Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 4 lớp 12 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) là
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {7^x}\).
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\).
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = {7^{x + 1}} + C\).
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{7^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\).
\(\int {{7^x}{\rm{d}}x} = {7^x}\ln 7 + C\)
Áp dụng công thức \(\int {{a^x}\,{\rm{d}}x} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\,,\left( {0 < a \ne 1} \right)\) ta được đáp án A.
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\) là
\(4{x^3} + 2x + C\).
\({x^4} + {x^2} + C\).
\(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\).
\({x^5} + {x^3} + C\).
Ta có \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + C\]. Chọn C.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} .\)
\(\int {f\left( x \right)dx = \frac{2}{3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} + C.} \).
\(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} + C.} \).
\(\int {f\left( x \right)dx = - \frac{1}{3}\sqrt {2x - 1} + C.} \).
\(\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}\sqrt {2x - 1} + C.} \)
\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx = \int {\sqrt {2x - 1} dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {2x - 1} \right)} } } \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)\sqrt {2x - 1} + C\end{array}\)
Chọn B
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 3\] và \[\int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\]. Khi đó \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \] bằng
\(12\).
\(7\).
\(1\).
\( - 12\)
Chọn C
Theo tính chất của tích phân, ta có: \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]\[ = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]\[ = - 3 + 4\]\[ = 1\].
Vậy \[\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\].
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x} = 5\).
\(I = 7\).
\(I = 5 + \frac{\pi }{2}\).
\(I = 3\).
\(I = 5 + \pi \)
Chọn A
Ta có
\(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right)\, + 2\sin x} \right]\,{\rm{d}}x = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x\,{\rm{ + 2}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x} dx} } \)\( = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x\,\, - 2\cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = 5 - 2\left( {0 - 1} \right) = 7\).
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(12\).
\(9\).
\(5\).
\(6\)
Chọn B
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\].
Vậy : \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = 9\).
Cho hàm số \(f(x)\) có \(f(0) = 4\) và\(f'(x) = 2{\cos ^2}x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\) Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} \) bằng.
\(\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 16}}{{16}}\).
\(\frac{{{\pi ^2} + 4}}{{16}}\).
\(\frac{{{\pi ^2} + 14\pi }}{{16}}\).
\(\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}\).
Chọn D
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\].
\[\begin{array}{l}f(x) = \int {(2{{\cos }^2}} x + 1){\rm{d}}x = \int {\left( {2\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) + 1} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right)} {\rm{d}}x\\ = \int {\cos 2x{\rm{d}}x + \int {2{\rm{d}}x} } = \frac{{\sin 2x}}{2} + 2x + C.\end{array}\]
Lại có \(f(0) = 4 \Leftrightarrow C = 4 \Rightarrow f(x) = \frac{{\sin 2x}}{2} + 2x + 4.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x){\rm{d}}x = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{{\sin 2x}}{2} + 2x + 4} \right){\rm{d}}x = } \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2x{\rm{d}}(2x) + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {2x{\rm{d}}x + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {4{\rm{d}}x} } } \\ = \frac{{ - \cos 2x}}{4}\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. + ({x^2} + 4x)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 4}}{{16}}.\end{array}\).
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1\), \(x = 3\) là
\[S = 20\].
\[S = 18\].
\[S = 3\].
\[S = \frac{7}{2}\].
Ta có \[S = \int\limits_1^3 {{x^3}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_1^3 = 20\].
Diện tích hình phẳng \[S\] giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} - x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\] và \[x = 2\] được tính bởi công thức nào sau đây?
\[S = \int\limits_0^2 {{\rm{(}}x - {x^2}){\rm{d}}x} .\].
\[S = \int\limits_1^2 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} .\].
\[S = \int\limits_0^1 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} .\].
\[S = \int\limits_0^2 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} .\]
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
\[S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx = } - \int\limits_0^1 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {{\rm{(}}{x^2} - x){\rm{d}}x} \].
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} \) bằng
\(12\).
\(9\).
\(5\).
\(6\)
Chọn B
Ta có: \[\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 10x + 3} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^1 = 9\].
