Trắc nghiệm Bài tập cuối chương V lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

a) \(M\left( {1;0;0} \right)\).

b) \(N\left( {0;0;1} \right)\).

c) Mặt phẳng (DMN) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 2 = 0\).

d) Ta có \(C'\left( {2;2;2} \right)\).

Khi đó \(d\left( {C',\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2 + 2.2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Đúng.

a) \({\vec n_1}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

b) \({\vec n_2}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q).\)

c) \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0.\sqrt 3  + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0 =  - 1\).

d) Có \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {0;0; - \sqrt 3 } \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R).

Phương trình mặt phẳng (R) là \( - \sqrt 3 \left( {z - 1} \right) = 0\)hay \(z - 1 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Sai.

 a) \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)

b) \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)

c) Chuyển phương trình đường thẳng D về dạng tham số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2024 + 2t\\y = t\\z =  - 2025 - 2t\end{array} \right.\).

Gọi M = D Ç (P). Vì M $\in$D $\Rightarrow$ \(M\left( {2024 + 2t;t; - 2025 - 2t} \right)\).

Lại có M $\in$ (P) nên \(2\left( {2024 + 2t} \right) + 2t + 2025 + 2t + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 8t =  - 6074 \Leftrightarrow t =  - \frac{{3037}}{4}\).

Vậy \(M\left( {\frac{{1011}}{2}; - \frac{{3037}}{4}; - \frac{{1013}}{2}} \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( { - 4; - 2;2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow u \) nên mặt phẳng (P) không vuông góc với đường thẳng D.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;  d) Sai.

a) Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 1} \right).\)

b) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\)

c) Bán kính mặt cầu \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.1 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).

Phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.\)

d) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

\(\sin \alpha  = \frac{{\left| {1.2 + 0.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {10} }}\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;  d) Sai.

a) \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.\left( { - 1} \right) - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\).

b) Có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 4 = 0\).

c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

d) Gọi d là đường thẳng đi qua C và vuông góc với (P) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\).

Gọi H = d $\cap$ (P).

Vì H $\in$ d $\Rightarrow$ \(H\left( {1 + 2t;3 + 2t; - 2 - t} \right)\).

Mà H $\in$ (P) nên \(2 + 4t + 6 + 4t + 2 + t + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow t =  - \frac{{13}}{9}\).

Suy ra \(H\left( { - \frac{{17}}{9};\frac{1}{9}; - \frac{5}{9}} \right)\).

Suy ra \(a =  - \frac{{17}}{9};b = \frac{1}{9};c =  - \frac{5}{9}\). Khi đó \(T = a - b + 9c =  - \frac{{17}}{9} - \frac{1}{9} + 9.\left( {\frac{{ - 5}}{9}} \right) =  - 7\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;  d) Sai.

M chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5;10; - 2} \right)\).

Đường thẳng AB đi qua điểm A(5; 0; 5) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5;10; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5t\\y = 10t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).

Vì M $\in$ (Oxy) $\Rightarrow$ z = 0 Þ 5 – 2t = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).

Với \(t = \frac{5}{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{35}}{2}\\y = 25\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{{35}}{2};25;0} \right)\).

Suy ra \(a = \frac{{35}}{2};b = 25\). Do đó \(a + b = \frac{{35}}{2} + 25 = 42,5\).

Trả lời: 42,5.

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 2y - z + 4 = 0\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 + 2.3 - 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).

Trả lời: 2.

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Khi đó \(\sin \gamma  = \frac{{\left| {40} \right|}}{{\sqrt {{{150}^2} + {{150}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}\) \( \Rightarrow \gamma  \approx 11^\circ \).

Trả lời: 11.

Vùng phủ sáng chính là hình cầu tâm I bán kính R = 4000.

Khi đó tọa độ điểm H chính là giao điểm của đường thẳng ID và mặt cầu tâm I, bán kính R.

Ta có phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).

Đường thẳng ID đi qua điểm I(21; 35; 50) và nhận \(\overrightarrow {ID}  = \left( {5100;623; - 50} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\).

Vì H Î ID \( \Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\).

Mà H Î (S) nên \({\left( {5100t} \right)^2} + {\left( {623t} \right)^2} + {\left( { - 50t} \right)^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow 26400629{t^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx  \pm 0,78\).

Với \(t \approx  - 0,78\)\( \Rightarrow H\left( { - 3957; - 450,94;89} \right)\) và \(\overrightarrow {IH}  = \left( { - 3978; - 485,94;39} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ID}  =  - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) ngược hướng.

Vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.

Với \(t \approx 0,78\)\( \Rightarrow H\left( {3900;520,94;11} \right)\) và \(\overrightarrow {IH}  = \left( {3978;485,94; - 39} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {ID}  = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) cùng hướng.

Vậy H  thuộc đoạn thẳng ID.

Vậy ví trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm \(H\left( {3900;520,94;11} \right)\) có cao độ là 11.

Trả lời: 11.

Vì M $\in$(S) nên \(IA = IM\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {c + 3} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 6 = \left| {c + 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 3\\c =  - 9\end{array} \right.\).

Vì \(c \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(c = 3\).

Trả lời: 3.