75 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương trình đường thẳng có đáp án - Đề 3

Đặt không gian \[Oxyz\] với \(A \equiv O(0;0;0),{\rm{ }}AB \equiv Ox,{\rm{ }}AD \equiv Oy,{\rm{ }}AS \equiv Oz\).

Ta có: \(S(0;0;a),{\rm{ }}B(a;0;0),{\rm{ }}D(0;2a;0),{\rm{ }}C(a;a;0)\).

\(M(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}),{\rm{ }}N(\frac{a}{2};\frac{{3a}}{2};0)\)

\(\overrightarrow {MN}  = (0;\frac{{3a}}{2};\frac{{ - a}}{2})\)

\[\overrightarrow {AS}  = (0;0;a),\overrightarrow {{\rm{ }}AC}  = (a;a;0)\]

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0)\] là vtpt của mặt phẳng \((SAC)\).

\(\sin (MN;(SAC)) = \frac{{\overrightarrow {MN} .{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{(SAC)}}} \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{2}}}{{\sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} .\sqrt {{a^4} + {a^4}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{10}}\).

Ta có \[BC \bot \left( {SAB} \right)\]\[ \Rightarrow BC \bot AM\]\[ \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)\]\[ \Rightarrow AM \bot SC\]. Tương tự ta cũng có \[AN \bot SC\]\[ \Rightarrow \left( {AMN} \right) \bot SC\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa đường thẳng \[SB\] và \[\left( {AMN} \right)\].

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {0;1;0} \right)\], \[D\left( {1;0;0} \right)\], \[S\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\],

\[C\left( {1;1;0} \right)\], \[\overrightarrow {SC}  = \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right)\], \[\overrightarrow {SB}  = \left( {0;1; - \sqrt 2 } \right)\]. Do \[\left( {AMN} \right) \bot SC\] nên \[\left( {AMN} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {SC} \]

$\sin \phi =\frac{\left|3\right|}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi ={60}^{\text{o}}$

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Khi đó, ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right) = a\left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\), nên đường thẳng \(BD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {a;0; - a} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {{a^2}\sqrt 3 ;0;{a^2}\sqrt 3 } \right)\)\( = {a^2}\sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)\).

Như vậy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)\).

Do đó, \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì

\(\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \sqrt 3 .0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 3 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Gắn hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ \( \Rightarrow P\left( {0;0;0} \right),\,A\left( {3;0;0} \right),\,B\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right),\,C\left( {0; - \sqrt 3 ;0} \right),\,A'\left( {3;0;2} \right),\,B'\left( {0;\sqrt 3 ;2} \right),\,C'\left( {0; - \sqrt 3 ;2} \right)\)

nên \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right),\,N\left( {\frac{3}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right)\)

Ta có vtpt của mp\(\left( {AB'C'} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {2;0;3} \right)\) và vtpt của mp\(\left( {MNP} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;0; - 3} \right)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và mp\(\left( {MNP} \right)\)\( \Rightarrow c{\rm{os}}\varphi  = \left| {c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {8 - 9} \right|}}{{\sqrt {13} \sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)

Gọi \[H\] là trung điểm \[BC\], \[BC = a\sqrt 3 \], \[AH = \frac{a}{2}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[H\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {\frac{a}{2};0;0} \right)\], \[B\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[C\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\],

\[M\left( {0;0;a} \right)\], \[N\left( {0; - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2}} \right)\]. Gọi \[\varphi \] là góc giữa mặt phẳng\(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

\(\left( {AMN} \right)\) có một vtpt \[\vec n = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right]\]\[ = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\]

\(\left( {ABC} \right)\) có một vtpt \[\overrightarrow {HM} \]\[ = \left( {0;0;1} \right)\], từ đó \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\vec n.\overrightarrow {HM} } \right|}}{{\left| {\vec n} \right|HM}}\]\[ = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{1.1}}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].

Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho \[a = 1\] sao cho \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {0;1;0} \right)\], \[D\left( {1;0;0} \right)\], \[S\left( {0;0;2} \right)\]

Ta có \[M\] là trung điểm \[SD\]\[ \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\], \[C\left( {1;1;0} \right)\].

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC}  = \left( {1;1;0} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1;\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {AMC} \right)\] có một vtpt \[\vec n = \left( { - 2;2;1} \right)\]

\[\overrightarrow {SB}  = \left( {0;1; - 2} \right)\], \[\overrightarrow {SC}  = \left( {1;1; - 2} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;2;1} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {SBC} \right)\] có một vtpt \[\vec k = \left( {0;2;1} \right)\]

Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] thì \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec n} \right|}}\]\[ = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]

Do \[\tan \alpha  > 0\] nên \[\tan \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} \]\[ = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Khi đó

\(S\left( {0;\,0;\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\); \(A\left( {\frac{{ - a}}{2};0;\,0} \right)\); \(B\left( {\frac{a}{2};0;\,0} \right)\);\(C\left( {\frac{a}{2};a;\,0} \right)\); \(D\left( {\frac{{ - a}}{2};a;\,0} \right)\)

suy ra \(G\left( {0;\,0;\,\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)\); \(M\left( {\frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\); \(N\left( { - \frac{a}{4};\frac{a}{2};\,\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

Ta có mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;\,0;\,1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {GM} ;\,\overrightarrow {GN} } \right] = \left( {0;\, - \frac{{a\sqrt 3 }}{{24}};\,\frac{a}{4}} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {GMN} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), ta có

\[{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec k} \right|}}\]\[ = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{{\sqrt {39} }}{{24}}}}\]\[ = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\].