Vậy : \(\int\limits_0^1 {\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 3} \right){\rm{d}}x} = 9\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{x^3}\,\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1\), \(x = k\,\left( {k > 0} \right)\) bằng \(\frac{{17}}{2}\). \[k\] thuộc khoảng nào?
\(k \in \left( {0;2} \right)\).
\(k \in \left( {5;10} \right)\).
\(k \in \left( {3;5} \right)\).
\(k \in \left( {1;3} \right)\).
Ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^k {\left| {2{x^3}} \right|{\rm{d}}x = \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow - \int\limits_{ - 1}^0 {2{x^3}{\rm{d}}x + \int\limits_0^k {2{x^3}{\rm{d}}x = \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow } } } - \left. {\frac{{{x^4}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{2}} \right|_0^k = \frac{{17}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2} + \frac{{{k^4}}}{2} = \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow {k^4} = 16 \Leftrightarrow k = 2\) (vì \(k > 0\)).
Cho các hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{x}\) và \(g\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}}\) xác định trên tập \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Mệnh đề 1 Hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D.
Mệnh đề 2 Hàm số \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\) là họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).
Mệnh đề 3 Cho \(F\left( 1 \right) = 5\), khi đó \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\).
Mệnh đề 4 \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(xf\left( x \right)\) thỏa mãn \(G\left( 1 \right) = 4\). Khi đó \(G\left( 2 \right) = 2\).
Mệnh đề | Đúng | Sai |
a. Mệnh đề 1 Hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D. | x |
|
b. Mệnh đề 2 Hàm số \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\) là họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). | x |
|
c. Mệnh đề 3 Cho \(F\left( 1 \right) = 5\), khi đó \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\). | x |
|
d. Mệnh đề 4 \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(xf\left( x \right)\) thỏa mãn \(G\left( 1 \right) = 4\). Khi đó \(G\left( 2 \right) = 2\). |
| x |
a) Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{3}{{{x^2}}} = g\left( x \right),\forall x \in D\). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên D. Chọn đúng.
b) Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx = \int {\frac{{2x - 3}}{x}dx = \int {\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)} } dx = 2x - 3\ln \left| x \right| + C\). Chọn đúng.
c) Vì \(F\left( 1 \right) = 5 \Rightarrow 2.1 - 3\ln 1 + C = 5 \Rightarrow C = 3\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x - 3\ln \left| x \right| + 3\). Chọn đúng.
d) Vì \(G\left( x \right) = \int {xf\left( x \right)} dx = \int {x\left( {\frac{{2x - 3}}{x}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 3} \right)} dx = {x^2} - 3x + C\), và \(G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow 1 - 3.1 + C = 4 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow G\left( x \right) = {x^2} - 3x + 6\). Vậy \(G\left( 2 \right) = 4\). Chọn sai.
Cho \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x,x = - 1,x = 2\) và trục hoành .Gọi \(S\) là diện tích của \(D\).
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx\).
\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {({x^2} - x} )dx + \int\limits_0^2 {({x^2}} - x)dx\).
Thể tích của khối tròn xoay khi quay \(D\) quanh trục \[Ox\]được tính bằng \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{({x^2} - x)}^2}dx} \) .
\(S = \frac{5}{6}\).
a). ĐÚNG
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx\)
b). SAI
c). ĐÚNG
\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {{{({x^2} - x)}^2}dx} \)
d). SAI
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = \frac{{11}}{6}\).
