75 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 2. Phương trình đường thẳng có đáp án - Đề 2
32 câu hỏi
\[x = 0\,.\]
\[y + z = 0\,.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\,.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\,.\]
Chọn D
Trục \[Ox\]đi qua \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\)nên có phương trình tham số là:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1.t\\y = 0 + 0.t\\z = 0 + 0.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right..\]
\[{d_2}\]
\[\overrightarrow v = \left( {a;1;2} \right)\]
\[{d_1}\]
\[{d_2}\]
Chọn B
Vì đường thẳng song song với đường thẳng \[\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t = - 1 + 2t'\end{array} \right.\]nên nó có vectơ chỉ phương là \[\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1 + at'\\2 - 2t = 0 + t'\\3 + t = - 1 + 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - at' = 0\\ - 2t - t' = - 2\\t - 2t' = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\0 - a.2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 2\\a = 0\end{array} \right. \cdot \] hoặc \[a = 0\] nên loại phương án C và D.
Vì điểm \(M\left( {2;\,1;\, - 1} \right)\)thuộc đường thẳng \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\) nên chọn phương án B.
Vậy phương trình của đường thẳng là \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 2 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3 - 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).
Chọn B
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Do \(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2\,; - 3\,; - 1} \right)\).
Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 1\end{array} \right.\).
Chọn B
Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\)nên nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương. Mặt khác \[d\] đi qua \(A\left( {1;1;1} \right)\)nên:
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2\\z = - 1 + t\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2 + t\\z = - 1\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = - t\end{array} \right..\]
Chọn A
Ta có mặt phẳng \((P):x + z - 2 = 0\)
\( \Rightarrow \) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;0;1} \right)\)
Gọi đường thẳng cần tìm là \(\Delta \). Vì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\)nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;0;1} \right)\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M(3;2; - 1)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;0;1} \right)\)là:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2\\z = - 1 + t\end{array} \right..\]
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{3}\).
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2;4;2} \right)\).
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)\).
Đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 2 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Chọn B
Gọi \[d\] là đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[\left( {BCD} \right)\,.\]
Ta có \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 1\,;\,1\,;\, - 1} \right)\,;\,\overrightarrow {BD} = \left( {0\,; - 1\,;\, - 2} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\] có vec tơ pháp tuyến là \[{\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {BC} \,} \right] = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\,.\]
Gọi \[{\overrightarrow u _d}\] là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \[d\].
Vì \[d \bot \left( {BCD} \right)\] nên \[\overrightarrow {{u_d}} = {\overrightarrow n _{\left( {BCD} \right)}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\].
Đáp A và C có VTCP \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3\,;\,2\,;\, - 1} \right)\] nên loại B và D.
Ta thấy điểm \[A\left( {0\,;\,0\,;2\,} \right)\]thuộc đáp án C nên loại A.
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)
\(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\)
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\)
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\)
Chọn C
\(\left( P \right):x + z - 5 = 0\) có 1 vtpt \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;1} \right)\)
\(\left( Q \right):x - 2y - z + 3 = 0\) có 1 vtpt \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\)
Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của 2 mặt phẳng thì \(\Delta \) có 1 vtcp \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2;2; - 2} \right)\).
(T): x + y + 2z + 1 = 0
(P): x - y + z + 1 = 0
(Q): x - 2y - z + 1 = 0
(R): x + y + z + 1 = 0
Chọn B
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là .
Mặt phẳng (T) có một vectơ pháp tuyến là . Do nên không cùng phương với . Do đó d không vuông góc với (T).
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là . Do nên cùng phương với . Do đó d vuông góc với (P).
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là n. Do nên không cùng phương với . Do đó d không vuông góc với (Q).
Mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là . Do nên không cùng phương với . Do đó d không vuông góc với (R).
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 32 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
x + y + z + 1 = 0
x - y - z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 0
Chọn D
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng nên nhận véc tơ chỉ phương làm véc tơ pháp tuyến, suy ra phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y + z + D = 0, mặt khác (P) đi qua gốc tọa độ nên D = 0.
