(Đúng sai) 41 bài tập Phương trình đường thẳng (có lời giải)

b. Thế toạ độ điểm \[A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)\] vào đường thẳng \[d\] ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}1 = 6 - 4t\\1 =  - 2 - t\\1 =  - 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{4}\\t =  - 3\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow A \notin d\]

Chọn Sai

c. Mặt phẳng qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là

   \(4\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 2z - 3 = 0\).

Chọn đúng

d. Ta có \(A'\, \in d\) nên gọi \(A'\left( {\,6 - 4t\,;\, - 2 - t\,;\, - 1 + 2t} \right)\); \[\overrightarrow {AA'}  = \left( {5 - 4t\,;\, - 3 - t\,;\, - 2 + 2t} \right)\]; đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( { - 4\,;\, - 1\,;2} \right)\].

+\[AA' \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow \left( {5 - 4t} \right).\left( { - 4} \right) + \left( { - 3 - t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2 + 2t} \right).2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\]\[ \Rightarrow A'\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\].

Vậy \[A'\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)\].

Chọn đúng

b. Thế toạ độ điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\] vào đường thẳng \[d\] ta có : \(\frac{{1 - 1}}{2} \ne \frac{{0 + 2}}{1} \ne \frac{{0 - 1}}{2} \Rightarrow A \notin d\)

Chọn đúng

c) Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Chọn Sai

d. Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow a  = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;1} \right) \in d\).

Khi đó: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2;1} \right)\].

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)\).

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0\)

hay \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].

Chọn đúng

a. Điểm \(M\left( {0; - 2;3} \right)\) thuộc đường thẳng \[d\].

Chọn đúng

c. Đường thẳng \[d\] có phương trình tham số \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\].

Chọn đúng

d. Ta có:  \(I = d \cap \left( P \right)\) suy ra tọa độ của điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau

\[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 - t\\z = 3 - 2t\\2x + y - 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\\z = 1\\t = 1\end{array} \right.\].

Suy ra \[I\left( {1; - 3;1} \right)\]\[ \Rightarrow a = 1;\,b =  - 3;\,c = 1\].

Do đó \[a + 2b + 3c = 1 - 6 + 3 =  - 2\].

Chọn Sai

a. Phương trình chính tắc của đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\] có dạng \[\Delta :\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\] .

Chọn đúng

b. Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] và có một vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u  = \left( {a;b;c} \right)\] có dạng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\] .

Chọn đúng

c. Tích có hướng của hai vectơ \[\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \] là

\[\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\1&{ - 3}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 3}&5\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\5&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;13;6} \right)\].

Chọn Sai

d. Ta có \[\overrightarrow {MN}  = \left( {5;3;3} \right)\] và \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {MN}  = 1.5 + 13.3 + 6.3 = 62\]. Vậy hai đường thẳng \[\Delta \] và \[d\] chéo nhau.

Chọn đúng

a. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow a  = \left( { - 2;3;1} \right)\).

Chọn đúng

b. Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 1; - 2;3} \right)\).

Chọn đúng

c. Đường thẳng \(AB\) qua \(A\left( { - 1;2;7} \right)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;2; - 3} \right)\) nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.\).

Chọn đúng

d.

Đường thẳng \(d\) đi qua \({M_1}\left( {1;0; - 1} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 2;3;1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( { - 1;2;7} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 11; - 5; - 7} \right)\), \(\overrightarrow {{M_1}A}  = \left( { - 2;2;8} \right)\).

Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}A}  = ( - 11)( - 2) + ( - 5).2 + ( - 7).(8) =  - 44 \ne 0\). Do đó \(d\) và \(AB\) chéo nhau (1)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 2} \right).1 + 3.2 + 1.\left( { - 3} \right) = 1 \ne 0\) suy ra \(d\) và \(AB\) không vuông góc (2)

Vậy \(d\) và \(AB\) chéo nhau nhưng không vuông góc.

Chọn Sai

a. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Chọn đúng

b. Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Chọn Sai

c. Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {1;2;3} \right)\) và và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow n  = \left( {1;2; - 2} \right)\).

Do đó  \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\).

Chọn Sai

d.

