Trắc nghiệm Bài tập cuối chương V lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P):x + 3y - 4z + 5 = 0?\)
\({\vec n_1} = (3;\;\;4;\;\;5).\)
\({\vec n_2} = (1;\;\;3;\;\; - 4).\)
\({\vec n_3} = (1;\;\;3;\;\;4).\)
\({\vec n_4} = (3;\;\; - 4;\;\;5).\)
Chọn B
\({\vec n_2} = (1;\;\;3;\;\; - 4)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm \(K(1;\;\;1;\;\;1)\) nhận \(\vec u = (1;\;\;0;\;\;1),\)\(\vec v = (1;\;\;1;\;\;0)\) là cặp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là:
\(x + y + z - 3 = 0.\)
\(x - y + z - 1 = 0.\)
\(x + y - z - 1 = 0.\)
\( - x + y + z - 1 = 0.\)
Chọn D
Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1;1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Khi đó mặt phẳng cần tìm là \( - \left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y + z - 1 = 0\).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm \(D(3;\;\;0;\;\;0),\;\)\[E(0;\;\; - 2;\;\;0),\;\]\(G(0;\;\;0;\;\; - 7)\)có phương trình chính tắc là:
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} + 1 = 0.\)
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1.\)
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1.\)
\(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1.\)
Chọn C
Mặt phẳng (DEG) có phương trình chính tắc là \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1.\)
Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(I(15;\;\; - 16;\;\;17)\) và nhận \(\vec u = ( - 7;\;\;8;\;\; - 9)\) là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 15 - 7t}\\{y = - 16 + 8t}\\{z = 17 - 9t}\end{array}} \right..\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 15 - 7t}\\{y = - 16 + 8t}\\{z = 17 - 9{t^2}}\end{array}} \right..\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 15 - 7{t^2}}\\{y = - 16 + 8t}\\{z = 17 - 9t}\end{array}} \right..\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 7 + 15t}\\{y = 8 - 16t}\\{z = - 9 + 17t}\end{array}} \right..\)
Chọn A
đường thẳng đi qua điểm \(I(15;\;\; - 16;\;\;17)\) và nhận \(\vec u = ( - 7;\;\;8;\;\; - 9)\) là vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 15 - 7t}\\{y = - 16 + 8t}\\{z = 17 - 9t}\end{array}} \right..\)
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}\)?
\({\vec u_1} = (8;\;\;6;\;\;3).\)
\({\vec u_2} = (8;\;\;6;\;\; - 3).\)
\({\vec u_3} = ( - 8;\;\;6;\;\; - 3).\)
\({\vec u_4} = (5;\;\;9;\;\;12).\)
Chọn A
Đường thẳng D nhận \({\vec u_1} = (8;\;\;6;\;\;3)\)làm một vectơ chỉ phương.
Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4 + 2t}\\{y = 7 - 3t}\\{z = 8 - 9t}\end{array}} \right.\)?
\({\vec u_1} = (4;\;\;7;\;\;8).\)
\({\vec u_2} = ( - 4;\;\;7;\;\;8).\)
\({\vec u_3} = (2;\;\;3;\;\;9).\)
\({\vec u_4} = (2;\;\; - 3;\;\; - 9).\)
Chọn D
\({\vec u_4} = (2;\;\; - 3;\;\; - 9)\) là một vectơ chỉ phương của D.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là
\(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 4\).
\(I\left( {1;0;3} \right),R = 4\).
\(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 2\).
\(I\left( {1;0;3} \right),R = 2\).
Chọn C
\(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 2\) lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S).
Phương trình của mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {2; - 1;3} \right)\], bán kính \[R = 4\] là
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\].
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\].
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\].
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\].
Chọn D
Phương trình của mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {2; - 1;3} \right)\], bán kính \[R = 4\] là \[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\]
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 1 = 0\) và \(\left( Q \right):2x + 2y - z - 3 = 0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Giá trị\[\cos \alpha \] bằng.
\[ - \frac{4}{9}\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{4}{9}\].
\[ - \frac{2}{3}\].
Chọn C
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Khi đó \(\cos \alpha = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{3}\)?
\[Q\left( {1; - 2; - 1} \right)\].
\[A\left( {1;2;1} \right)\].
\[N\left( { - 1;3;2} \right)\].
\[P\left( { - 1;2;1} \right)\].