Vậy phương trình (P) là:x + y + z = 0.
2x - y + z - 3 = 0
2x - y + 2z - 6 = 0
2x - y + z + 3 = 0
2x - y - z + 3 = 0
Chọn A
Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm A(0; 0; 3) và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là làm véc tơ pháp tuyến. Do đó phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x - y + z - 3 = 0\(m = 2\)
\(m = - 52\)
\(m = 52\)
\(m = - 2\)
Chọn A
Đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)\)
Để mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) phải cùng phương với \(\overrightarrow n \) \[ \Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2\].
\(x + 2y + z = 0\).
\(x - 2y + z = 0\).
\(x + 2y + z - 4 = 0\).
\(x - 2y + z + 4 = 0\).
Chọn A
\(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 3} \right)\) và \(\left( P \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\).
\(\left( \alpha \right)\) qua \(O\) và nhận \(\overrightarrow {n'} = - \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right] = \left( {1;2;1} \right)\)
Suy ra \(\left( \alpha \right):x + 2y + z = 0\).
\( - 42\).
\( - 32\).
\(11\).
\(20\).
Chọn D
Đường thẳng \({d_2}\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {1; - 2;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 3;1; - 4} \right)\)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right) \ne \overrightarrow 0 \); \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;4; - 6} \right)\); \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right].\overrightarrow {MN} = - 16 + 20 - 12 = - 8 \ne 0\)
\( \Rightarrow \) \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow v ,\overrightarrow u } \right] = \left( {4;5;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\) của đoạn \(MN\)
Suy ra phương trình của \(\left( P \right)\): \(4\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 2z + 11 = 0\)
\( \Rightarrow a = 4;b = 5;c = 2\) \( \Rightarrow a + 2b + 3c = 20\).
\( - 2x - y + 9z - 36 = 0\).
\(2x - y - z = 0\).
\(6x + 9y + z + 8 = 0\).
\(6x + 9y + z - 8 = 0\).
Chọn C
Đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right)\), có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;3} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}\) có một VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_1},{d_2}\)\( \Rightarrow \)\(\left( P \right)\) qua điểm \(M\left( {1; - 2;4} \right),\) có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là :
\(\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\).
\(3x + y + z - 1 = 0\).
\(3x - y - z + 1 = 0\).
\(x + 3y + z - 3 = 0\).
\(x + y + z - 1 = 0\).
Chọn A
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 4} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {0;1; - 1} \right)\).
Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_P}} \).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \) và \(\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_d}} \) nên chọn \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {3;\,1;\,1} \right)\).
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;0} \right),\) VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;1;1} \right)\) có phương trình là: \(3x + y + z - 1 = 0\).
\(\left( P \right):x + 5y + 8z - 16 = 0\).
\(\left( P \right):x + 5y + 8z + 16 = 0\).
\(\left( P \right):x + 4y + 6z - 12 = 0\).
\(\left( P \right):2x + y - 6 = 0\).
Chọn A
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và \(\left( P \right)\)song song với đường thẳng \({d_2}\) nên \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;5;8} \right)\].
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {2;6; - 2} \right)\) và có một véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {1;5;8} \right)\] là \(x + 5y + 8z - 16 = 0\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 3} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;5} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 5} \right)\).
Chọn C
Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(A\), \(O\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\z = 0\end{array} \right.\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm \(A\), \(O\) nên \(\left( P \right)\): \(m\left( {x - y} \right) + nz = 0\), \({m^2} + {n^2} > 0\). Khi đó véctơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow n = \left( {m; - m;n} \right)\).
Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2n} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {m^2} + {n^2}} }} = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 4mn - {n^2} = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{m}{n} = 1\\\frac{m}{n} = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Vậy một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó là \(\overrightarrow n = \left( {\frac{1}{5}n;\frac{{ - 1}}{5}n;n} \right) = \frac{n}{5}\left( {1; - 1;5} \right)\).
