Trắc nghiệm Bài tập cuối chương IV lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} = 8\) và \(\int\limits_{ - 2}^5 {g\left( x \right)dx} = 3\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} \).
\(I = 77\).
\(I = 5\).
\(I = - 11\).
\(I = 11\).
Chọn B
\(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 2}^5 {g\left( x \right)dx} = 8 - 3 = 5\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm trên ℝ là \(F\left( x \right)\). Biết \(F\left( 0 \right) = 1\) và \(F\left( 2 \right) = 7\), giá trị của \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng
6.
4.
2.
−4.
Chọn A
\(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = 7 - 1 = 6\).
\(\int {3{x^2}dx} \) bằng
\(\frac{1}{3}{x^3} + C\).
2x + C.
3x3 + C.
x3 + C.
Chọn D
\(\int {3{x^2}dx} \)\( = {x^3} + C\).
Hàm số \(F\left( x \right) = {x^2} + x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
\(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3}\).
\(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + C\).
\(f\left( x \right) = 2x + 1\).
\(f\left( x \right) = 2x\).
Chọn C
Có \(F'\left( x \right) = 2x + 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = {x^2} + x\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = 2x + 1\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = 0;x = \pi \), đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và trục \(Ox\) là
\(S = - \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \).
\(S = \int\limits_0^\pi {\cos xdx} \).
\(S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \).
\(S = \pi \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}xdx} \).
Chọn C
Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^\pi {\left| {\cos x} \right|dx} \).
Tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx} \) bằng
1.
2.
0.
e.
Chọn A
\(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx} \)\[ = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^e = 1\].
Tích phân \(I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}dx} = a - b\ln 2\). Khi đó tổng của \(a + b\) là
10.
2.
7.
1.
Chọn C
\(I = \int\limits_1^3 {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_1^3 {\left( {2 - \frac{3}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left[ {2x - 3\ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_1^3 = 6 - 3\ln 4 - 2 + 3\ln 2 = 4 - 3\ln 2\).
Suy ra \(a = 4;b = 3\).
Do đó \(a + b = 7\).
Biết tích phân \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\frac{3}{{{{\sin }^2}x}}dx} = a + b\sqrt 3 \left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \({a^2} + {b^2}\).
10.
4.
\(\frac{9}{2}\).
2.
Chọn A
\(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\frac{3}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \left. {3\cot x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{2\pi }}{3}} = \sqrt 3 + 3\).
Suy ra \(a = 3;b = 1\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).
Công thức nào sau đây mô tả diện tích của phần gạch chéo trong hình vẽ bên dưới?
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).
\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2x + 2} \right)dx} \).
\(S = \pi \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right)dx} \).
Chọn B
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \).
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - {e^x}\), biết \(F\left( 0 \right) = - 2\).
\(F\left( x \right) = x - {e^x} + 1\).
\(F\left( x \right) = {x^2} - {e^x} - 1\).
\(F\left( x \right) = {x^2} - {e^x} - 2\).
\(F\left( x \right) = {x^2} - {e^x} + 1\).
Chọn B
\(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2x - {e^x}} \right)dx} = {x^2} - {e^x} + C\).
Mà \(F\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow C = - 1\).
Do đó \(F\left( x \right) = {x^2} - {e^x} - 1\).
Gọi V là thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ 1) thì được thiết diện là một hình tam giác đều có cạnh là \(x\sqrt {8 - {x^2}} \). Giá trị của V bằng
\(\frac{{37\sqrt 3 }}{{15}}\).
\(\frac{{37\sqrt 3 }}{{60}}\).
\(\frac{{37\sqrt 3 }}{{30}}\).
\(\frac{{39\sqrt 3 }}{{60}}\).
Chọn B
Ta có \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_0^1 {{x^2}\left( {8 - {x^2}} \right)dx} = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{{8{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{37\sqrt 3 }}{{60}}\).
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {9x + 7} \), trục hoành và các đường thẳng x = 2, x = 7. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là
\(312\pi \).
\(\frac{{475\pi }}{2}\).
\(\frac{{531\pi }}{2}\).
\(\frac{{475}}{2}\).
