Giải SBT Toán 12 Tập 2 KNTT Bài tập cuối chương IV có đáp án
18 câu hỏi
\(\int {{x^2}} dx\)bằng:
A. 2x + C.
B. \(\frac{1}{3}\)x3 + C.
C. x3 + C.
D. 3x3 + C.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\int {{x^2}} dx\) = \(\frac{1}{3}\)x3 + C.
\(\int {\left( {{x^2} + 3{x^3}} \right)dx} \) có dạng \(\frac{a}{3}\)x3 + \(\frac{b}{4}\)x4 + C, trong đó a, b là hai số nguyên. Giá trị a + b bằng:
A. 4.
B. 2.
C. 5.
D. 6.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\int {\left( {{x^2} + 3{x^3}} \right)dx} \) = \(\int {{x^2}dx} + \int {3{x^3}dx} \) = \(\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^4}}}{4} + C\).
Vậy a = 1, b = 3.
Khi đó a + b = 4.
Cho \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 3} \) và \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \) = 7. Giá trị của \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \) là
A. 10.
B. 4.
C. −4.
D. 3.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \) = \(\int\limits_0^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^5 {f(x)dx} \) = 3 + 7 = 10.
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = 4} \). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^4 {2f\left( x \right)dx} \) là
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\int\limits_0^4 {2f\left( x \right)dx} \) = \(2\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} \) = 2.4 = 8.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ, f(0) = 1 và \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx = 4} \). Khi đó giá trị f(2) bằng
A. 5.
B. −3.
C. 6.
D. 8.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx = 4} \) = \(\left. {f(x)} \right|_0^2\)⇔ f(2) – f(0) = 4 ⇔ f(2) = 5.
Giá trị trung bình của hàm f(x) trên đoạn [a; b] được tính bởi công thức m = \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Khi đó, giá trị trung bình của hàm số f(x) = x2 + 2x trên đoạn [0; 3] là
A. \(\frac{8}{3}\).
B. 18.
C. 6.
D. 5.
Đáp án đúng là: C
Ta có: m = \(\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Với f(x) = x2 + 2x trên đoạn [0; 3], ta được
m = \(\frac{1}{{3 - 0}}\int\limits_0^3 {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \) = \(\left. {\frac{1}{3}\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)} \right|_0^3\) = 6.
Vậy m = 6.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và
f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức
A. S = \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
B. S = \( - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
C. S = \(\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
D. S = \(\pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có công thức: S = \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (do f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b]).
Một đất nước tiêu thụ dầu theo tốc độ xác định bởi r(t) = 20.e0,2t tỉ thùng mỗi năm, trong đó t là thời gian tính theo năm, 0 ≤ t ≤ 10. Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là
A. r(10).
B. r(10) – r(0).
C. \(\int\limits_0^{10} {r'\left( t \right)dt} \).
D. \(\int\limits_0^{10} {r\left( t \right)dt} \).
Đáp án đúng là: D
Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là \(\int\limits_0^{10} {r\left( t \right)dt} \).
Cho S là diện tích phần hình phẳng được tô màu như Hình 4.7.
Khi đó biểu thức tính diện tích S là
A. \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\).
B. \(S = \int\limits_a^m {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|} dx\).
C. \(S = \int\limits_a^m {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {g(x)} \right|} dx\).
D. \(S = \int\limits_a^m {\left| {g(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {f(x)} \right|} dx\).
Đáp án đúng là: C
Biểu thức tính diện tích S là \(S = \int\limits_a^m {\left| {f(x)} \right|} dx + \int\limits_m^b {\left| {g(x)} \right|} dx\).
Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ t có số lượng N(t) con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là N'(t) = \(\frac{{8000}}{t}\) và sau ngày thứ nhất (t = 1) có 250 000 con. Sau 6 ngày (t = 6), số lượng của quần thể vi khuẩn là
A. 353 584 con.
B. 234 167 con.
C. 288 959 con.
D. 264 334 con.
Đáp án đúng là: D
Ta có N(t) = \(\int {N'\left( t \right)dt = \int {\frac{{8000dt}}{t} = 8000\int {\frac{{dt}}{t}} } } \) = 8 000ln\(\left| t \right|\) + C.