\(\left( P \right):5x + 2y + 4z - 5 = 0\).
\(\left( P \right):2x + 1y + 2z - 1 = 0\).
\[\left( P \right):5x - 2y - 4z - 5 = 0\].
\(\left( P \right):2x + 1y + 2z - 2 = 0\).
Chọn C
VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)\) và \(B\left( {1; - 2;1} \right) \in d\).
Khi đó: \[\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;1} \right)\].
Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)\).
Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là \(5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0\) hay \[5x - 2y - 4z - 5 = 0\].
\(2y - 2z + 1 = 0\).
\(2y - 2z - 1 = 0\).
\[2x - 2z + 1 = 0\].
\[2x - 2z - 1 = 0\].
Chọn A
Ta có: Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)\] và đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) có VTCP là \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)\]
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song \({d_1};{d_2}\) nên \(\left( P \right)\) có VTPT là \[n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)\]
Do đó: Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(y - z + m = 0\)
Mặt khác: \(\left( P \right)\) cách đều hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) nên
\(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2};\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)
Vậy \(\left( P \right)\):\(y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, tính \(\sin \alpha \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{5}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
\(\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)
Chọn C
+ Từ hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)\),\(A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,\)
\(B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,\)\(C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).\)
+ Ta thấy \(OC \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và \(\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)\) nên suy ra mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)\).
+ Đường thẳng \(A'B\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)\) ta chọn \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).\)
+ Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
300
600
450
900
Chọn B
Gọi \(I = AC \cap BD\).
Hình vuông \(ABCD\) có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) suy ra hình vuông đó có cạnh bằng \(a\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SI \bot BD\\AI \bot BD\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;\,AI} \right)} = \widehat {SIA}\].
Ta có \(\tan \alpha = \tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} \Leftrightarrow SA = a\).
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ. Ta có \(A\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(B\left( {a;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {a;\,a;\,0} \right)\), \(S\left( {0;\,0;\,a} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {SA} = \left( {0;\,0;\, - a} \right)\); \(\overrightarrow {SC} = \left( {a;\,a;\, - a} \right)\); \(\overrightarrow {SB} = \left( {a;\,0;\, - a} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = \left( { - 1;\,1;\,0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vectơ pháp tuyến \({\vec n_2} = \left( {1;\,0;\,1} \right)\).
Suy ra\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]
\[\frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]
\[\frac{{\sqrt 5 }}{5}.\]
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\]
Chọn D
Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. \(O \equiv A(0;0;0)\); \(B(1;0;0);D(0;1;0);C(1;1;0);S(0;0;2)\)
Do M là trung điểm của SD nên \(M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = (0;1;0);\overrightarrow {SB} = (1;0; - 2) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {SB} } \right] = \left( {2;0;1} \right)\)
\(\overrightarrow {MA} = \left( {0;\frac{1}{2};1} \right);\overrightarrow {AC} = (1;1;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - \frac{1}{2}} \right)\). VTPT của (AMC) là: \(\overrightarrow n = \left( {2; - 2;1} \right)\)
\[\cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \tan \left( {\left( {SBC} \right);\left( {AMC} \right)} \right) = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\]
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\sqrt 3 \).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ \[Ox{\rm{yz}}\] sao cho \(A \equiv O\), \(B \in Ox\), \(D \in Oy\), \(S \in Oz\).
\( \Rightarrow B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\). Khi đó \(E\left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(F\left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{a}{2}\,;\,0\,;\,\frac{a}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AF} = \left( {0\,;\,\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}} \right)\).
Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {AEF} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{{ - a}}{4}\,;\,\frac{a}{4}} \right)\)\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1\,;\,1\,;\, - 1} \right).\].
Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {ABCD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \overrightarrow {AS} = (0\,;\,0\,;\,a)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right).\).
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\)và \(\left( {ABCD} \right)\) là.
\[\cos \left( {\left( {AEF} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}.{{\overrightarrow n }_2}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_1}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_2}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \].