+ \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 3; - 2} \right)\)

+ Đường thẳng \(\Delta \) qua \(B\), vuông góc với đường thẳng \(AB\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 10;4; - 1} \right)\), do đó \(\overrightarrow u  =  = \left( {10; - 4;1} \right)\) cũng là vec tơ chỉ phương của \(\Delta \).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{x}{{10}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{1}\).

Chọn đúng

a. Toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(BC\) là \(M\left( {1;1;1} \right)\).

Chọn đúng

b.

+ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 2;2;4} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 6 \).

Chọn Sai

c. Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) qua \[B\left( {2;0; - 1} \right)\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;1;2} \right)\] là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Chọn đúng

d. Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\). Khi đó \(a + b + c = 3\).

+ Do \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(BC\) nên \(H\left( {2 - t;t; - 1 + 2t} \right)\).

+ \(\overrightarrow {AH}  = \left( { - t + 1;t + 1;2t - 3} \right)\)

+ Do \(\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC}  \Rightarrow  - 2\left( { - t + 1} \right) + 2\left( {t + 1} \right) + 4\left( {2t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 12t = 12 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow a + b + c = 3\)

Chọn đúng

b. Thế toạ đô điểm \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) vào phương trình đường thẳng \[d\] ta có: \[\frac{{2 + 1}}{1} = \frac{{ - 1 - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{2} \Rightarrow A \notin d\]

Chọn Sai

c. Đường thẳng \[\Delta \] qua \[A\] và song song với \(d\)có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên có phương trình  tham số là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\].

Chọn đúng

d.

+ Đường thẳng \(d\) qua \(M\left( { - 1;2;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

+ \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3;3; - 2} \right)\).

+ \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 4; - 4;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

+ Mặt phẳng \[\left( P \right)\] qua \(A\left( {2; - 1;2} \right)\) và vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\) nên có phương trình là \(\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\).

Chọn Sai

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta '\) có tọa độ là \(\left( { - 1;\,0;\,1} \right)\);

Chọn Sai

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;3} \right)\);

Chọn đúng

c) Gọi \(\vec u\), \(\overrightarrow {u'} \) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\). Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\);

Chọn Sai

d) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,1;\,0} \right)\);

Đường thẳng \(\Delta '\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;\,0;\,1} \right)\);

Khi này \(\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.( - 1) + 1.0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}\)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {0; - 1;1} \right)\);

Chọn Sai

b) Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u' = \left( { - 1;\,1;1} \right)\). Ta thấy \(\vec x\), \(\vec u'\) không cùng phương.

Do vậy, \(\vec x = \left( {1; - 1;1} \right)\) không là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d'\);

Chọn Sai

c) \(\left| {\vec x} \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 3 \);

Chọn Sai

d) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\, - 1;2} \right)\);

Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u' = \left( { - 1;\,1;1} \right)\).

Ta thấy \(\vec u.\vec u' = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 2.1 = 0\)

Do vậy, hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

Chọn đúng

a) \(\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Chọn đúng

b) Trục \(Ox\) có vectơ đơn vị \(\vec i = \left( {1;\,0;\,0} \right)\)

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Khi đó \(\cos \varphi  = \frac{{\left| 1 \right|}}{{1.\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\);

Chọn đúng

c) Thay tọa độ của điểm \(E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)\) vào phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta thấy: \( - 1 - 2 + 2.1 \ne 1\)

Do đó, \(E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Chọn Sai

d) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

\(\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Khi đó \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\)

Do vậy, góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 30⁰.

Chọn đúng

a) Dựa vào phương trình đường thẳng, một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\).

Ta thấy \(\vec x\), \(\vec u\) cùng phương. Do đó, \(\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \);

Chọn đúng

b) Thay tọa độ của điểm \(M\) vào \(x\), \(y\), \(z\) của đường thẳng \(\Delta \), ta thấy:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\\ - 2 = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 5\end{array} \right.\)

Do vậy,\(M\left( {0;3; - 2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \);

Chọn đúng

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;\,2;\,1} \right)\).

