Đề kiểm tra Bài tập cuối chương 4 lớp 12 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Nếu \(\int {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{x} + \ln x + C\) thì \(f\left( x \right)\) là
\(f\left( x \right) = \sqrt x + \ln x + C\).
\(f\left( x \right) = - \sqrt x + \frac{1}{x} + \ln x + C\).
\(f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}} + \ln x + C\).
\(f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\).
Ta có \({\left( {\frac{1}{x} + \ln x + C} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\), suy ra \(f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}\) là hàm số cần tìm.
Nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}\)là
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right| + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C\).
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C\).
Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\), biết \(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\).
\(F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + \frac{2}{3}\).
\(F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} - 1\).
\(F\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{{\cos 3x}}{3} + 1\).
\(F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1\).
\[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right){\rm{d}}x} = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + C = F\left( x \right)\].
\(F\left( 0 \right) = \frac{2}{3}\) \( \Leftrightarrow 0 - \frac{1}{3}.1 + C = \frac{2}{3}\) \( \Leftrightarrow C = 1\). Vậy \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{{\cos 3x}}{3} + 1\).
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn , giá trị của bằng
\(4\).
\(\frac{{13}}{3}\).
\(2\).
\(\frac{{11}}{3}\).
Ta có: \[\int {{x^2}} - 2x + 3{\rm{d}}x = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + C\].
\[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] có \[F\left( 0 \right) = 2\]\[ \Rightarrow C = 2\].
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x + 2\]\[ \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{{13}}{3}\].Cho \[\int_0^2 f \left( x \right)dx = 3\] và \[\int_0^2 g \left( x \right)dx = 7\], khi đó \(\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\)
bằng
\(16\).
\( - 18\).
\(24\).
\(10\).
Ta có
\[\int_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx = \int_0^2 f \left( x \right)dx + 3\int_0^2 g \left( x \right)dx = 3 + 3.7 = 24\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và Tích phân \(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^3 f\left( x \right)dx\) bằng
\(6\).
\(4\).
\(2\).
\(0\)
Cho \[\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 2x} \right]dx} = 1\]. Khi đó \[\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\]bằng:
\[1\].
\[ - 3\].
\[3\].
\[ - 1\].
Biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = a + b\ln c,\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.\) Tính tổng \(S = a + b + c.\)
\(S = 7\).
\(S = 5\).
\(S = 8\).
\(S = 6\).
Ta có \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.\)
Do đó \(a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.\).
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = 5{x^4}\)
\(y = {x^5}\).
\(y = 20{x^3}\).
\(y = 4{x^5}\).
\(y = \frac{{{x^4}}}{5}\).
Chọn A
Theo công thức tính nguyên hàm của hàm số luỹ thừa.Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2\), \(\int\limits_1^5 {f(x)dx} = 10\). Biểu thức \(\int\limits_3^5 {f(x)dx} \)bằng
\(2\).
\(12\).
\(8\).
\(20\).
Chọn C
Ta có: \(\int\limits_1^5 {f(x)dx} = \int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_3^5 {f(x)dx} \Rightarrow \int\limits_3^5 {f(x)dx} = \int\limits_1^5 {f(x)dx} - \int\limits_1^3 {f(x)dx} = 10 - 2 = 8\).
Nếu \(\int\limits_2^m {{x^3}dx} = 8\)thì giá trị của \(m\)bằng
\( - 2\sqrt 3 \).
\(2\sqrt[4]{3}\).
\( - 2\sqrt[4]{3}\).
\( \pm 2\sqrt[4]{3}\).
Chọn D
Ta có: \(\int\limits_2^m {{x^3}dx} = 8 \Leftrightarrow \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_2^m = 8 \Leftrightarrow \frac{{{m^4} - {2^4}}}{4} = 8 \Leftrightarrow {m^4} - {2^4} = 32 \Leftrightarrow {m^4} = 48 \Rightarrow m = \pm \sqrt[4]{{48}} = \pm 2\sqrt[4]{3}\).Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình bên và đạo hàm \(f'\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx\)bằng
\(1\).