1350
1500
1200
600
Chọn C
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.
Ta có: \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(A\left( {0\,;\,a\,;\,0} \right)\), \(B\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(C\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\), \(M\left( {\frac{a}{2}\,;\,\frac{a}{2}\,;\,0} \right)\).
Khi đó ta có:Cách 2:
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\\\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{2}O{B^2} = - \frac{{{a^2}}}{2}\].
\[BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 2 \] và \[OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Do đó:\(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{5}\).
\(\arccos \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\arccos \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\[\arccos \frac{{\sqrt {15} }}{5}\].
Chọn B
Gọi \(O = AC \cap BD\).
Tam giác \(SAO\) vuông : \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Gắn tọa độ như hình vẽ
\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\), \(S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{a}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)\).
Ta có : \(\overrightarrow {AS} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\) \( = \frac{a}{2}\left( {1;1;\sqrt 6 } \right)\), \(\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{ - a}}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{a}{6}\left( { - 3;5;\sqrt 6 } \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(BG\) với đường thẳng \(SA\) bằng:
\(\cos \left( {BG;SA} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AS} } \right|}}{{BG.AS}}\)\( = \frac{{\left| { - 3 + 5 + 6} \right|}}{{\sqrt {40} .\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).
\(\cos \alpha = \frac{1}{2}\).
Chọn A
* Chọn \(AB = 2 \Rightarrow BD = 2;AC = 2\sqrt 3 \), đặt
\(AA' = h\), chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ ta có: \(D\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\), \(D'\left( {1;0;h} \right)\), \(C'\left( {0;\sqrt 3 ;h} \right)\), \(B'\left( { - 1;0;h} \right)\).
\( \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};h} \right)\), \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;h} \right)\), \(\overrightarrow {B'D} = \left( {2;0; - h} \right)\).
* Do \(MN \bot B'D \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D} = 0 \Leftrightarrow 2 - {h^2} = 0 \Rightarrow h = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\). Ta có:
\(MN{\rm{//}}\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\), \(\left( {ABCD} \right) \bot \overrightarrow n = \overrightarrow j = \left( {0;0;1} \right)\).
* Do \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(MN\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) nên ta có:
\(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
\[\frac{{\sqrt 3 }}{7}\].
\[\frac{{\sqrt 6 }}{7}\].
\[\frac{5}{7}\].
\[\frac{{\sqrt 2 }}{7}\].
Chọn C
Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông \[a = 1\].
Gọi \[O,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]. Vì \[SAB\] là tam giác đều và \[\left( {SAB} \right)\] vuông góc với \[\left( {ABCD} \right)\]nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
Xét hệ trục \[Oxyz\] có \[O\left( {0;0;0} \right),M\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\]. Khi đó \[C\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};0} \right)\].
Suy ra \[\overrightarrow {SA} = \left( {0;\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1;\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0;1;0} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;1} \right)\].
Vậy \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{5}{7}\].
600
300
450
750
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ \(O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.\)
Khi đó:\(A'(0;0;0)\), \(D'(a;0;0)\), \(B'(0;a;0)\), \(C'(a;a;0)\),
\(A(0;0;a)\), \(D(a;0;a)\), \(B(0;a;a)\), \(C(a;a;a)\).
\[ \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).\]
\(\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).\)
Chọn \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;1;0)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\).
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\)và \(\left( {ACC'A'} \right)\) là:
\[\frac{{\sqrt 2 }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[\sqrt 3 \].
Gọi \[I\] hình chiếu của \[M\] lên \[\left( {ABCD} \right)\], suy ra \[I\] là trung điểm của \[AO\].
Khi đó \[CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\].
Xét \[\Delta CNI\] có:Áp dụng định lý cosin ta có:
\[NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos {{45}^o}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{8} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\].
Xét \[\Delta MIN\] vuông tại \[I\]nên \[MI = \sqrt {M{N^2} - N{I^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} - \frac{{5{a^2}}}{8}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\].
