Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 4 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Ta có \({\left( {\frac{1}{x} + \ln x + C} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\), suy ra \(f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\) là hàm số cần tìm.

Áp dụng công thức nguyên hàm ta có \[\int {\left( {{x^2} - 3x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C\].

\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right){\rm{d}}x}  = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + C = F\left( x \right)\].

\(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\) \( \Leftrightarrow 0 - \frac{1}{3}.1 + C = \frac{2}{3}\) \( \Leftrightarrow C = 1\). Vậy \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1\).

Ta có: \[\int {{x^2}}  - 2x + 3{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + C\].

\[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] có \[F\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow C = 2\].

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + 2\]\[ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{{13}}{3}\].

Ta có

\[\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx = \int_0^2 f \left( x \right)dx + 3\int_0^2 g \left( x \right)dx = 3 + 3.7 = 24\].

Có \(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx = 3;\;\mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dx = 1;\;{\rm{\;}}\mathop \smallint \limits_{ - 1}^3 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_0^3 f\left( x \right)dx = 3 + 1 = 4\).

\[\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx}  = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2\int\limits_1^2 {xdx} }  = 1 \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx - 2.} \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2 = 1\\ \Leftrightarrow 4\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 4 \Leftrightarrow } \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} \end{array}\].

Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx}  = \int\limits_1^3 {dx}  + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.\)

Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\).

Chọn A

Theo công thức tính nguyên hàm của hàm số luỹ thừa.

Chọn C

Ta có: \(\int\limits_1^5 {f(x)dx}  = \int\limits_1^3 {f(x)dx}  + \int\limits_3^5 {f(x)dx}  \Rightarrow \int\limits_3^5 {f(x)dx}  = \int\limits_1^5 {f(x)dx}  - \int\limits_1^3 {f(x)dx}  = 10 - 2 = 8\).

Chọn D

Ta có: \(\int\limits_2^m {{x^3}dx}  = 8 \Leftrightarrow \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_2^m = 8 \Leftrightarrow \frac{{{m^4} - {2^4}}}{4} = 8 \Leftrightarrow {m^4} - {2^4} = 32 \Leftrightarrow {m^4} = 48 \Rightarrow m =  \pm \sqrt[4]{{48}} =  \pm 2\sqrt[4]{3}\).

Chọn B

Ta có: \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 3 - 1 = 2\).

a) Ta có  \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^4} + {x^2} + {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x} + C\)   suy ra mệnh đề sai.

b) Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} \) thì \(f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x\)

Ta có  \(f\left( x \right) = {\left( {4{x^3} + \sin x + C} \right)^\prime } = 12{x^2} + \cos x.\) Suy ra mệnh đề đúng 

.c) Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\); biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\].

Lời giải

Ta có \[F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\]

Do \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {2.0 + 1} \right| + C = 2 \Rightarrow C = 2\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2\]. Suy ra mệnh đề đúng 

d) Cho hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1\)

Lời giải

Ta có: \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}\left( {{x^4} + 1} \right)}  = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\).

Do \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(\frac{1}{4}\ln \left( {0 + 1} \right) + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).

Vậy: \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + 1\). Suy ra mệnh đề sai.

a) Sai

            Ta thấy \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Nhưng hàm số \(F\left( { - x} \right) =  - x\) không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Vậy mệnh đề sai.

b) Đúng

\[\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{e^{2x}} + x - 3} \right)dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C} } \]

c) Đúng

\[\int\limits_1^3 {\left( {1 + f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_1^3 {{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. x \right|_1^3 + \left. {{x^3}} \right|_1^3 = 2 + 26 = 28\]

d) Sai

            Ta có: \(F'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2\left( {3m + 2} \right)x - 4\).

            \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\,,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m = 3\\2\left( {3m + 2} \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

a) Đúng  theo định nghĩa

b) Sai

\[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{{16}}{3}\]

\[\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\\ \Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + F\left( 0 \right) = \frac{{16}}{3} + 1 = \frac{{19}}{3}\end{array}\]

c) Đúng

\[\int\limits_0^2 {af\left( x \right)dx}  = 32 \Leftrightarrow a.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 32\]

\( \Leftrightarrow a.\frac{{16}}{3} = 32 \Leftrightarrow a = 6\)

d) Đúng

Đặt \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{3x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^{3x}}.f\left( x \right)\)

Khi đó: \(F'\left( x \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right) \Rightarrow 3.{e^{3x}}\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + {e^{3x}}.\left( {2ax + b} \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + 2ax + b = f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3a{x^2} + \left( {3b + 2a} \right)x + 3c + b = 2{x^2} - 3\)

Đồng nhất hai vế, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 2\\2a + 3b = 0\\b + 3c =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b =  - \frac{4}{9}\\c =  - \frac{{23}}{{27}}\end{array} \right.\)

Vậy: \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx}  = \left. {{e^{3x}}\left( {\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{9}x - \frac{{23}}{{27}}} \right)} \right|_0^2 = {e^6}.\frac{{25}}{{27}} + \frac{{23}}{{27}}\]

Kết luận: \(a = \frac{{23}}{{27}};\,b = 25\) và \(27a - b =  - 2\).

a). ĐÚNG

Theo định nghĩa ta có :

\[\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = 8} \].