Ngày thứ nhất, số lượng vi khuẩn là 250 000 con, nên N(1) = 250 000 con,
tức là C = 250 000.
Số lượng vi khuẩn sau 6 ngày là:
N(6) = 8 000.ln\(\left| 6 \right|\) + 250 000 ≈ 264 334 (con).
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);
b) y = e2x – 2x5 + 5.
a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\) = \(\frac{{1 - \cos x}}{2}\).
Ta có: \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx = \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C} } \).
b) Ta có: \(\int {\left( {{e^{2x}} - 2{x^5} + 5} \right)dx} \) = \(\int {{e^{2x}}dx - \int {2{x^5}dx + \int {5dx} } } \)
= \(\frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{3}{x^6} + 5x + C\).
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x − \(\frac{1}{x}\) thỏa mãn điều kiện F(1) = 3.
Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)dx = {x^2} - \ln \left| x \right| + C} } \).
Mà F(1) = 3 ⇒ 12 – ln1 + C = 3 ⇔ C = 2.
Vậy F(x) = x2 – ln\(\left| x \right|\) + 2.
Tính:
a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \);
b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \);
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \).
a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \) = \(\int\limits_0^3 {\left( { - x + 3} \right)dx} \) = \(\left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{2} + 3x} \right)} \right|_0^3\) = \(\frac{{{3^2}}}{2} + 3.3 - \frac{{{0^2}}}{2} - 3.0\) = \(\frac{9}{2}\).
b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \) = \(\left. {\left( {{e^x} - {x^4}} \right)} \right|_0^2\) = e2 – 24 – e0 + 04 = e2 – 17.
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \) = \(\left. {\left( { - \cos x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) = 2.
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x2 + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Diện tích hình phẳng hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x2 + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là:
S = \(\int\limits_0^2 {\left| {3{x^2} + 1} \right|dx = \int\limits_0^2 {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx = } \left. {\left( {{x^3} + x} \right)} \right|_0^2} \) = 10.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S = 10.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1 là:
V = \(\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}dx} \) = \(\left. {\pi \left( {\frac{1}{3}{x^3} + x} \right)} \right|_0^1\) = \(\frac{4}{3}\pi \).
Vậy thể tích khối tròn xoay là V = \(\frac{4}{3}\pi \).
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để \(\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx} > 0\)?
Ta có: \(\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx} \) = \(\left. {\left( {5{x^2} - 2mx} \right)} \right|_0^3\) = 5.32 – 6m = 45 – 6m.
Mà theo đề bài, \(\int\limits_0^3 {\left( {10x - 2m} \right)dx} > 0\) ⇔ 45 – 6m > 0 ⇔ m < \(\frac{{45}}{6}\)= 7,5.
Lại có m nhận giá trị nguyên dương, nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Có 7 giá trị nguyên dương m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ m có F(m) người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là F'(m) = \(\frac{{150}}{{2m + 1}}\) và ngày đầu tiên (m = 0) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của F(m) và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.
Từ giả thiết, ta có:
F(m) = \(\int {F'\left( m \right)dm = \int {\frac{{150}}{{2m + 1}}dm = 75\ln \left| {2m + 1} \right| + C} } \).
F(0) = C = 50.
Vậy F(m) = \(75\ln \left| {2m + 1} \right|\) + 50.
Số người mắc bệnh ngày thứ 10 là F(10) = \(75\ln \left| {2.10 + 1} \right| + 50\) ≈ 278.
Một ô tô đồ chơi trượt xuống dốc và dừng sau 5 giây, vận tốc của ô tô đồ chơi từ thời điểm t = 0 giây đến t = 5 giây được cho bởi công thức v(t) = \(\frac{1}{2}\)t2 – 0,1t3 (m/s).
Tính quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại (làm tròn kết quả theo đơn vị mét đến số thập phân thứ hai).
Quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại là:
S(t) = \(\int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt = \int\limits_0^5 {\left( {\frac{1}{2}{t^2} - 0,1{t^3}} \right)dt} } = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{6} - \frac{{0,1{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^5 = \frac{{{5^3}}}{6} - \frac{{0,{{1.5}^4}}}{4}\) ≈ 5,21 (m).