Chọn B
Ta có \(V = \pi \int\limits_2^7 {\left( {9x + 7} \right)dx} = \left. {\pi \left( {\frac{{9{x^2}}}{2} + 7x} \right)} \right|_2^7 = \frac{{475\pi }}{2}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = - 2024\) và \(\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = - 2025\).
a) \(\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} = 2024\).
b) \(\int\limits_{ - 3}^0 { - 3g\left( x \right)dx} = - 6075\).
c) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right) + 1} \right]dx} = 4\).
d) Cho \(m,n\) là các hằng số. Nếu \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {mf\left( x \right) - ng\left( x \right)} \right]dx} = 2026\) và \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - nf\left( x \right) + mg\left( x \right)} \right]dx} = 2023\) thì \(m + n = - 3\).
a) \(\int\limits_0^{ - 3} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} = 2024\).
b) \(\int\limits_{ - 3}^0 { - 3g\left( x \right)dx} = - 3\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = - 3.\left( { - 2025} \right) = 6075\).
c) \(\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right) + 1} \right]dx} = \int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} + \left. x \right|_{ - 3}^0 = - 2024 + 2025 + 3 = 4\).
d) \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ {mf\left( x \right) - ng\left( x \right)} \right]dx} = 2026\\\int\limits_{ - 3}^0 {\left[ { - nf\left( x \right) + mg\left( x \right)} \right]dx} = 2023\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} - n\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = 2026\\ - n\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)dx} + m\int\limits_{ - 3}^0 {g\left( x \right)dx} = 2023\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2024m + 2025n = 2026\\2024n - 2025m = 2023\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow m + n = 3\].
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\left[ {a;b} \right]\), biết \(F\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 1\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4x\). Với \(a,b,C\) là các hằng số.
a) \(f'\left( x \right) = 4{x^3}\).
b) \(\int {g\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).
c) \(\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = F\left( a \right) - F\left( b \right)\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị.
a) Có \(g\left( x \right) = F'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\).
Mà \(g\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4x\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = g\left( x \right) + 4x = 4{x^3}\).
b) \(\int {g\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\).
c) \(\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).
d) Có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng một điểm cực trị.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên ℝ\{0} thỏa mãn \(f\left( x \right) = x + 5 - \frac{6}{x}\).
a) f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}{x^2} + 5x - 6\ln x + C\).
c) Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn F(1) = 5. Khi đó \(F\left( 2 \right) = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(2) + G(−1) = 5. Khi đó \(G\left( { - 6} \right) = - 13 - 6\ln 3\).
a)Có \(f'\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}} = g\left( x \right)\).
Do đó f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 1 + \frac{6}{{{x^2}}}\).
b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{6}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C\).
c) Có \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\)\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = F\left( 1 \right) + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 5 + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
d) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left| x \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln x + {C_1}\;\;khi\;x \ge 0\\\frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 6\ln \left( { - x} \right) + {C_2}\;\;khi\;x < 0\end{array} \right.\).
Ta có \(G\left( 1 \right) = 4 \Rightarrow \frac{1}{2} + 5 + {C_1} = 4 \Rightarrow {C_1} = - \frac{3}{2}\).
Có \(G\left( 2 \right) + G\left( { - 1} \right) = 5\)\( \Leftrightarrow 12 - 6\ln 2 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} + {C_2} = 5 \Rightarrow {C_2} = 6\ln 2 - 1\).
Khi đó \(G\left( { - 6} \right) = \frac{{36}}{2} - 30 - 6\ln 6 + 6\ln 2 - 1 = - 13 - 6\ln 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và \(f'\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) có bảng biến thiên như sau:
a) \(\int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} = f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)\).
b)\(\int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} = 1\).
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right):y = f'\left( x \right),y = 0,x = 2,x = 3\) bằng \(\frac{1}{2}\).
d) Biết rằng \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5\), suy ra \(f\left( 5 \right) = 5\).
a) \(\int\limits_2^5 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^5 = f\left( 5 \right) - f\left( 2 \right)\).
b) \(\int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_2^3 = f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) = - 1 - 0 = - 1\).
c) Có \(S = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} = \left. { - f\left( x \right)} \right|_2^3 = - f\left( 3 \right) + f\left( 2 \right) = 1 + 0 = 1\).
d) \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_2^3 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} \)\( = - \int\limits_2^3 {f'\left( x \right)dx} + \int\limits_3^5 {f'\left( x \right)dx} \)\( = 1 + \left. {f\left( x \right)} \right|_3^5 = 1 + f\left( 5 \right) - f\left( 3 \right) = 2 + f\left( 5 \right)\).
