Đáp án đúng là: D

Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là \(\int\limits_0^{10} {r\left( t \right)dt} \).

Đáp án đúng là: C

Biểu thức tính diện tích S là \(S = \int\limits_a^m {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {g(x)} \right|} dx\).

Đáp án đúng là: D

Ta có N(t) = \(\int {N'\left( t \right)dt = \int {\frac{{8000dt}}{t} = 8000\int {\frac{{dt}}{t}} } } \) = 8 000ln\(\left| t \right|\) + C.

Ngày thứ nhất, số lượng vi khuẩn là 250 000 con, nên N(1) = 250 000 con,

tức là C = 250 000.

Số lượng vi khuẩn sau 6 ngày là:

N(6) = 8 000.ln\(\left| 6 \right|\) + 250 000 ≈ 264 334 (con).

a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\) = \(\frac{{1 - \cos x}}{2}\).

Ta có: \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C} } \).

b) Ta có: \(\int {\left( {{e^{2x}} - 2{x^5} + 5} \right)dx} \) = \(\int {{e^{2x}}dx - \int {2{x^5}dx + \int {5dx} } } \)

                                               = \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{3}{x^6} + 5x + C\).

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)dx = {x^2} - \ln \left| x \right| + C} } \).

Mà F(1) = 3 ⇒ 1² – ln1 + C = 3 ⇔ C = 2.

Vậy F(x) = x² – ln\(\left| x \right|\) + 2.

a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \) = \(\int\limits_0^3 {\left( { - x + 3} \right)dx} \) = \(\left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{2} + 3x} \right)} \right|_0^3\) = \(\frac{{{3^2}}}{2} + 3.3 - \frac{{{0^2}}}{2} - 3.0\) = \(\frac{9}{2}\).

b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \) = \(\left. {\left( {{e^x} - {x^4}} \right)} \right|_0^2\) = e² – 2⁴ – e⁰ + 0⁴ = e² – 17.

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \) = \(\left. {\left( { - \cos x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) = 2.

Diện tích hình phẳng hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x² + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là:

S = \(\int\limits_0^2 {\left| {3{x^2} + 1} \right|dx = \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = } \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2} \) = 10.

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S = 10.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:

V = \(\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}dx} \) = \(\left. {\pi \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^1\) = \(\frac{4}{3}\pi \).

Vậy thể tích khối tròn xoay là V = \(\frac{4}{3}\pi \).

Ta có: \(\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx} \) = \(\left. {\left( {5{x^2} - 2mx} \right)} \right|_0^3\) = 5.3² – 6m = 45 – 6m.

Mà theo đề bài, \(\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx} > 0\) ⇔ 45 – 6m > 0 ⇔ m < \(\frac{{45}}{6}\)= 7,5.

Lại có m nhận giá trị nguyên dương, nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Có 7 giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ giả thiết, ta có:

F(m) = \(\int {F'\left( m \right)dm = \int {\frac{{150}}{{2m + 1}}dm = 75\ln \left| {2m + 1} \right| + C} } \).

F(0) = C = 50.

Vậy F(m) = \(75\ln \left| {2m + 1} \right|\) + 50.

Số người mắc bệnh ngày thứ 10 là F(10) = \(75\ln \left| {2.10 + 1} \right| + 50\) ≈ 278.

Quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại là:

S(t) = \(\int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{1}{2}{t^2} - 0,1{t^3}} \right)dt} } = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{6} - \frac{{0,1{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^5 = \frac{{{5^3}}}{6} - \frac{{0,{{1.5}^4}}}{4}\) ≈ 5,21 (m).