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x - 2,\,\,x \ge 2\\\frac{1}{2}x + 3,\,\,x < 2\end{array} \right.\]
\[\int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {({x^2} + x - 2)dx} } \]
\[\int\limits_2^3 {f(x)dx = \frac{{41}}{{16}}} \]
\[\int\limits_0^1 {f(x)dx = \frac{{13}}{4}} \]
\[\int\limits_{ - 1}^3 {f(x)dx = } \frac{{16}}{3}\]
a. \[\int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {({x^2} + x - 2)dx} } \] (do \[x \ge 2 \Rightarrow f(x) = {x^2} + x - 2\]) | Đúng |
b. \[\int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {({x^2} + x - 2)dx} } = \left. {(\frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 2x)} \right|_2^3 = \frac{{15}}{2} - \frac{2}{3} = \frac{{41}}{6}\] | Sai |
c. \[\int\limits_0^1 {f(x)dx = \int\limits_0^1 {(\frac{1}{2}x + 3)dx} } = \left. {(\frac{1}{4}{x^2} + 3x)} \right|_0^1 = \frac{{13}}{4} - 0 = \frac{{13}}{4}\] | Đúng |
d. \[\int\limits_{ - 1}^3 {f(x)dx = \int\limits_{ - 1}^2 {(\frac{1}{2}x + 3)dx} } + \int\limits_2^3 {({x^2} + x - 2)dx} = \frac{{39}}{4} + \frac{{41}}{6} = \frac{{199}}{{12}}\] | Sai |
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 2x + m\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\1 - 4x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\] (\(m\) là tham số thực) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f\left( x \right)\) có nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { - 2} \right) = - 6\).
\(m = - 4\).
\(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} - 4x + 7\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\).
\[\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx} = 108\].
\[\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx} = 3\].
a) ĐÚNG
Ta có \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow m + 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 4\).
b) ĐÚNG
Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + mx + {C_1}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + {C_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\)
\(F\left( { - 2} \right) = \left( { - 2} \right) - 2.{\left( { - 2} \right)^2} + {C_2} = {C_2} - 10 \Rightarrow {C_2} = 10 - 6 = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} - {x^2} + mx + {C_1}} \right) = m + {C_1}\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x - 2{x^2} + {C_2}} \right) = - 1 + {C_2} = 3\).
Ta lại có \(F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)\[ \Leftrightarrow m + {C_1} = 3 \Leftrightarrow {C_1} = 3 - m = 7\].
Vậy \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} - 4x + 7\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 1\\x - 2x{}^2\,\, + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\).
c) SAI
Ta có \[\int\limits_{ - 1}^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - 4x} \right)dx} + \int\limits_1^5 {\left( {3{x^2} - 2x - 4} \right)dx} = 86\]
d) SAI
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).
Khi \(x = 1 \Rightarrow t = 0\);
Khi \(x = {e^2} \Rightarrow t = 2\).
Do đó
\[\int\limits_1^{{e^2}} {f\left( {\ln x} \right)\frac{1}{x}dx} = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - 4x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {3{x^2} - 2x - 4} \right)dx} = - 1\].
Biết \[I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}}}{a} - \frac{b}{c}\]. Trong đó \[a\], \[b\], \[z + {\left| z \right|^2}.i - 1 - \frac{3}{4}i = 0\] là các số nguyên dương, phân số \[\frac{b}{c}\] tối giản. Tính \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2}\].
Ta có \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} \] \[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} \]
\[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}x} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)\sin x{\rm{d}}x} \]\[4\]\[ = \frac{{{\pi ^2}}}{8} - \frac{1}{2}\].
Như vậy \[a = 8\], \[b = 1\], \[c = 2\]. Vậy \[T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 69\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} ,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Biết \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = ae + b\sqrt 3 + c\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tổng \(T = a + b + 3c\) bằng
Do hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)
Ta có \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx = {I_1} + {I_2}} \)
\({I_1} = \int_{ - 1}^0 {2x\sqrt {3 + {x^2}} dx} = \int_{ - 1}^0 {{{\left( {3 + {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {3 + {x^2}} \right) = \frac{2}{3}\left( {3 + {x^2}} \right)\sqrt {3 + {x^2}} \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle - 1}^{\scriptstyle0\atop\scriptstyle}} \right. = 2\sqrt 3 - \frac{{16}}{3}.} \)
\({I_2} = \int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = \left( {{e^x} - x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. = e - 2.\)
Suy ra \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = {I_1} + {I_2} = e + 2\sqrt 3 - \frac{{22}}{3}.\) Suy ra \(a = 1;b = 2;c = - \frac{{22}}{3}.\)
Vậy \(T = a + b + 3c = 1 + 2 - 22 = - 19.\)
Biết \[I = \int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}}}{a} - \frac{b}{c}\]. Trong đó \[a\], \[b\], \[z + {\left| z \right|^2}.i - 1 - \frac{3}{4}i = 0\] là các số nguyên dương, phân số \[\frac{b}{c}\] tối giản. Tính \[T = a + b + c\].
