Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 5 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Mặt phẳng \[3x + y - 7z - 3 = 0\] có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n  = \left( {3;1; - 7} \right)\].

Thay toạ độ các điểm \(Q,N,P,M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), thấy toạ độ điểm \(N\)thoả mãn.

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng

\(5\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 2} \right) - 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 2y - 3z - 11 = 0\)

Vậy \(\left( P \right):5x + 2y - 3z - 11 = 0\).

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(d:\,\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\). Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là: \(\left( { - 1;1;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2;4;2} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(N\left( {1;2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN}  = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {3\,;\, - 2\,;\,1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y - 2z + 1 = 0\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 1t\\y =  - 2 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\,,t \in \mathbb{R}\).

Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;0;1} \right)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), khi đó

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \varphi  = 45^\circ \).

Chọn B

Đường thẳng \(\,{d_1}:\,\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\),

Đường thẳng \(\,{d_2}:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{1}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u ' = \left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\), khi đó

\(\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}.\)

Đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\),

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), khi đó

\(\sin \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1 - 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi  = 30^\circ \).

Chọn A

Tọa độ tâm mặt cầu là \(I\left( {3\,;\,2\,;\,1} \right)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {17} \).

Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 17\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;1;0} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt {11} \) có phương trình là: \(\left( S \right):\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 11\).

a)   Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình \[\left( P \right)\] ta có: \[\left( P \right):1 + 2 - 3 = 0\](đẳng thức đúng)

Vậy điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên  a) đúng.

b) Ta có phương trình mặt phẳng \[\left( P \right):x - y - 3 = 0\] khuyết ẩn \(z\) nên \[\left( P \right)\] song song hoặc chứa trục \(Oz\). Mặt khác điểm \(O\) không thuộc \[\left( P \right)\] nên \[\left( P \right)\] song song với trục \(Oz\).  Nên b) đúng

c)

\(\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3; - 4} \right)\\\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 4; - 4; - 2} \right) =  - 2\left( {2;2;1} \right)\)

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua \(A\left( {1; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) làm VTPT có phương trình

\(2x + 2y + z + 1 = 0\) nên  c) sai

d)

Ta có, \[\left( Q \right)\]song song \[\left( P \right)\]nên phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):x - y + C = 0\]; \[C \ne  - 3\]

Chọn \[M\left( {3;\,0\,;0\,} \right) \in \left( P \right)\]

Ta có \[d\left( {\left( P \right)\,;\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,;\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + C} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 2 \]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 1\\C =  - 7\end{array} \right.\]( thỏa mãn)

\[C = 1 \Rightarrow \left( Q \right):x - y + 1 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\] cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_1}\left( { - 1\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ âm nên trường hợp này \[\left( Q \right)\] không thỏa đề bài.

\[C =  - 7 \Rightarrow \left( Q \right):x - y - 7 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\]cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ dương do đó \[\left( Q \right):x - y - 7 = 0\] thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):x - y - 7 = 0\]. d) sai

a)   Thay tọa độ điểm \(M\) vào  phương trình đường thẳng \(d\) ta có: \(d:\frac{1}{1} = \frac{{ - 3}}{{ - 1}} = \frac{3}{2}\)( không thỏa mãn). Vậy  \(M \notin d\) nên a sai.

b)  Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\Delta \) có VTCP là \({\overrightarrow u _{_\Delta }} = {\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\(\Delta \) đi qua \(M\)  nên phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\) suy ra  b) sai

c)   Đường thẳng \(d\) có VTCP  \({\overrightarrow u _{_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\), \(\left( P \right)\) có VTPT là \({\overrightarrow n _{_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {\overrightarrow u _{_d}}.{\overrightarrow n _{_P}} = 1 - 2 - 4 =  - 5 \ne 0\) nên d cắt  \(\left( P \right)\) suy ra  c) sai

d) 

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right)\);

· Tọa độ \(A = d \cap \left( P \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z + 2 = 0\\\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2} = \frac{{x + 2y - 2z + 2}}{{1 - 2 - 4}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0;1} \right)\).

· Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và  vuông góc với \(\left( P \right)\)

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;2} \right).\)

Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_p}}  = (1;2; - 2)\).