Chọn D
Thay tọađộ điểm \[P\left( { - 1;2;1} \right)\] vào phương trình đường thẳng d ta thấy thỏa mãn.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương \(ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \) có \(A(0;\;0;\;0),\;\;B(2;\;0;\;0),\)\(D(0;\;2;\;0),\;\;A\prime (0;\;0;\;2).\) Gọi \(M,\;\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AA\prime \).
a) Toạ độ của điểm \(M\)là \((1;\;0;\;0).\)
b) Tọa độ của điểm \(N\)là \((0;\;1;\;0).\)
c) Phương trình mặt phẳng \((DMN)\) là: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1.\)
d) Khoảng cách từ điểm \(C\prime \) đến mặt phẳng \((DMN)\) bằng \(\frac{8}{3}.\)
a) \(M\left( {1;0;0} \right)\).
b) \(N\left( {0;0;1} \right)\).
c) Mặt phẳng (DMN) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 2 = 0\).
d) Ta có \(C'\left( {2;2;2} \right)\).
Khi đó \(d\left( {C',\left( {DMN} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 2 + 2.2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((P):y = 0,\;\;(Q):\sqrt 3 x - y - 2024 = 0.\) Xét các vectơ \({\vec n_1} = (0;\;1;\;0),\;\;{\vec n_2} = (\sqrt 3 ;\; - 1;\;0).\)
a) \({\vec n_1}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
b) \({\vec n_2}\) không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q).\)
c) \({\vec n_1}.{\vec n_2} = - 1.\)
d) Mặt phẳng \((R)\)đi qua điểm \(M(1;1;1)\) và vuông góc \((P),(Q)\)có phương trình là\(\sqrt 3 x + y - z - \sqrt 3 = 0.\)
a) \({\vec n_1}\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
b) \({\vec n_2}\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q).\)
c) \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0.\sqrt 3 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0 = - 1\).
d) Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {0;0; - \sqrt 3 } \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R).
Phương trình mặt phẳng (R) là \( - \sqrt 3 \left( {z - 1} \right) = 0\)hay \(z - 1 = 0\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y - z + 1 = 0.\) Xét các vectơ \(\vec u = (2;\;1;\; - 2),\;\;\vec n = (2;\;2;\; - 1).\)
a) \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)
b) \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
c) Giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng\((P)\) là \(M(2024;2025;1)\)
d) Mặt phẳng \((P): - 4x - 2y + 2z + 1 = 0\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \).
a) \(\vec u\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\)
b) \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
c) Chuyển phương trình đường thẳng D về dạng tham số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2024 + 2t\\y = t\\z = - 2025 - 2t\end{array} \right.\).
Gọi M = D Ç (P). Vì M Î D Þ \(M\left( {2024 + 2t;t; - 2025 - 2t} \right)\).
Lại có M Î (P) nên \(2\left( {2024 + 2t} \right) + 2t + 2025 + 2t + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow 8t = - 6074 \Leftrightarrow t = - \frac{{3037}}{4}\).
Vậy \(M\left( {\frac{{1011}}{2}; - \frac{{3037}}{4}; - \frac{{1013}}{2}} \right)\).
d) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 4; - 2;2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow u \) nên mặt phẳng (P) không vuông góc với đường thẳng D.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 2 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( {2;1;3} \right).\)
a) Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right).\)
b) Đường thẳng \(d\) qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
c) Mặt cầu tâm \(A\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.\)
d) Gọi \(\alpha \)là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\) Khi đó, \(\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {10} }}.\)
a) Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right).\)
b) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}.\)
c) Bán kính mặt cầu \(R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2.1 - 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 4.\)
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {1.2 + 0.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {10} }}\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(2x + 2y - z + 3 = 0\) và các điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0; - 1;2} \right),C\left( {1;3; - 2} \right)\).
a) Điểm B cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3.
b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là \(2x + 2y - z - 4 = 0\).
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
d) Gọi H(a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (P). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = a - b + 9c\) bằng −4.
a) \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2.\left( { - 1} \right) - 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{3}\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 2\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 4 = 0\).
c) Đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).
d) Gọi d là đường thẳng đi qua C và vuông góc với (P) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\).
Gọi H = d Ç (P).
Vì H Î d Þ \(H\left( {1 + 2t;3 + 2t; - 2 - t} \right)\).
Mà H Î (P) nên \(2 + 4t + 6 + 4t + 2 + t + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow t = - \frac{{13}}{9}\).