\(2\).
\(0\).
\(4\).
Chọn B
Ta có: \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_1^2 = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 3 - 1 = 2\).
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + {e^x}\) là \(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x}.\)
Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} \) thì \(f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x\).
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\); biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\].
Cho hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\).Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1.\)
Mệnh đề | Đúng | Sai | |
a) | Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + {e^x}\) là \(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x}.\) |
| X |
b) | Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} \) thì \(f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x\). | X |
|
c) | Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\); biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\]. | X |
|
d) | Cho hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1.\) |
| X |
a) Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^4} + {x^2} + {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x} + C\) suy ra mệnh đề sai.
b) Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} \) thì \(f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x\)
Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {4{x^3} + \sin x + C} \right)^\prime } = 12{x^2} + \cos x.\) Suy ra mệnh đề đúng
.c) Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\); biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\].
Lời giải
Ta có \[F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\]
Do \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {2.0 + 1} \right| + C = 2 \Rightarrow C = 2\]
Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2\]. Suy ra mệnh đề đúng
d) Cho hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1\)
Lời giải
Ta có: \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}\left( {{x^4} + 1} \right)} = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\).
Do \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(\frac{1}{4}\ln \left( {0 + 1} \right) + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).
Vậy: \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + 1\). Suy ra mệnh đề sai.
Các mệnh đề sau đúng hay sai.
Nếu hàm \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\) thì hàm số \(F\left( { - x} \right)\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2x}} + x - 3\) là \[\frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C\]
Biết \[F\left( x \right) = {x^3}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\mathbb{R}\]. Giá trị của \[\int\limits_1^3 {\left( {1 + f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} \] bằng 28
Hàm số \(F\left( x \right) = m{x^3} + \left( {3m + 2} \right){x^2} - 4x + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 10x - 4\). Khi đó giá trị của tham số \(m\) là 5
a) Sai
Ta thấy \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Nhưng hàm số \(F\left( { - x} \right) = - x\) không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Vậy mệnh đề sai.
b) Đúng
\[\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{e^{2x}} + x - 3} \right)dx = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} - 3x + C} } \]
c) Đúng
\[\int\limits_1^3 {\left( {1 + f\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^3 {{\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. x \right|_1^3 + \left. {{x^3}} \right|_1^3 = 2 + 26 = 28\]
d) Sai
Ta có: \(F'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2\left( {3m + 2} \right)x - 4\).
\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\,,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m = 3\\2\left( {3m + 2} \right) = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)
\[\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right)\].
Nếu \(F\left( 0 \right) = 1\) thì \(F\left( 2 \right) = 12\).
Nếu \[\int\limits_0^2 {af\left( x \right)dx} = 32\] thì \(a = 6\).
Biết \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx} = a + \frac{{b.{e^6}}}{{27}}\]. Khi đó: \(27a - b = - 2\).
a) Đúng theo định nghĩa
b) Sai
\[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{{16}}{3}\]
\[\begin{array}{l}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\\ \Rightarrow F\left( 2 \right) = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + F\left( 0 \right) = \frac{{16}}{3} + 1 = \frac{{19}}{3}\end{array}\]
c) Đúng
\[\int\limits_0^2 {af\left( x \right)dx} = 32 \Leftrightarrow a.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 32\]
\( \Leftrightarrow a.\frac{{16}}{3} = 32 \Leftrightarrow a = 6\)
d) Đúng
Đặt \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{3x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^{3x}}.f\left( x \right)\)
Khi đó: \(F'\left( x \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right) \Rightarrow 3.{e^{3x}}\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + {e^{3x}}.\left( {2ax + b} \right) = {e^{3x}}.f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow 3\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + 2ax + b = f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow 3a{x^2} + \left( {3b + 2a} \right)x + 3c + b = 2{x^2} - 3\)
Đồng nhất hai vế, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 2\\2a + 3b = 0\\b + 3c = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{4}{9}\\c = - \frac{{23}}{{27}}\end{array} \right.\)
Vậy: \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx} = \left. {{e^{3x}}\left( {\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{9}x - \frac{{23}}{{27}}} \right)} \right|_0^2 = {e^6}.\frac{{25}}{{27}} + \frac{{23}}{{27}}\]
Kết luận: \(a = \frac{{23}}{{27}};\,b = 25\) và \(27a - b = - 2\).Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới:
![Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid10-1769946350.png)
\[\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = 8} \].
\[\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)dx = 28} \].
