24 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương trình đường thẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án
24 câu hỏi
Đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{6} = \frac{{z - 1}}{9}\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {6;3;9} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3;9;6} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;3} \right)\).
Đáp án đúng: D
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;6;9} \right) = 3\left( {1;2;3} \right) = 3\overrightarrow {{u_4}} \).
Suy ra \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;2;3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Đáp án đúng: A
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2;3} \right)\).
Cho đường thẳng △ đi qua điểm M(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;1} \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng △ là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t\\y = - 6t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng: B
Đường thẳng △ đi qua điểm M(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.\). Phương trình chính tắc của d là
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
\(x - 2 = y = z + 1\).
\(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}\).
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{5}\).
Đáp án đúng: A
Phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng AB với A(1; −2; 5) và B(3; 1; 1) là
\(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 5}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{5}\).
\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 5}}{1}\).
Đáp án đúng: C
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\).
Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; −2; 5) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}\).
Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( { - 2; - 1;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z + 5 = 0\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 1 - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right) = - \left( { - 1;2; - 2} \right) = - \overrightarrow n \)là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2; - 2} \right)\)làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{3}\)?
\(P\left( { - 1;2;1} \right)\).
\(Q\left( {1; - 2; - 1} \right)\).
\(N\left( { - 1;3;2} \right)\).
\(M\left( {1;2;1} \right)\).
Đáp Thay tọa độ điểm P vào phương trình đường thẳng d ta được \(\frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} = \frac{{2 - 2}}{3} = \frac{{1 - 1}}{3} = 0\).
Do đó P ∈ d.
Đáp án đúng: A
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 7}}{{ - 2}}\). Đường thẳng đi qua A và song song với d có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = - 3 - 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = - 7 + 3t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = - 2 + 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng: C
Đường thẳng d có \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
Vì đường thẳng đi qua A và song song với d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 5 - 2t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
song song.
trùng nhau.
cắt nhau.
chéo nhau.
Đáp án đúng: C
Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1;4} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và đường thẳng d' đi qua M'(6; −1; −2).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( {5; - 8; - 5} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {9;10; - 7} \right)\).
Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MM'} = 9.5 + 10.\left( { - 8} \right) + \left( { - 7} \right).\left( { - 5} \right) = 0\).
Suy ra d và d' cắt nhau.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = - 5 + 3t\\z = 4 + t\end{array} \right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
song song.
trùng nhau.
cắt nhau.
chéo nhau.
Đáp án đúng: D
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng d đi qua điểm M'(0; −5; 4) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;3;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 1; - 7;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 4;2} \right)\).
Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 7} \right) + 2.4 = 41 \ne 0\).
Suy ra d và d' chéo nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 1 + 4t\\z = 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 4}} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
30°.
90°.
0°.
60°.
Đáp án đ Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;4;3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 4; - 3} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.
Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 4.\left( { - 4} \right) + 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{26}}{{26}} = 1\).
Suy ra (d1, d2) = 0°.
Đáp án đúng: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Đáp á Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng: A
Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng
45°.
60°.
90°.
120°.
Đáp án đúng: C
Vì Oy ⊥ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng
60°.
135°.
45°.
90°.
Đáp án đúng: C
Ta có \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz), \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Khi đó \(\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) .
Suy ra ((Oxz), (P)) = 45°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\)và mặt phẳng (P): \(2x + y - 2z + 1 = 0\). Gọi N là điểm thuộc Δ và có hoành độ bằng 2.
(a) Điểm M(0; 1; −1) thuộc Δ.
(b) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)\).
( c) Tung độ của N là 2.
(d) Khoảng cách từ N đến (P) là \(d = \frac{{16}}{3}\).
a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ta được \[\left\{ \begin{array}{l}0 = t\\1 = 1\\ - 1 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow t = 0\] (đúng).
Suy ra M ∈ △.
b) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 2} \right)\).
c) Điển N có hoành độ bằng 2 suy ra \(t = 2\)
Tọa độ điểm N là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = - 5\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;1; - 5} \right)\].
Tung độ của N là 1.
d) \(d\left( {N,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.\left( { - 5} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{3}\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 3), B(2; −1; 0), C(−1; −1; 4), \(D\left( {3;1; - 2} \right)\). Khi đó
(a) Đường thẳng đi qua AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 6; - 6} \right)\).
(b) Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.
(c) Góc giữa đường thẳng AB và AD là 33° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
(d) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) là 20° (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6; - 6} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow u \).
Do đó đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 6; - 6} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {CD} = \left( {4;2; - 6} \right)\).
Có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 1.4 + \left( { - 3} \right).2 + \left( { - 3} \right).\left( { - 6} \right) = 16 \ne 0\).
Do đó đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng CD.
c) Có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2; - 1; - 5} \right)\).
