24 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương trình đường thẳng (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đáp án đúng: D

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng d đi qua điểm M'(0; −5; 4) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;3;1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 1; - 7;4} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 4;2} \right)\).

Khi đó \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {MM'} = \left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 7} \right) + 2.4 = 41 \ne 0\).

Suy ra d và d' chéo nhau.

Đáp án đ Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;4;3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 4; - 3} \right)\) lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.

Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 4.\left( { - 4} \right) + 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{26}}{{26}} = 1\).

Suy ra (d₁, d₂) = 0°.

Đáp án đúng: C

Đáp á Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án đúng: A

Đáp án đúng: C

Vì Oy ⊥ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Đáp án đúng: C

Ta có \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz), \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó \(\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) .

Suy ra ((Oxz), (P)) = 45°.

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng  ta được \[\left\{ \begin{array}{l}0 = t\\1 = 1\\ - 1 = - 1 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow t = 0\] (đúng).

Suy ra M ∈ △.

b) Một vectơ chỉ phương của Δ là \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 2} \right)\).

c) Điển N có hoành độ bằng 2 suy ra \(t = 2\)

Tọa độ điểm N là \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = - 5\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {2;1; - 5} \right)\].

Tung độ của N là 1.

d) \(d\left( {N,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.\left( { - 5} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{3}\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 3} \right) = \frac{1}{2}\left( {2; - 6; - 6} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow u \).

Do đó đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 6; - 6} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {CD} = \left( {4;2; - 6} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 1.4 + \left( { - 3} \right).2 + \left( { - 3} \right).\left( { - 6} \right) = 16 \ne 0\).

Do đó đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng CD.

c) Có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2; - 1; - 5} \right)\).

Có \(\cos \left( {AB,AD} \right) = \frac{{\left| {1.2 - 3.\left( { - 1} \right) - 3.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {570} }} \Rightarrow \left( {AB,AD} \right) \approx 33^\circ \).

d) Có \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;0;4} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {1;2; - 2} \right),\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 8; - 2; - 6} \right) = - 2\left( {4;1;3} \right) = 2\overrightarrow n \).

Mặt phẳng (BCD) nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;1;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\sin \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.4 - 3.1 - 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{4^2} + {1^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {494} }}\) \( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) \approx 21^\circ \).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;4} \right)\).

b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1;1} \right)\).

Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1.3 + 2.\left( { - 1} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {231} }}\)\( \Rightarrow \left( {d,\left( P \right)} \right) \approx 4^\circ \).

c) Ta có M = d  (P).

Vì M  d \( \Rightarrow M\left( {3 - t;1 + 2t; - 2 + 4t} \right)\).

Mà M  (P) nên \(3\left( {3 - t} \right) - \left( {1 + 2t} \right) - 2 + 4t - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 4\).

Suy ra \(M\left( { - 1;9;14} \right)\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {6;13; - 5} \right)\).

Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng đi qua M và nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;13; - 5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(6\left( {x + 1} \right) + 13\left( {y - 9} \right) - 5\left( {z - 14} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 6x + 13y - 5z - 41 = 0\).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −1; 0).

b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;2} \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow u \).

Suy ra \(\overrightarrow u = \left( { - 4; - 6; - 4} \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;1;2} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng  .

Do \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương nên đường thẳng d và đường thẳng  không song song với nhau.

d) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3;2} \right)\).

Đường thẳng d' đi qua M'(−3; 2; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4; - 1;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MM'} = \left( { - 4;3;1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right] = \left( {11;2; - 14} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_3}} } \right].\overrightarrow {MM'} = 11.\left( { - 4} \right) + 2.3 + \left( { - 14} \right).1 = - 52 \ne 0\).

Suy ra d và d' chéo nhau.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Một vectơ chỉ phương của  là \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)\) .

b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)\) .

c) \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1\) .

Vậy (  , (P)) = 90°.

d) Vì   (P) nên A' trùng B'. Do đó A'B' = 0.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB).

Có \(\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng CA.

Có \(\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{145}}{{10\sqrt {507} }}\).

Suy ra \(\left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) \approx 40^\circ \).

Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi khoảng 40°.

Trả lời: 40.

Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {6;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình đường thẳng AB là \(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).

Gọi H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng AB thì OH là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó \(H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = \left( {6t - 500} \right).6 + \left( {t - 250} \right).1 + \left( { - t + 150} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{{19}}\).

Suy ra tọa độ của vị trí máy bay khi đó là \(\left( {\frac{{700}}{{19}}; - \frac{{3050}}{{19}};\frac{{1150}}{{19}}} \right)\).

Vậy \( - 3a - b - c = - \frac{{200}}{{19}} \approx - 11\).

Trả lời: −11.

Chuyển đường thẳng d về dạng tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = - t\end{array} \right.\).

Gọi H = d ◠ (P). Vì H  d \( \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 + t; - t} \right)\).

Mà H ∈ (P) nên \(1 + 2t - 1 + t - t = 2 \Rightarrow t = 1\).

Do đó H(3; 0; −1).

Suy ra a = 3; b = 0; c = −1. Do đó a + b + c = 2.

Trả lời: 2.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4;0;11} \right)\).

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {11} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{11}^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}\) \( \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 20^\circ \).

Trả lời: 20.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;4; - 1} \right)\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)\).

Góc α giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)).

Ta có \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \alpha \approx 11^\circ \).

Trả lời: 11.