Ta thấy \(\vec x\), \(\vec n\) không cùng phương. Do vậy, đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Chọn Sai

d) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\,\,\,(1)\\y = 2 - t\,\,(2)\\z = 3 + t\,\,(3)\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0\) (4)

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được: \(1 + t + 2(2 - t) + 3 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow 0t + 4 = 0\) - phương trình vô nghiệm

Do vây, Đường thẳng \(\Delta \) không cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Chọn Sai

a) Thay tọa độ của điểm \(F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)\) vào phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\), ta thấy:

\(0 + 2.( - 1) - 3 + 1 =  - \,4 \ne 0\)

Do vậy, \(F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)\) không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\);

Chọn đúng

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec j = \left( {0;\,1;\,0} \right)\)

Khi này, \(\cos \varphi  = \frac{{\left| 2 \right|}}{{1.\sqrt 6 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)\( \Rightarrow \sin \varphi  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi }  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\);

Chọn Sai

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Khi \(m = 2\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n' = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)\)

Do đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + 2.( - 1)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) bằng 60⁰ khi \(m = 2\);

Chọn đúng

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)\)

Khi \(m = 1\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n' = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)\)

Khi đó \(\vec n.\vec n' = 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).(1) =  - 2 \ne 0\).

Do vậy, hai mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) không vuông góc với nhau khi \(m = 1\).

Chọn Sai

c) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {0;\,3;\, - 4} \right)\), \(\overrightarrow {AD}  = \left( {3;\,0;\, - 4} \right)\)

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 12;\, - 12;\, - 9} \right) =  - 3\left( {4;4;3} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) là \({\vec n_2} = \left( {4;4;3} \right)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\). Khi đó: \(\cos \varphi  = \frac{{\left| {4.4 - 4.4 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {41} }} = \frac{9}{{41}}\);

Chọn đúng

b) Vì \(OB\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(OB = 2\sqrt 3 \)\( \Rightarrow B'\left( {2\sqrt 3 ;\,0;\,6} \right)\);

Chọn Sai

c)\(A'\left( {0; - 2;7} \right)\), \(B'\left( {2\sqrt 3 ;\,0;\,6} \right)\), \(C'\left( {0;\,2;\,5} \right)\)

\[\overrightarrow {A'B'}  = \left( {2\sqrt 3 ;\,2;\, - 1} \right)\], \[\overrightarrow {A'C'}  = \left( {0;\,4;\, - 2} \right)\]

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \left( {0;1;2} \right)\)

Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\vec u = \left( {0;1;2} \right)\);

Chọn đúng

d) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sàn nhà \(\vec j = \left( {0;\,0;\,1} \right)\)

b) Chọn đúng

Đường thẳng $d: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-2}{-1}$ có một vectơ chỉ phương là \[{\vec u_d} = \left( {3;4; - 1} \right)\].

\[\vec u \ne {\vec u_d}\]

\[\vec u = \left( { - 3; - 4;1} \right) =  - \left( {3;4; - 1} \right) =  - {\vec u_d}\]

\[\vec u = \left( { - 6; - 8;2} \right) =  - 2\left( {3;4; - 1} \right) =  - 2{\vec u_d}\]

Đường thẳng $d: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-2}{-1}$ có một vectơ chỉ phương là \[{\vec u_d} = \left( {3;4; - 1} \right)\].

\[\vec u \ne {\vec u_d}\]

\[\vec u = \left( { - 3; - 4;1} \right) =  - \left( {3;4; - 1} \right) =  - {\vec u_d}\]

\[\vec u = \left( { - 6; - 8;2} \right) =  - 2\left( {3;4; - 1} \right) =  - 2{\vec u_d}\]

d) Chọn đúng

Đường thẳng $d: \frac{x-2}{3}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-2}{-1}$ có một vectơ chỉ phương là \[{\vec u_d} = \left( {3;4; - 1} \right)\].

\[\vec u \ne {\vec u_d}\]

\[\vec u = \left( { - 3; - 4;1} \right) =  - \left( {3;4; - 1} \right) =  - {\vec u_d}\]

\[\vec u = \left( { - 6; - 8;2} \right) =  - 2\left( {3;4; - 1} \right) =  - 2{\vec u_d}\]

Thay \[M\left( {7; - 3; - 1} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}7 = 3 + 4t\\ - 3 =  - 1 - 2t\\ - 1 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \notin d\]

Thay \[N\left( { - 1;1; - 5} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 3 + 4t\\1 =  - 1 - 2t\\ - 5 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \in d\]

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] là \[\vec u = \left( {4; - 2;3} \right)\].   

\[\vec u = \left( { - 4;2; - 3} \right) =  - \left( {4; - 2;3} \right)\]