Có \(\cos \left( {AB,AD} \right) = \frac{{\left| {1.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {570} }} \Rightarrow \left( {AB,AD} \right) \approx 33^\circ \).
d) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;0;4} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {1;2; - 2} \right),\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 8; - 2; - 6} \right) = - 2\left( {4;1;3} \right) = 2\overrightarrow n \).
Mặt phẳng (BCD) nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.4 - 3.1 - 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{4^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {494} }}\) \( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) \approx 21^\circ \).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 1 + 2t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y + z - 2 = 0\). Khi đó
(a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ là (3; 1; −2).
(b) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là 4° (làm tròn đến đơn vị của độ).
(c) Điểm M(1; 5; 6) là điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
(d) Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình \(6x + 13y - 5z - 41 = 0\).
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;4} \right)\).
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1;1} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.3 + 2.\left( { - 1} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {231} }}\)\( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 4^\circ \).
c) Ta có M = d (P).
Vì M d \( \Rightarrow M\left( {3 - t;1 + 2t; - 2 + 4t} \right)\).
Mà M (P) nên \(3\left( {3 - t} \right) - \left( {1 + 2t} \right) - 2 + 4t - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 4\).
Suy ra \(M\left( { - 1;9;14} \right)\).
d) Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {6;13; - 5} \right)\).
Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;13; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(6\left( {x + 1} \right) + 13\left( {y - 9} \right) - 5\left( {z - 14} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6x + 13y - 5z - 41 = 0\).
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).
( a) Đường thẳng đi qua điểm A(1; −1; 0).
(b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 6; - 4} \right)\).
(c) Đường thẳng d song song với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\).
(d) Đường thẳng d và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) chéo nhau.
a) Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 0).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;2} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow u \).
Suy ra \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 6; - 4} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
c) Có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
Do \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương nên đường thẳng d và đường thẳng không song song với nhau.
d) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;2} \right)\).
Đường thẳng d' đi qua M'(−3; 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4; - 1;3} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 4;3;1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right] = \left( {11;2; - 14} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right].\overrightarrow {MM'} = 11.\left( { - 4} \right) + 2.3 + \left( { - 14} \right).1 = - 52 \ne 0\).
Suy ra d và d' chéo nhau.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 6y - 3z + 2024 = 0\).
(a) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\).
(b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\).
(c) Góc giữa Δ và (P) là 90°.
(d) Lấy tùy ý hai điểm phân biệt A, B ∈ △. Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P). Khi đó A'B' = 2024.
a) Một vectơ chỉ phương của là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\) .
b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) .
c) \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\) .
Vậy ( , (P)) = 90°.
d) Vì (P) nên A' trùng B'. Do đó A'B' = 0.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; −3; 1), \(B\left( { - 3; - 4;2} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).
Có \(\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng CA.
Có \(\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{145}}{{10\sqrt {507} }}\).
Suy ra \(\left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) \approx 40^\circ \).
Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi khoảng 40°.
Trả lời: 40.
Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0; 0; 0), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 500; - 250;150} \right),B\left( { - 200; - 200;100} \right)\). Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là (a; b; c). Giá trị của biểu thức \( - 3a - b - c\) là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {6;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Phương trình đường thẳng AB là \(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).
Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng AB thì OH là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó \(H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = \left( {6t - 500} \right).6 + \left( {t - 250} \right).1 + \left( { - t + 150} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{{19}}\).
Suy ra tọa độ của vị trí máy bay khi đó là \(\left( {\frac{{700}}{{19}}; - \frac{{3050}}{{19}};\frac{{1150}}{{19}}} \right)\).
Vậy \( - 3a - b - c = - \frac{{200}}{{19}} \approx - 11\).
Trả lời: −11.
Một robot di chuyển theo đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Mặt tường của nhà kho có phương trình \(\left( P \right):x + y + z = 2\). Tọa độ điểm mà robot sẽ chạm vào tường có dạng (a; b; c). Tính a + b + c.
Chuyển đường thẳng d về dạng tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = - t\end{array} \right.\).
Gọi H = d ◠ (P). Vì H d \( \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 + t; - t} \right)\).
Mà H ∈ (P) nên \(1 + 2t - 1 + t - t = 2 \Rightarrow t = 1\).
Do đó H(3; 0; −1).
Suy ra a = 3; b = 0; c = −1. Do đó a + b + c = 2.
Trả lời: 2.
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Góc giữa mặt phẳng nghiêng (P): \(4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn (Q): z – 1 = 0 là bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4;0;11} \right)\).
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)\).
Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {11} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{11}^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 20^\circ \).
Trả lời: 20.
Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(2; −1; 3) đến vị trí B(8; 7; 1). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).
Góc α giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \alpha \approx 11^\circ \).
Trả lời: 11.