Một vật chuyển động với phương trình \[v(t) = {t^2} - 4t + 5\]. Quãng đường vật đó đã di chuyển được từ lúc bắt đầu tới lúc gia tốc bị triệt tiêu là \[\frac{{14}}{3}\](m).
Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông cạnh \({\rm{30}}\,\,{\rm{cm}}\)bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau đều có hình dạng một nửa elip như hình vẽ. Biết một nửa trục lớn là \(AB = 8\)\({\rm{cm}}\), trục bé\(CD = 12\)\({\rm{cm}}\). Diện tích bề mặt của hoa văn đó bằng \[900 - 48\pi \left( {c{m^2}} \right)\].
![Cho hàm số \[y = f(x)\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới: (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid11-1769946390.png)
a). ĐÚNG
Theo định nghĩa ta có :
\[\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx = 8} \].
Do đó mệnh đề đã cho đúng.
b). SAI
Theo định nghĩa ta có :
\[\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)dx = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx} + \int\limits_1^4 {f(x)dx = {S_1} - {S_2} = 8 - 20 = - 12} } \].
c). ĐÚNG
Gia tốc của vật đó là \[a = v'(t) = 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2\].
Quãng đường vật đó di chuyển từ lúc bắt đầu tới lúc gia tốc bị triệt tiêu là:
\[S = \int\limits_0^2 {v(t)dt = } \int\limits_0^2 {({t^2} - 4t + 5)dt = } \frac{{14}}{3}\].
Do đó mệnh đề đã cho đúng.
d). SAI
Gọi \({S_1}\)là diện tích hình vuông, \({S_2}\)là diện tích khoét đi.
Ta có \({S_1} = {30^2} = 900\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)và \({S_2} = 2\pi ab = 2\pi .8.6 = 96\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)(vì mỗi phần bị khoét đi là nửa elip có \(a = 8\), \(b = 6\)).
Vậy diện tích bề mặt hoa văn là \(S = {S_1} - {S_2} = 900 - 96\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).Ta có
\[\begin{array}{l}\int\limits_2^t {\frac{{2x - 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}dx = } \int\limits_2^t {\left( {\frac{1}{{2(x - 1)}} + \frac{3}{{2(x - 3)}}} \right)} dx = \left( {\frac{1}{2}\ln \left| {x - 1} \right| + \frac{3}{2}\ln \left| {x - 3} \right|} \right)\left| {_2^t} \right.\\ = \frac{1}{2}\ln \left| {t - 1} \right| + \frac{3}{2}\ln \left| {t - 3} \right|\end{array}\]
\(f'\left( t \right) = \frac{1}{{2(t - 1)}} + \frac{3}{{2(t - 3)}} > 0\,\,\,\forall t > 4\) nên hàm số luôn đồng biến trên
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}5;6]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) = \frac{1}{2}\ln \frac{5}{{27}} \Rightarrow a + b = 32\).Tính diện tích phần gạch sọc trong hình vẽ sau:
Ta có: \(f(x) = {x^2} - 4x + 3\) và \(g(x) = - {x^2} + 4x - 3\).
Diện tích cần tìm là: \(S = 2\left( {2\int\limits_0^1 {\left[ {3 - ({x^2} - 4x + 3)} \right]{\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {\left[ {3 + ({x^2} - 4x + 3)} \right]{\rm{d}}x} } \right) = 16\).Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \), trục hoành và trục tung. Biết đường thẳng \(d:ax + by - 16 = 0\) đi
qua \(A\left( {0;2} \right)\) và chia \(\left( H \right)\) thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình bên). Giá trị \(a + b\) bằng
Phần giải chi tiết:
Gọi \(S\) là diện tích hình \(\left( H \right)\) suy ra \(S = \int\limits_{ - 4}^0 {\sqrt {x + 4} \,dx = \frac{{16}}{3}} \).