 Suy ra \(\left( Q \right)\) có VTPT là  \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = ( - 2;4;3)\).

·  Khi đó do \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) nên \(\)\(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (14;1;8)\) là vectơ chỉ phương của \((d')\).

· Đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {14;1;8} \right)\) có phương trình chính tắc  là  \[d':\frac{x}{{14}} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{8}.\]

Vậy d) đúng.

a)Sai

Các hệ số \(a = 2;b = 2;c = 2;d = 0\) nên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 3 \).

b) Sai

\(IA = \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 3  = R\) nên điểm \(A\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Đúng

\(OI = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 3  = R\) nên điểm \(O\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Đúng

Theo kết quả câu (b) và (c), điểm O và \(A\) cùng thuộc \(\left( S \right)\).

Tam giác \(OAB\) đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R' = \frac{{OA}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

\(d\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {{\left( {R'} \right)}^2}}  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) đi qua O  nên có phương trình dạng : \(ax + by + cz = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right){\rm{ }}\left( * \right)\)

Do \(\left( {OAB} \right)\) đi qua A, suy ra: \(4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b =  - a\).

Lúc đó: \({\rm{d}}\left( {I;\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {a + b + c} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Leftrightarrow 2{a^2} + {c^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = a\\c =  - a\end{array} \right.\). Theo (*), suy ra \(\left( {OAB} \right):x - y + z = 0\) hoặc \(x - y - z = 0.\)

a)Đúng

Hình chiếu của điểm \(C\) trên các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt là \(B,D,A\) nên \(C\left( {3;2;0} \right)\).

b) Sai

Ta có \(AB = 3;AD = 2;AA' = 5\).

\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.AA' = 2.3.5 = 30\).

c) Sai

Phương trình mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 10x + 15y + 6z - 30 = 0\).

\(d\left( {A;\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 30} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {{15}^2} + {6^2}} }} = \frac{{30}}{{19}}\).

d) Đúng

\(B'\left( {3;0;5} \right);D'\left( {0;2;5} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB'}  = \left( {3;0;5} \right)\\\overrightarrow {AD'}  = \left( {0;2;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right] = \left( { - 10; - 15;6} \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n \left( {10;15; - 6} \right)\).

\(C\left( {3;2;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {B'C}  = \left( {0;2; - 5} \right)\\\overrightarrow {D'C}  = \left( {3;0; - 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {B'C} ,\overrightarrow {D'C} } \right] = \left( { - 10; - 15; - 6} \right)\).

Vậy mặt phẳng \(\left( {CB'D'} \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow {n'} \left( {10;15;6} \right)\).

\(\cos \left( {\left( {AB'D'} \right);\left( {CB'D'} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{289}}{{361}}\).

Vì \(M \in d \Rightarrow M\left( {1 + 2t; - t;1 - t} \right)\)

Mà \(M \in \left( P \right)\) nên: \[1 + 2t - \left( { - t} \right) + 1 - t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( {5; - 2; - 1} \right)\]

Vậy \(a + b + c = 2\)

Hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;1; - 1} \right)\).

Vì \(\left( \alpha  \right)\) song song với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) nên có vtpt \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;3;5} \right).\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(1\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 1} \right) + 5\left( {z - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + 3y + 5z - 13 = 0.\)

\( \Leftrightarrow  - 2x - 6y - 10z + 26 = 0.\)

Suy ra \(A =  - 2,\,B =  - 6,\,C =  - 10\).

\( \Rightarrow T = 2A + 3B + C =  - 32\)

Đường thẳng \({d_2}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {1; - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 3;1; - 4} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 4;4; - 6} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN}  =  - 16 + 20 - 12 =  - 8 \ne 0\)

\( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) của đoạn \(MN\)

Suy ra phương trình của \(\left( P \right)\): \(4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0\)

\( \Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2\) \( \Rightarrow a + 2b + 3c = 20\).

Bồn chứa có tâm \(I\left( {5;5;5} \right)\), bán kính \(R = 6\).

Khoảng cách từ tâm đến nắp bồn chứa là \(d = \frac{{\left| {5 - 9} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 4\).

Vậy khoảng cách từ đáy đến nắp bồn chứa là \(h = d + R = 4 + 6 = 10\).