⦁ Số trung bình cộng là:

 $\overline{x}=\frac{11\cdot 8+13\cdot 12+15\cdot 9+17\cdot 7+19\cdot 4}{40}=14,35\approx 14,4.$

⦁ Ta có:  $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20,$  $\frac{n}{4}=10,$  $\frac{3n}{4}=30.$

Vì 8 < 20 ≤ 20 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 2 là nhóm [12 ; 14) có r = 12, d  = 2, n₂ = 12 và nhóm 1 là nhóm [10 ; 12) có cf₁ = 8. Suy ra trung vị là:

 $M_e=12+\left(\frac{20-8}{12}\right)\cdot 2=14.$

Tứ phân vị thứ 2 là: Q₂ = M_e = 14.

⦁ Vì 8 < 10 < 20 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [12; 14) có s = 12, h  = 2, n₂ = 12 và nhóm 1 là nhóm [10 ; 12) có cf₁ = 8. Suy ra tứ phân vị thứ nhất là:

 $Q_1=12+\left(\frac{10-8}{12}\right)\cdot 2=12,\left(3\right)\approx 12,3.$

⦁ Vì 29 < 30 < 36 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [16 ; 18) có t = 16, l  = 2, n₄ = 7 và nhóm 3 là nhóm [14 ; 16) có cf₃ = 29. Suy ra tứ phân vị thứ ba là:

 $Q_3=16+\left(\frac{30-29}{7}\right)\cdot 2=16,\mathrm{28571429...}\approx 16,3.$

⦁ Ta thấy nhóm 2 ứng với nửa khoảng [12 ; 14) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 12, g = 2, n₂ = 12; nhóm 1 là nhóm [10; 12) có n₁ = 8 và nhóm 3 là nhóm [14 ; 16) có n₃ = 9. Suy ra mốt là:

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách từ 10 + 20 + 5 = 35 quyển sách cho ta một tổ hợp chập 3 của 35 phần tử. Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 3 của 35 phần tử và  $n\left(\Omega \right)=C_{35}^3=6545.$

Xét biến cố A: “Ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau”.

Ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau tức là trong 3 quyển sách đó có 1 quyển sách sinh học, 1 quyển sách khoa học và 1 quyển sách văn học.

Chọn 1 quyển sách sinh học từ 10 quyển có 10 cách, chọn 1 quyển sách khoa học từ 20 quyển có 20 cách, chọn 1 quyển sách văn học từ 5 quyển có 5 cách.

Suy ra: n(A) = 10.20.5 = 1 000.

Vậy xác suất để ba quyển sách được chọn đôi một thể loại khác nhau là:

 $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1000}{6545}=\frac{200}{1309}.$

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 4 bạn từ 10 bạn học sinh cho ta một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử.

Do đó, không gian mẫu Ω gồm các tổ hợp chập 4 của 10 phần tử và  $n\left(\Omega \right)=C_{10}^4=210.$

Xét biến cố A: “Trong 4 bạn được chọn, có ít nhất một bạn biết chơi cờ tướng, ít nhất một bạn biết chơi cờ vua”.

Khi đó biến cố đối của A là  $\overline{A}$ :“Bốn bạn được chọn chỉ chơi cờ tướng hoặc chỉ chơi cờ vua”.

Có 2 trường hợp có thể xảy ra của biến cố  $\overline{A}$

⦁ Trường hợp 1: Cả bốn bạn chỉ chơi cờ tướng. Suy ra số cách chọn là  $C_4^4=1.$

⦁ Trường hợp 2: Cả bốn bạn chỉ chơi cờ vua. Suy ra số cách chọn là  $C_6^4=15.$

Suy ra:  $n\left(\overline{A}\right)=1+15=16.$

Xác suất của biến cố  $\overline{A}$ là:  $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{16}{210}=\frac{8}{105}.$

Suy ra xác suất của biến cố A là:  $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{8}{105}=\frac{97}{105}.$

Xét các biến cố:

A: “Bạn An ném bóng vào rổ”;

B: “Bạn Bình ném bóng vào rổ;

C: “Có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ”.

Từ giả thiết, ta có: A, B là hai biến cố độc lập và P(A) = 0,6; P(B) = 0,9.

Suy ra: P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = 0,6 . 0,9 = 0,54.

Ta thấy: C = A ∪ B nên xác suất có ít nhất một bạn ném bóng vào rổ là:

P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,6 + 0,9 – 0,54 = 0,96.

Chú ý: Đối với bài toán này, ta có thể tính xác suất của biến cố C thông qua biến cố đối của biến cố C là: “Không có bạn nào ném bóng vào rổ”.

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 2 lá thăm từ 50 lá thăm cho ta một tổ hợp chập 2 của 50 phần tử và sau mỗi lần rút thì ghi kết quả và bỏ lại thăm vào hộp. Do đó, sau hai lần bốc thăm, số phần tử của không gian mẫu Ω là:  $n\left(\Omega \right)=C_{50}^2\cdot C_{50}^2.$

Xét biến cố A: “Bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe”.

Khi đó biến cố đối của A là  $\overline{A}$ :“ Bạn Nam không được trúng thưởng có tai nghe”.

Có 3 trường hợp có thể xảy ra của biến cố  $\overline{A}$:

+ Trường hợp 1: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 4 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn:  $C_{20}^2\cdot C_{20}^2.$

+ Trường hợp 2: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 1 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn:  $2!C_{30}^2\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1.$

+ Trường hợp 3: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, không có lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn:  $C_{30}^2\cdot C_{30}^2.$

Suy ra:  $n\left(\overline{A}\right)=C_{20}^2\cdot C_{20}^2+2!C_{30}^2\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1+C_{30}^2\cdot C_{30}^2=747325.$

Xác suất của biến cố  $\overline{A}$ là:  $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{747325}{C_{50}^2\cdot C_{50}^2}.$

Vậy xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe là:

 $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{747325}{C_{50}^2\cdot C_{50}^2}\approx 0,5.$

Chú ý: Đối với bài toán này, chúng ta có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố A như sau:

Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A:

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

 $n\left(A\right)=C_{20}^1\cdot C_{30}^1\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1+2C_{20}^2\cdot C_{20}^1+2C_{20}^2\cdot C_{20}^1\cdot C_{30}^1=753300.$

Vậy xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe là:

 $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{747325}{C_{50}^2\cdot C_{50}^2}\approx 0,5.$