Gọi \({S_1}\) là diện tích hình \(\left( {{H_1}} \right)\) giới hạn bởi đường thẳng \(d\), trục tung và trục hoành.
Do \(d:ax + by - 16 = 0\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) suy ra \(b = 8\).
Theo giả thiết thì \({S_1} = \frac{S}{2} = \frac{8}{3}\) mà \({S_1} = \frac{1}{2}OA.\,OB \Rightarrow OB = \frac{8}{3} \Rightarrow B\left( { - \frac{8}{3};0} \right)\).
Do \(B \in d \Rightarrow a = - 6\).
Vậy \(a + b = 2\).Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 6\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[B\]. Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng phần nguyên, đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\))
Ta gọi thể tích của chiếc mũ là \(V\).
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(OA = 10\) cm và đường cao \(OO' = 6\) cm là \({V_1}\).
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(AB\)và hai trục tọa độ quanh trục \(Ox\)là \({V_2}\).
Ta có \(V = {V_1} + {V_2}\)
\({V_1} = {6.10^2}\pi = 600\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do parabol có đỉnh \(B(20;0)\) nên nó có phương trình dạng \((P):y = a{(x - 20)^2}\).
Vì \(\left( P \right)\) qua điểm \(A\left( {0;10} \right)\) nên \(a = \frac{1}{{40}}\). Do đó, \(\left( P \right):y = \frac{1}{{40}}{\left( {x - 20} \right)^2}\).
Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left[ {\frac{1}{{40}}{{\left( {x - 20} \right)}^2}} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 400\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Do đó \(V = {V_1} + {V_2} = 600\pi + 400\pi = 1000\pi \approx 3142\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).Chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm bằng \(C\left( x \right) = \int {C'\left( x \right)} {\rm{d}}x = {x^3} - 2{x^2} + 10x + C\)
Mà chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng
Suy ra \(C\left( 0 \right) = 500 \Rightarrow C = 500\)\( \Rightarrow C\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 10x + 500\)
Khi bán \(x\) sản phẩm, số tiền thu được là: \(270x\) (nghìn đồng).
Do đó lợi nhuận thu được là: \(T\left( x \right) = - {x^3} + 2{x^2} + 260x - 500\) (nghìn đồng).
Ta có \(T'\left( x \right) = - 3{x^2} + 4x + 260 = 0 \Leftrightarrow x = 10{\rm{ }}\) hoặc \(x = - \frac{{26}}{3}\) (loại).
Bảng biến thiên
Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài \(9\,dm\) và chiều rộng \(5\,dm\), người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét), sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí \(20\,\,000\) đồng/\(d{m^2}\); phần còn lại sơn màu trắng với chi phí \(10\,\,000\) đồng/\(d{m^2}\).
Phần giải chi tiết
Dựa vào đồ thị, ta thấy:
+ Parabol \(y = f\left( x \right)\) có đỉnh là \(A\left( {0;2} \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + 2\)
Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = f\left( x \right)\) nên \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{8}{x^2} + 2\)
+ Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh là \(B\left( {0; - 3} \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = b{x^2} - 3\)
Mặt khác, \(C\left( { - 4;0} \right)\) thuộc parabol \(y = g\left( x \right)\) nên \(y = g\left( x \right) = \frac{3}{{16}}{x^2} - 3\)
+ Diện tích logo hình con cá là: \({S_1} = \int_{ - 5}^4 {\left| {f\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|dx} = \frac{{1345}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)
+ Diện tích phần được sơn màu trắng là: \({S_2} = 9.5 - {S_1} = \frac{{815}}{{48}}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\)
+ Chi phí để trang trí là: \(20\,\,000.{S_1} + 10\,\,000.{S_2} \approx 730\,\,000\) (đồng).