Thay \[M\left( {7; - 3; - 1} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}7 = 3 + 4t\\ - 3 =  - 1 - 2t\\ - 1 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \notin d\]

Thay \[N\left( { - 1;1; - 5} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 3 + 4t\\1 =  - 1 - 2t\\ - 5 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \in d\]

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] là \[\vec u = \left( {4; - 2;3} \right)\].   

\[\vec u = \left( { - 4;2; - 3} \right) =  - \left( {4; - 2;3} \right)\]

c) Chọn đúng

Thay \[M\left( {7; - 3; - 1} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}7 = 3 + 4t\\ - 3 =  - 1 - 2t\\ - 1 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \notin d\]

Thay \[N\left( { - 1;1; - 5} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 3 + 4t\\1 =  - 1 - 2t\\ - 5 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \in d\]

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] là \[\vec u = \left( {4; - 2;3} \right)\].   

\[\vec u = \left( { - 4;2; - 3} \right) =  - \left( {4; - 2;3} \right)\]

d) Chọn đúng

Thay \[M\left( {7; - 3; - 1} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}7 = 3 + 4t\\ - 3 =  - 1 - 2t\\ - 1 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\\t = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \notin d\]

Thay \[N\left( { - 1;1; - 5} \right)\] vào đường thẳng \[d\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 3 + 4t\\1 =  - 1 - 2t\\ - 5 =  - 2 + 3t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {7; - 3; - 1} \right) \in d\]

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] là \[\vec u = \left( {4; - 2;3} \right)\].   

\[\vec u = \left( { - 4;2; - 3} \right) =  - \left( {4; - 2;3} \right)\]

Gọi \(d\) là phương trình đường thẳng qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và song song với \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).

Đường thẳng đi \[B\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\) có phương trình là \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\]                             

\[M\left( {2\,;3\,;1} \right) \in BC,N\left( {3\,;5\,;0} \right) \in BC\]

b) Chọn đúng

Gọi \(d\) là phương trình đường thẳng qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và song song với \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).

Đường thẳng đi \[B\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\) có phương trình là \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\]                             

\[M\left( {2\,;3\,;1} \right) \in BC,N\left( {3\,;5\,;0} \right) \in BC\]

Gọi \(d\) là phương trình đường thẳng qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và song song với \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).

Đường thẳng đi \[B\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\) có phương trình là \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\]                             

\[M\left( {2\,;3\,;1} \right) \in BC,N\left( {3\,;5\,;0} \right) \in BC\]

Gọi \(d\) là phương trình đường thẳng qua \(A\left( {1;2;0} \right)\) và song song với \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).

Đường thẳng đi \[B\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\) có phương trình là \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}.\]                             

\[M\left( {2\,;3\,;1} \right) \in BC,N\left( {3\,;5\,;0} \right) \in BC\]

a) Chọn Sai

Gọi \((\Delta )\) là đường thẳng cần tìm. Vì đường thẳng \((\Delta )\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên vectơ chỉ phương của \((\Delta )\) là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(1;2; - 1)\) và có \({\mathop{\rm vtcp}\nolimits} \overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2;1; - 3)\)

là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\).

\(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3) =  - ( - 2; - 1;3)\)

Đường thẳng đi qua \(d\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

Gọi \((\Delta )\) là đường thẳng cần tìm. Vì đường thẳng \((\Delta )\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên vectơ chỉ phương của \((\Delta )\) là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(1;2; - 1)\) và có \({\mathop{\rm vtcp}\nolimits} \overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2;1; - 3)\)

là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\).

\(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3) =  - ( - 2; - 1;3)\)

Đường thẳng đi qua \(d\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

Gọi \((\Delta )\) là đường thẳng cần tìm. Vì đường thẳng \((\Delta )\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên vectơ chỉ phương của \((\Delta )\) là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(1;2; - 1)\) và có \({\mathop{\rm vtcp}\nolimits} \overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2;1; - 3)\)

là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\).

\(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3) =  - ( - 2; - 1;3)\)

Đường thẳng đi qua \(d\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

Gọi \((\Delta )\) là đường thẳng cần tìm. Vì đường thẳng \((\Delta )\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên vectơ chỉ phương của \((\Delta )\) là: \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \((\Delta )\) đi qua điểm \(M(1;2; - 1)\) và có \({\mathop{\rm vtcp}\nolimits} \overrightarrow {{u_\Delta }}  = (2;1; - 3)\)

là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 3}}\).