Mà \(\int\limits_2^5 {\left| {f'\left( x \right)} \right|dx} = 5\)\( \Leftrightarrow 2 + f\left( 5 \right) = 5 \Rightarrow f\left( 5 \right) = 3\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.
Cho đồ thị các hàm số \(y = f\left( x \right) = x + 1\) và \(y = g\left( x \right) = 0,{7^x}\) như hình vẽ
a) \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}\).
b) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 0\) xung quanh trục hoành bằng 9π.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\) quanh trục hoành có giá trị xấp xỉ bằng 7,9 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
d) Khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1;x = 2\) quanh trục hoành có thể tích xấp xỉ bằng 4,4 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{1}{2}\).
b) \[{V_1} = \pi \int\limits_{ - 1}^0 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} = \left. {\pi \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^0 = \frac{\pi }{3}\].
c) \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {0,{7^{2x}}dx} = \pi \int\limits_0^2 {0,{{49}^x}dx = \left. {\frac{{\pi 0,{{49}^x}}}{{\ln 0,49}}} \right|} _0^2 \approx 3,3\).
d) \(V = {V_1} + {V_2} \approx 4,4\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc \(v\left( t \right) = 160 - 10t\) (m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 0\) đến thời điểm mà vật dừng lại.
Vật dừng lại khi v(t) = 0 \( \Leftrightarrow 160 - 10t = 0 \Leftrightarrow t = 16\).
Quãng đường vật đi được cho tới khi dừng lại là \(S = \int\limits_0^{16} {\left( {160 - 10t} \right)dt} = \left. {\left( {160t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^{16} = 1280\)m.
Trả lời: 1280.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2\) với a, b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = 2 - 3\ln 2\). Tính \(T = a + b\).
\[\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{a}{x} + b\ln x + 2x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1\]\( = a + 1 + b\ln 2\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 2\\b = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.\). Do đó \(T = a + b = - 2\).
Trả lời: −2.
Cho \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right){e^x}\). Tính tổng \(S = a + b + c\)
Có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
\[F'\left( x \right) = \left( {2ax + b} \right){e^x} + \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^x}\]\[ = \left( {a{x^2} + \left( {2a + b} \right)x + b + c} \right){e^x}\].
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\b + c = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(S = a + b + c = 2\).
Trả lời: 2.
Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB = 4m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình tam giác vuông cong ACE với AC = 4m, CE = 3,5m và cạnh cong AE nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí M là trung điểm của AC thì đường cong có độ cao 1m (xem hình). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A ≡ O.
Suy ra cạnh cong AE nằm trên parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
\(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {2;1} \right),\left( {4;\frac{7}{2}} \right)\) nên \(\left( P \right):y = \frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x\).
Khi đó diện tích tam giác cong ACE có diện tích \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\frac{3}{{16}}{x^2} + \frac{1}{8}x} \right)} dx = 5\) m2.
Vậy thể tích của khối bê tông cần sử dụng là V = 5.4 = 20 m3.
Trả lời: 20.
Một mảnh đất có hình dạng là hình thang cong có các thông số như hình vẽ, biết phần đường cong là phần đồ thị của hàm số \(y = a\sqrt x \). Diện tích của mảnh đất đó là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục).
Đưa hình vẽ về dạng của hàm số \(y = a\sqrt x \)
Chọn hệ trục Oxy với Ox đi qua chính giữa trục của mảnh đất (theo chiều của chiều cao), gốc tọa độ O cách điểm chính giữa của đoạn AB là 4, khi đó ta có \({y_B} = 4;{y_C} = 6\) nên B(4; 4), C(9; 6).
Do đó ta tìm được a = 2.
Suy ra \(S = 2\int\limits_4^9 {2\sqrt x dx} = \frac{{152}}{3} \approx 50,7\).
Trả lời: 50,7.