Do đó mệnh đề đã cho đúng.

b). SAI

Theo định nghĩa ta có :

\[\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)dx = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx}  + \int\limits_1^4 {f(x)dx = {S_1} - {S_2} = 8 - 20 =  - 12} } \].

c). ĐÚNG

Gia tốc của vật đó là \[a = v'(t) = 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2\].

Quãng đường vật đó di chuyển từ lúc bắt đầu tới lúc gia tốc bị triệt tiêu là:

\[S = \int\limits_0^2 {v(t)dt = } \int\limits_0^2 {({t^2} - 4t + 5)dt = } \frac{{14}}{3}\].

Do đó mệnh đề đã cho đúng.

d). SAI

Gọi \({S_1}\)là diện tích hình vuông, \({S_2}\)là diện tích khoét đi.

Ta có \({S_1} = {30^2} = 900\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)và \({S_2} = 2\pi ab = 2\pi .8.6 = 96\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)(vì mỗi phần bị khoét đi là nửa elip có \(a = 8\), \(b = 6\)).

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là \(S = {S_1} - {S_2} = 900 - 96\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Ta có

\[\begin{array}{l}\int\limits_2^t {\frac{{2x - 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}dx = } \int\limits_2^t {\left( {\frac{1}{{2(x - 1)}} + \frac{3}{{2(x - 3)}}} \right)} dx = \left( {\frac{1}{2}\ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{2}\ln \left| {x - 3} \right|} \right)\left| {_2^t} \right.\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {t - 1} \right| + \frac{3}{2}\ln \left| {t - 3} \right|\end{array}\]

\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{2(t - 1)}} + \frac{3}{{2(t - 3)}} > 0\,\,\,\forall t > 4\) nên hàm số luôn đồng biến trên

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}5;6]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) = \frac{1}{2}\ln \frac{5}{{27}} \Rightarrow a + b = 32\).

Ta có: \(f(x) = {x^2} - 4x + 3\) và \(g(x) =  - {x^2} + 4x - 3\).

Diện tích cần tìm là: \(S = 2\left( {2\int\limits_0^1 {\left[ {3 - ({x^2} - 4x + 3)} \right]{\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {\left[ {3 + ({x^2} - 4x + 3)} \right]{\rm{d}}x} } \right) = 16\).

Phần giải chi tiết:

Gọi \(S\) là diện tích hình \(\left( H \right)\) suy ra \(S = \int\limits_{ - 4}^0 {\sqrt {x + 4} \,dx = \frac{{16}}{3}} \).

Gọi \({S_1}\) là diện tích hình \(\left( {{H_1}} \right)\) giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục tung và trục hoành.

Do \(d:ax + by - 16 = 0\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) suy ra \(b = 8\).

Theo giả thiết thì \({S_1} = \frac{S}{2} = \frac{8}{3}\) mà \({S_1} = \frac{1}{2}OA.\,OB \Rightarrow OB = \frac{8}{3} \Rightarrow B\left( { - \frac{8}{3};0} \right)\).

Do \(B \in d \Rightarrow a =  - 6\).

Vậy \(a + b = 2\).

Ta gọi thể tích của chiếc mũ là \(V\).

Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(OA = 10\) cm và đường cao \(OO' = 6\) cm là \({V_1}\).

Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(AB\)và hai trục tọa độ quanh trục \(Ox\)là \({V_2}\).

Ta có \(V = {V_1} + {V_2}\)

\({V_1} = {6.10^2}\pi  = 600\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Do parabol có đỉnh \(B(20;0)\) nên nó có phương trình dạng \((P):y = a{(x - 20)^2}\).

Vì \(\left( P \right)\) qua điểm \(A\left( {0;10} \right)\) nên \(a = \frac{1}{{40}}\). Do đó, \(\left( P \right):y = \frac{1}{{40}}{\left( {x - 20} \right)^2}\).

Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left[ {\frac{1}{{40}}{{\left( {x - 20} \right)}^2}} \right]}^2}{\rm{d}}x}  = 400\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Do đó \(V = {V_1} + {V_2} = 600\pi  + 400\pi  = 1000\pi  \approx 3142\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm bằng \(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right)} {\rm{d}}x = {x^3} - 2{x^2} + 10x + C\)

Mà chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng

Suy ra \(C\left( 0 \right) = 500 \Rightarrow C = 500\)\( \Rightarrow C\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 10x + 500\)

Khi bán \(x\) sản phẩm, số tiền thu được là: \(270x\) (nghìn đồng).

Do đó lợi nhuận thu được là: \(T\left( x \right) =  - {x^3} + 2{x^2} + 260x - 500\) (nghìn đồng).

Ta có \(T'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 4x + 260 = 0 \Leftrightarrow x = 10{\rm{ }}\) hoặc \(x =  - \frac{{26}}{3}\) (loại).

Bảng biến thiên

Lợi nhuận tối đa là 1300 nghìn đồng khi sản xuất 10 sản phẩm mỗi ngày.

Phần giải chi tiết

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) =  - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)

+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)

Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)

+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx}  = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)

+ Chi phí để trang trí là: \(20\,\,000.{S_1} + 10\,\,000.{S_2} \approx 730\,\,000\) (đồng).