\(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (2;1; - 3) =  - ( - 2; - 1;3)\)

Đường thẳng đi qua \(d\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\).

a) Chọn đúng

\[m > \frac{{15}}{2}\]có VTCP \[m < \frac{5}{2}\]và đi qua \[m = \frac{{15}}{2}\]

\[m = \frac{5}{2}\]có VTCP \[\frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}\]và đi qua \[m \in \mathbb{R}\]

Từ đó ta có

$\underset{MM\text{'}}{\to }=(5; -8; -5)$ và $[\underset{u}{\to },\underset{u\text{'}}{\to }=(9; 10; 7) \ne 0$

Lại có \[{(2 + t - 1)^2} + {(1 + mt + 3)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\]

Suy ra \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1 + t)^2} + {(4 + mt)^2} + {( - 2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2(5 + 4m)t + 20 = 0{\rm{     (1)}}\end{array}\] cắt d’.

Từ đó suy ra giao điểm I của d và d’ là I(1; -2; 4).    

a) Chọn đúng

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1} = \left( {3; - 1; - 1} \right)\) và có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2} = \left( {0;0;1} \right)\) và có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Do \[\overrightarrow {{u_1}}  = {\overrightarrow u _2}\] và \({M_1} \notin {d_1}\) nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau.

Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 3;1;2} \right)\), \(\left[ {{{\overrightarrow u }_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\)\( =  - 5\left( {1;1;1;} \right)\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và \({d_2}\) khi đó \(\left( \alpha  \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(x + y + z - 1 = 0\).

Gọi \(A = {d_3} \cap \left( \alpha  \right)\) thì \(A\left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(B = {d_4} \cap \left( \alpha  \right)\) thì \(B\left( { - 1;2;0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3; - 1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) nên đường thẳng \(AB\) cắt hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1} = \left( {3; - 1; - 1} \right)\) và có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2} = \left( {0;0;1} \right)\) và có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Do \[\overrightarrow {{u_1}}  = {\overrightarrow u _2}\] và \({M_1} \notin {d_1}\) nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau.

Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 3;1;2} \right)\), \(\left[ {{{\overrightarrow u }_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\)\( =  - 5\left( {1;1;1;} \right)\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và \({d_2}\) khi đó \(\left( \alpha  \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(x + y + z - 1 = 0\).

Gọi \(A = {d_3} \cap \left( \alpha  \right)\) thì \(A\left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(B = {d_4} \cap \left( \alpha  \right)\) thì \(B\left( { - 1;2;0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3; - 1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) nên đường thẳng \(AB\) cắt hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1} = \left( {3; - 1; - 1} \right)\) và có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2} = \left( {0;0;1} \right)\) và có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Do \[\overrightarrow {{u_1}}  = {\overrightarrow u _2}\] và \({M_1} \notin {d_1}\) nên hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau.

Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( { - 3;1;2} \right)\), \(\left[ {{{\overrightarrow u }_1},\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \left( { - 5; - 5; - 5} \right)\)\( =  - 5\left( {1;1;1;} \right)\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và \({d_2}\) khi đó \(\left( \alpha  \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(x + y + z - 1 = 0\).

Gọi \(A = {d_3} \cap \left( \alpha  \right)\) thì \(A\left( {1; - 1;1} \right)\).

Gọi \(B = {d_4} \cap \left( \alpha  \right)\) thì \(B\left( { - 1;2;0} \right)\).

Do \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3; - 1} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;1} \right)\) nên đường thẳng \(AB\) cắt hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

b) Chọn Sai

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3; - 1;4)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;4;5)\). Phương trình của \(d\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y =  - 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.\)

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right) =  - 1\left( {1;\; - 3;\; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có PT:\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\]

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;\; - 3;\; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có PT:\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\]

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right) =  - 1\left( {1;\; - 3;\; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có PT:\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\] \

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;\; - 3;\; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có PT:\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\]

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right) =  - 1\left( {1;\; - 3;\; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1;\;3;\;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có PT:\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\]