Suy ra \(H\left( { - \frac{{17}}{9};\frac{1}{9}; - \frac{5}{9}} \right)\).
Suy ra \(a = - \frac{{17}}{9};b = \frac{1}{9};c = - \frac{5}{9}\). Khi đó \(T = a - b + 9c = - \frac{{17}}{9} - \frac{1}{9} + 9.\left( {\frac{{ - 5}}{9}} \right) = - 7\).
Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A(5;\;0;\;5)\) đến vị trí \(B(10;\;10;\;3)\) và hạ cánh tại vị trí \(M(a;\;b;\;0).\) Giá trị của \(a + b\) bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?
M chính là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;10; - 2} \right)\).
Đường thẳng AB đi qua điểm A(5; 0; 5) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {5;10; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5t\\y = 10t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).
Vì M Î (Oxy) Þ z = 0 Þ 5 – 2t = 0 \( \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\).
Với \(t = \frac{5}{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{35}}{2}\\y = 25\\z = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\frac{{35}}{2};25;0} \right)\).
Suy ra \(a = \frac{{35}}{2};b = 25\). Do đó \(a + b = \frac{{35}}{2} + 25 = 42,5\).
Trả lời: 42,5.
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A(5;\;3;\;6),\;\;B(1;\;1;\;4),\;\;C(2;\;1;\;2)\) và \(D(0;\;0;\;4).\) Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCD)\) bằng bao nhiêu?
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\( - 2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 2y - z + 4 = 0\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 + 2.3 - 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).
Trả lời: 2.
Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí A(0; 10; 0) với vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right)\). Biết góc nâng của máy bay là \(\gamma = a^\circ \)(góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng độ). Khi đó giá trị của a bằng bao nhiêu?
Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Khi đó \(\sin \gamma = \frac{{\left| {40} \right|}}{{\sqrt {{{150}^2} + {{150}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}\) \( \Rightarrow \gamma \approx 11^\circ \).
Trả lời: 11.
Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(21; 35; 50), biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm I đến vị trí điểm D(5121; 658; 0). Khi người đi biển di chuyển đến điểm H(a; b; c) là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó c (cao độ của điểm H) có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Vùng phủ sáng chính là hình cầu tâm I bán kính R = 4000.
Khi đó tọa độ điểm H chính là giao điểm của đường thẳng ID và mặt cầu tâm I, bán kính R.
Ta có phương trình mặt cầu (S) là \({\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 35} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {4000^2}\).
Đường thẳng ID đi qua điểm I(21; 35; 50) và nhận \(\overrightarrow {ID} = \left( {5100;623; - 50} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 21 + 5100t\\y = 35 + 623t\\z = 50 - 50t\end{array} \right.\).
Vì H Î ID \( \Rightarrow H\left( {21 + 5100t;35 + 623t;50 - 50t} \right)\).
Mà H Î (S) nên \({\left( {5100t} \right)^2} + {\left( {623t} \right)^2} + {\left( { - 50t} \right)^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow 26400629{t^2} = {4000^2}\)\( \Leftrightarrow t \approx \pm 0,78\).
Với \(t \approx - 0,78\)\( \Rightarrow H\left( { - 3957; - 450,94;89} \right)\) và \(\overrightarrow {IH} = \left( { - 3978; - 485,94;39} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {ID} = - \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) ngược hướng.
Vậy H không thuộc đoạn thẳng ID.
Với \(t \approx 0,78\)\( \Rightarrow H\left( {3900;520,94;11} \right)\) và \(\overrightarrow {IH} = \left( {3978;485,94; - 39} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {ID} = \frac{{50}}{{39}}\overrightarrow {IH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {ID} ,\overrightarrow {IH} \) cùng hướng.
Vậy H thuộc đoạn thẳng ID.
Vậy ví trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là điểm \(H\left( {3900;520,94;11} \right)\) có cao độ là 11.
Trả lời: 11.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3) và đi qua điểm A(3; −2; 1). Gọi M(1; 2; c) là điểm thuộc mặt cầu (S) biết \(c \in {\mathbb{N}^*}\). Cao độ điểm M có giá trị bằng bao nhiêu?
Vì M Î (S) nên \(IA = IM\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {c + 3} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 6 = \left| {c + 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 3\\c = - 9\end{array} \right.\).
Vì \(c \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(c = 3\).
Trả lời: 3.