Ta có \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{x + x\cos x - {{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}{\rm{d}}x} \] \[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x - \frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} \]
\[ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{\rm{d}}x} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos x} \right)\sin x{\rm{d}}x} \]\[4\]\[ = \frac{{{\pi ^2}}}{8} - \frac{1}{2}\].
Như vậy \[a = 8\], \[b = 1\], \[c = 2\]. Vậy \[T = a + b + c = 12\].
Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để kéo giãn lò xo thêm \(x\) mét từ độ dài tự nhiên là \(f\left( x \right) = k.x\left( N \right)\) với \(k\left( {N/m} \right)\) là độ cứng của lò xo. Một lực \(50N\) được dùng để kéo giãn lò xo từ \(10cm\)đến độ dài \(15cm\). Hỏi cần thực hiện một công là bao nhiêu để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\)?
Khi lò xo được kéo giãn từ độ dài từ \(10cm\) đến\(15cm\), thì lượng kéo giãn là \(x = 15 - 10 = 5cm \Rightarrow x = 0,05m\). Điều này có nghĩa là \(f\left( {0,05} \right) = 50 \Rightarrow 0,05.k = 50 \Rightarrow k = 50:0,05 = 1000\left( {N/m} \right)\).
Do đó, ta có:
\(f\left( x \right) = 1000.x\left( N \right)\) và công cần thực hiện để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\) là
\(A = \int\limits_{0,15}^{0,2} {1000xdx = 1000 \cdot \frac{{{x^2}}}{2}} \left| \begin{array}{l}0,2\\0,15\end{array} \right. = 1000 \cdot \left( {\frac{{{{0.2}^2}}}{2} - \frac{{0,{{15}^2}}}{2}} \right) = 8,75\left( J \right)\).
Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Tính thể tích của thùng Bia hơi. ( làm tròn đến hàng phần chục).
Gọi \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\] là parabol đi qua điểm \[A\left( {3;\frac{3}{2}} \right)\] và có đỉnh \[I\left( {0;2} \right)\](hình vẽ bên dưới).
Khi đó thể tích thùng Bia bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi \[\left( P \right)\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 3;\,x = - 3\] quay quanh trục \[Ox\].
Ta thấy \[\left( P \right)\]có đỉnh \[I\left( {0;2} \right)\] nên \[\left( P \right):y = a{x^2} + 2\], mặt khác \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;\frac{3}{2}} \right)\] nên ta tìm được \[\left( P \right)\]có phương trình \[y = \frac{{ - {x^2}}}{{18}} + 2\].
Khi đó thể tích thùng Bia là:
\[V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {{{\left( {\frac{{ - {x^2}}}{{18}} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{203}}{{10}}\pi \left( {d{m^3}} \right) \approx 63,8\](lít).
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm \[2015\]. Nền sân là một elip \(\left( E \right)\) có trục lớn dài \[150m\], trục bé dài \[90m\] (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của \(\left( E \right)\)và cắt elip ở \(M,N\) (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm \(I\) (phần tô đậm trong hình 4) với \(MN\) là một dây cung và góc \(\widehat {MIN} = {90^0}.\) Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là \(200\,\,BTU/{m^3}\). Hỏi cần bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU?
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của \(S\left( x \right)\)thiết diện.
Gọi \(d\left( {O,MN} \right) = x\)
\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1.\)
Lúc đó \[MN = 2y = 2\sqrt {{{45}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)} = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \]
\[ \Rightarrow R = \frac{{MN}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{90}}{{\sqrt 2 }}.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \Rightarrow {R^2} = \frac{{{{90}^2}}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\]
\[S\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {R^2} - \frac{1}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{4}\pi - \frac{1}{2}} \right){R^2} = \left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right).\]
Vậy thể tích khoảng không bên dưới mái che và bên trên mặt sân là
\(V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left( {\pi - 2} \right)\frac{{2025}}{2}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right) \approx 115586{m^3}.} \)
Số chiếc điều hòa cần lắp là
\(115586.200 & :50000 = 462,344\)
Vậy cần \(463\) chiếc điều hòa.