Đường thẳng \(MN\) qua \(N\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;\; - 3;\; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có PT:\[\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 3}}{2}\]

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2; - 3)\) nhận véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\) nên có phương trình dạng chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\)

Ta có  \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 2}} = \frac{{2 - y}}{1} = \frac{{ - z - 3}}{{ - 1}}\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2; - 3)\) nhận véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\) nên có phương trình dạng chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\)

Ta có  \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 2}} = \frac{{2 - y}}{1} = \frac{{ - z - 3}}{{ - 1}}\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2; - 3)\) nhận véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;1} \right)\) nên có phương trình dạng chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\)

Ta có  \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 2}} = \frac{{2 - y}}{1} = \frac{{ - z - 3}}{{ - 1}}\)

d) Chọn Đúng

Ta có đường thẳng \[\Delta \] song song với  đường thẳng \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] nên có vec tơ chỉ phương \[{\vec u_\Delta } = {\vec u_d} = \left( { - 2; - 3;1} \right) =  - \left( {2;3; - 1} \right)\]

Do vậy đường thẳng đi qua A và song song với \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] có phương trình là:

$\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=2-3t\\ z=3+t\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}\right.$ hoặc $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$

b) Chọn đúng

Ta có đường thẳng \[\Delta \] song song với  đường thẳng \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] nên có vec tơ chỉ phương \[{\vec u_\Delta } = {\vec u_d} = \left( { - 2; - 3;1} \right) =  - \left( {2;3; - 1} \right)\]

Do vậy đường thẳng đi qua A và song song với \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] có phương trình là:

c) Chọn đúng

Ta có đường thẳng \[\Delta \] song song với  đường thẳng \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] nên có vec tơ chỉ phương \[{\vec u_\Delta } = {\vec u_d} = \left( { - 2; - 3;1} \right) =  - \left( {2;3; - 1} \right)\]

Do vậy đường thẳng đi qua A và song song với \[\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;1} \right)\] có phương trình là:

Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4;1} \right) =  - \left( { - 2;4; - 1} \right)\).

Phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)  hoặc  \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4;1} \right) =  - \left( { - 2;4; - 1} \right)\).

Phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)  hoặc  \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4;1} \right) =  - \left( { - 2;4; - 1} \right)\).

Phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)  hoặc  \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

d) Chọn Sai

Véctơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4;1} \right) =  - \left( { - 2;4; - 1} \right)\).

Phương trình cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)  hoặc  \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 4}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Đường thẳng đi qua \[A\left( {1;1;0} \right)\], song song với BC nên nhận \[\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\left( { - 4; - 2;2} \right)\] là véc tơ chỉ phương

Do đó có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\)  hoặc  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Đường thẳng đi qua \[A\left( {1;1;0} \right)\], song song với BC nên nhận \[\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\left( { - 4; - 2;2} \right)\] là véc tơ chỉ phương

Do đó có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\)  hoặc  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Đường thẳng đi qua \[A\left( {1;1;0} \right)\], song song với BC nên nhận \[\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\left( { - 4; - 2;2} \right)\] là véc tơ chỉ phương

Do đó có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\)  hoặc  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Đường thẳng đi qua \[A\left( {1;1;0} \right)\], song song với BC nên nhận \[\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\left( { - 4; - 2;2} \right)\] là véc tơ chỉ phương

Do đó có phương trình là: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\)  hoặc  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 2 + 4t\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

Ta có: \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {1;1;0} \right)\), \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]. Khi đó:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}}\\{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{(Oxy)}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}}} \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\]. Vậy \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - t\\z =  - 1\end{array} \right.\).

Ta có: \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {1;1;0} \right)\), \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]. Khi đó:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}}\\{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{(Oxy)}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}}} \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\]. Vậy \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - t\\z =  - 1\end{array} \right.\).

Ta có: \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {1;1;0} \right)\), \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]. Khi đó:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}}\\{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{(Oxy)}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}}} \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\]. Vậy \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - t\\z =  - 1\end{array} \right.\).

Ta có: \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {1;1;0} \right)\), \({\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} = \left( {0;0;1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) đồng thời song song với \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]. Khi đó:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}}\\{{{\overrightarrow u }_d} \bot {{\overrightarrow n }_{(Oxy)}}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( {Oxy} \right)}}} \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\]. Vậy \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - t\\z =  - 1\end{array} \right.\).