Mà \[MI//SO,\,MI = \frac{1}{2}SO \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\].
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]như hình vẽ:
Ta có: \[O\left( {0\,;\,0;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[D\left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[N\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4};\,0} \right)\],
\[A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[S\left( {0\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\], \[M\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\].
Khi đó \[\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\, - \frac{{\sqrt {14} }}{4}\,} \right)\,\,\], \[\overrightarrow {SB} = \left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\], \[\overrightarrow {SD} = \left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\].
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]: \[\overrightarrow n = \overrightarrow {SB} \wedge \overrightarrow {SD} = \left( { - \sqrt 7 \,;\,0\,;\,0} \right)\].
Suy ra \[{\rm{sin}}\left( {MN\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 7 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\(\frac{{\sqrt 2 }}{5}\).
\(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{5}\).
\(\frac{{4\sqrt 2 }}{{13}}\).
Chọn C
Gọi \[O\] là trung điểm của \[AB\]. Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \[O\left( {0;0;0} \right)\],
\[A\left( {\frac{1}{2};0;0} \right)\], \[B\left( { - \frac{1}{2};0;0} \right)\], \[C\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\], \[H\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};0} \right)\], \[A'H = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]\[ \Rightarrow A'\left( {0;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\]
Ta có \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'B'} \]\[ \Rightarrow B'\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\]. Dễ thấy \[\left( {ABC} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)\].
\[M\] là trung điểm \[AA'\]\[ \Rightarrow M\left( {\frac{1}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\], \[N\] là trung điểm \[BB'\]\[ \Rightarrow N\left( {\frac{{ - 3}}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\]
\[\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {CM} = \left( {\frac{1}{4};\frac{{ - 5\sqrt 3 }}{{12}};\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)\]
\[ \Rightarrow \] \[\left( {CMN} \right)\] có vtpt \[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\frac{{\sqrt 6 }}{6};\frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}} \right)\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\left( {0;2\sqrt 2 ;5} \right)\]
\[\cos \varphi = \]\[\frac{5}{{\sqrt {33} }}\]\[ \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\varphi }} - 1} \]\[ = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}\]
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn A
Chọn hệ trục tọa độ sao cho \[A \equiv O\], như hình vẽ:
Khi đó ta có:
\[A\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[B\left( {2a\,;\,0\,;\,0} \right)\], \[D\left( {0\,;\,2a\,;\,0} \right)\], \[C\left( {2a\,;\,2a\,;\,0} \right)\], \[S\left( {0\,;\,0\,;\,a} \right)\], \[M\left( {0\,;\,a\,;\,\frac{a}{2}} \right)\].
\[\overrightarrow {SB} = \left( {2a\,;\,0\,;\, - a} \right)\],\[\overrightarrow {SC} = \left( {2a\,;\,2a\,;\, - a} \right)\],\[\overrightarrow {MA} = \left( {0\,;\, - a\,;\, - \frac{a}{2}} \right)\],\[\overrightarrow {MC} = \left( {2a\,;\,a\,;\, - \frac{a}{2}} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SB} \,,\,\overrightarrow {SC} } \right]\]\[ = \left( {2{a^2}\,;\,0\,;\,4{a^2}} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {MA} \,,\,\overrightarrow {MC} } \right]\]\[ = \left( {{a^2}\,;\, - {a^2}\,;\,2{a^2}} \right)\].
Gọi \[\alpha \](\(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \)) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\]và \[\left( {SBC} \right)\].
ta có \[cos\alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\]\[ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,.\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\]
\[ = \frac{{10{a^4}}}{{\sqrt {20.6.{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} }}\]\[ = \frac{5}{{\sqrt {30} }}\].
Mà \[{\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1\]\[ = {\left( {\frac{{\sqrt {30} }}{5}} \right)^2} - 1\]\[ = \frac{5}{{25}}\]. Suy ra \[\tan \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
