đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\)  đi qua điểm \(M\left( {2\,;\, - 1\,;\,2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).

                 Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2\,;\,2\,;\,0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {2\,;\, - 2\,;\,0} \right)\).

                 Khi đó \(d\left( {A\,,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} \,,\,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {0^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\).

d) Đúng.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\Delta \), khi đó \(H\left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2 + t\,;\, - 1 + t\,;\,2 + t} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\).

Vì \(OH \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Leftrightarrow 2 + t - 1 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\).

                        Do đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \) là \(H\left( {1; - 2;1} \right)\).

a) Đúng:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).

Và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4\,;\,3\,;\,5} \right) \Leftrightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {3^2} + {5^2}}  = 5\sqrt 2 \).

Vậy mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

b) Sai:

Ta có \[\overrightarrow {OI}  = \left( {3\,;\,\frac{7}{2}\,;\,\frac{{11}}{2}} \right) \Rightarrow OI = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {206} }}{2} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\].

Suy ra điểm \(O\) nằm ngoài mặt cầu.

c) Sai:

Cách 1. Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

Ta có đường thẳng d:  x=3+ty=32+2tz=52−2t có \(M\left( {3\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{5}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {IM}  = \left( {0\,;\, - 2\,;\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right] = \left( {10\,;\, - 3\,;\,2} \right)\).

Do đó \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} \,,\,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {113} }}{3} > \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

Cách 2. Sử dụng số giao điểm của đường thẳng và mặt cầu :

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\).

Thay \[x = 3 + t\,;y = \frac{3}{2} + 2t\,;\,\,z = \frac{5}{2} - 2t\] vào \(\left( S \right)\) ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {3 + t - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2} + 2t - \frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{2} - 2t - \frac{{11}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( {2t + 3} \right)^2} = \frac{{25}}{2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\).

Vì phương trình \(9{t^2} + 4t + \frac{1}{2} = 0\) vô nghiệm nên đường thẳng \(d\) không cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) hay đường thẳng \(d\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Đúng:

Gọi giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r\).

Sử dụng công thức \({R^2} = {r^2} + {\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]^2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} \).

Ta có \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.\frac{7}{2} - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

Do đó \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {3^2}}  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).

Vậy mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,3x + 4y - 8 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn đường kính \(\sqrt {14} \).

a) Sai:

Phương trình của \(\left( {ABC} \right)\) có dạng \(\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x + y + z = 4\).

b) Đúng:

Phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

\( \Leftrightarrow 2ax + 2by + 2cz - d = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) \(\left( 1 \right)\).

Thay tọa độ các điểm \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) vào \(\left( 1 \right)\), ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - d = 0}\\{8a - d = 16}\\{8b - d = 16}\\{8c - d = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 2}\\{c = 2}\\{d = 0}\end{array}} \right.\).

Khi đó mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\) có tâm \(I\left( {2\,;\,2\,;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 0}  = 2\sqrt 3 \).

Vậy phương trình mặt cầu đi qua \(O\,,\,A\,,\,B\,,\,C\)là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 12\).

c) Sai:

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(x + y + z - 4 = 0\).

Khi đó \(d\left( {0\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).

d) Đúng:

Trong tam giác \(OAC\) hạ \(OH \bot AC\).

Theo bài ra \(\left( {OAC} \right) \bot OB \Rightarrow OH \bot BC\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot AC}\\{OH \bot OB}\end{array}} \right.\) nên \(OH\) là đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\).

Lại có \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4\,;\,0\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {OB}  = \left( {0\,;\,4\,;\,0} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {OH}  = \left[ {\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {16\,;\,0\,;\,16} \right) = 16\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_{OH}}}  = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\).

Do đó phương trình đường thẳng \(OH\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\).

Nhận thấy  đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) có \(\overrightarrow u  = \left( {2\,;\,0\,;\,2} \right) = 2\overrightarrow {{u_{OH}}} \) và đều đi qua điểm \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) nên đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\) trùng nhau.

Vậy đường thẳng vuông góc chung của \(AC\) và \(OB\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 0}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\).

Ta có: \(M = d \cap \left( P \right)\) nên \(M\left( { - 1 + 2t\,;\, - 1 + t\,;\, - 5 + 6t} \right)\).

Suy ra \( - 1 + 2t - 1 + t - 5\left( { - 5 + 6t} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 27 = 27t \Leftrightarrow t = 1\).

Vậy \(M\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\). Kết luận \(S = 2,24\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\).

Điểm chung của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) là \(A\left( { - 4\,;\,5\,;\,0} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \)\(:\frac{{x + 4}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\).

Nên \(T = \left( {a + b + c + 3.d} \right).2024 = \left( {4 + 5 + 2 - 9} \right).2024 = 4048\).

Ta có: \(M\left( {2\,;2\,;0} \right) \in \left( \Delta  \right)\) và \(M'\left( {2\,;\, - 1\,;\,0} \right) \in \left( {\Delta '} \right)\).

Nên \(\overrightarrow {M'M}  = \left( {0\,;3;\,0} \right)\).

Có \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1\,;\,2;\, - 3} \right)\) lần lượt là VTCP của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và \(\left( {\Delta '} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 1\,;\,2\,;\,1} \right)\).

Nên \(d\left( {\left( \Delta  \right)\,,\,\left( {\Delta '} \right)} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {M'M} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u \,;\,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{6}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \sqrt 6  \approx 2,45\).

\[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\] có \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;2;3} \right)\\R = 3\end{array} \right.\].

Ta có \[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 9 > R\] nên mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( S \right)\] không có điểm chung.

Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua tâm \[I\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\].

\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

Điểm \[M\] cần tìm là giao điểm của \[d\] và \[\left( S \right)\].

Tọa độ của \[M\] là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\\{t^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 3\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x =  - 1\\y = 0\\z = 4\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {3;4;2} \right)\\{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\end{array} \right.\]

\[d\left( {{M_1},\left( P \right)} \right) > d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right)\].

Vậy điểm \[{M_2}\left( { - 1;0;4} \right)\] là điểm cần tìm.

Suy ra \[a + b + c = 3\].

Phương trình tham số của đường cáp treo là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].

\[{x_B} = 20 \Rightarrow B\left( {20;10;8} \right)\], \[{y_C} = 120 \Rightarrow C\left( {130;120;63} \right)\].

\[BC = \sqrt {{{110}^2} + {{110}^2} + {{55}^2}}  = 165\left( m \right)\].

Vậy vận tốc của cabin đi là \[v = \frac{{165}}{{55}} = 3\left( {m/s} \right)\].

Vì mặt dưới mái nhà vuông góc với trục \[Oz\] và đi qua điểm \[A\left( {3;4;33} \right)\] nên có phương trình là \[\left( P \right):z - 33 = 0\].

Khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà bằng khoảng cách từ \[B\left( {9;8;35} \right)\] đến \[\left( P \right)\].

Ta có \[d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{1} = 2\].

Suy ra độ dày của mái nhà bằng \[2\,{\rm{dm  =  0,2 m}}\].

Thể tích beton cần đổ mái là \[50.0,2 = 10{m^3}\].

Tiền beton cần trả là \[10.1\,100\,000 = 11\,000\,000\] (đồng).

Tiền công cần trả là \[50.100\,000 = 5\,000\,000\](đồng).

Vậy tổng số tiền chủ nhà cần trả là 16.000.000 (đồng).