\((P):x - 2y + 4z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\)

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) nhận \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 1}} = \frac{{ - y - 3}}{2} = \frac{{ - z - 2}}{{ - 4}}\)

\((P):x - 2y + 4z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\)

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) nhận \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 1}} = \frac{{ - y - 3}}{2} = \frac{{ - z - 2}}{{ - 4}}\)

\((P):x - 2y + 4z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\)

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) nhận \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 1}} = \frac{{ - y - 3}}{2} = \frac{{ - z - 2}}{{ - 4}}\)

\((P):x - 2y + 4z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\)

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((P)\) nhận \(\vec n = (1; - 2;4) =  - ( - 1;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4}\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - t\\y = 3 + 2t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{4} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{{ - 1}} = \frac{{ - y - 3}}{2} = \frac{{ - z - 2}}{{ - 4}}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\),  \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\).

$[\underset{AB}{\to },\underset{AC}{\to }] = (-6; -10; 4)$.\[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\].

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;2} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 2}}{2}\) hoặc \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\),  \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\). $[\underset{AB}{\to }, \underset{AC}{\to }]$= (-6; -10; 4) .\[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\].

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;2} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 2}}{2}\) hoặc \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\),  \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\). $[\underset{AB}{\to },\underset{AC}{\to }]$= (-6; -10; 4) .\[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\].

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;2} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 2}}{2}\) hoặc \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 4} \right)\),  \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\). $[\underset{AB}{\to }, \underset{AC}{\to }]$ = (-6; -10; 4) .\[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\]

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {6; - 10; - 4} \right) =  - 2\left( { - 3;5;2} \right)\].

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;2} \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 2}}{2}\) hoặc \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;3} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AD}  = \left( { - 4; - 3; - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 8; - 6; - 2} \right)\)

Đường thẳng qua \(C\left( {2; - 1;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 4 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 8t\\y =  - 4 - 6t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;3} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AD}  = \left( { - 4; - 3; - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 8; - 6; - 2} \right)\)

Đường thẳng qua \(C\left( {2; - 1;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 4 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 8t\\y =  - 4 - 6t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;3} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AD}  = \left( { - 4; - 3; - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 8; - 6; - 2} \right)\)

Đường thẳng qua \(C\left( {2; - 1;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 4 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 8t\\y =  - 4 - 6t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2;2} \right)\\\overrightarrow {AD}  = \left( {0; - 1;3} \right)\end{array}\)

\(\overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AD}  = \left( { - 4; - 3; - 1} \right) = \frac{1}{2}\left( { - 8; - 6; - 2} \right)\)

Đường thẳng qua \(C\left( {2; - 1;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) có phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 4t\\y =  - 4 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 8t\\y =  - 4 - 6t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - z + 1 = 0\\2x - y + z - 7 = 0\end{array} \right.\).

Với \(y = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 1\\2x + z = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0;3} \right) \in d\)

Với \(y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 10\\2x + z = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\z = 10\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;3;10} \right) \in d\).

Vậy đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;7} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{7}\).

Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - z + 1 = 0\\2x - y + z - 7 = 0\end{array} \right.\).

Với \(y = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 1\\2x + z = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0;3} \right) \in d\)

Với \(y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 10\\2x + z = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\z = 10\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;3;10} \right) \in d\).

Vậy đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;7} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{7}\).

Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - z + 1 = 0\\2x - y + z - 7 = 0\end{array} \right.\).

Với \(y = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 1\\2x + z = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0;3} \right) \in d\)

Với \(y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 10\\2x + z = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\z = 10\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;3;10} \right) \in d\).

Vậy đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;7} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{7}\).

Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - z + 1 = 0\\2x - y + z - 7 = 0\end{array} \right.\).

Với \(y = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 1\\2x + z = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0;3} \right) \in d\)

Với \(y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - z =  - 10\\2x + z = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\z = 10\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;3;10} \right) \in d\).

Vậy đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3;7} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 3}}{7}\).

a) Chọn Sai

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)

 $\cos \alpha =\frac{\left|2.1-1.\left(-1\right)+2.0\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^0$

Thay vào  mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta có: \(2.0 - 5 + 2.0 + 5 = 0 \Rightarrow M \in \left( P \right)\)