Giải SGK Toán 12 CD Bài 2. Phương trình đường thẳng có đáp án
54 câu hỏi
Cầu Bãi Cháy nối Hòn Gai và Bãi Cháy (Quảng Ninh). Dây cáp của cầu gợi nên hình ảnh đường thẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 22).
Trong hệ tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng là gì? Làm thế nào để lập được phương trình của đường thẳng?
Trong bài học này, ta sẽ tìm hiểu phương trình của đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz và cách lập phương trình của đường thẳng.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 23). Giá của vectơ 
và đường thẳng AC có vị trí tương đối như thế nào?
Giá của vectơ 
là đường thẳng A'C'.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AC // A'C'.
Vậy giá của vectơ và đường thẳng AC song song với nhau.
Trong Hình 23, vectơ 
có là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD hay không? Vì sao?
Do vectơ 
khác 
và có giá là đường thẳng B'D' song song với đường thẳng BD nên vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng BD.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
. Xét điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ (Hình 24).
Nêu nhận xét về phương của hai vectơ 
và 
.
Vì vectơ 
là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng ∆.
Lại có vectơ 
có giá là đường thẳng M0M hay chính là đường thẳng ∆.
Từ đó suy ra hai vectơ và có giá song song hoặc trùng nhau nên chúng cùng phương.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
. Xét điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ (Hình 24).
Có hay không số thực t sao cho 
?
Vì hai vectơ 
và 
cùng phương nên tồn tại số thực t ≠ 0 sao cho 
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
. Xét điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ (Hình 24).
Hãy biểu diễn x, y, z qua t.
Ta có 
.
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
. Xét điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ (Hình 24).
Tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) có thỏa mãn hệ phương trình:
hay không?
Tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) thỏa mãn hệ phương trình: 
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆, biết ∆ đi qua điểm C(1; 2; – 4) và vuông góc với mặt phẳng (P):
3x – y + 2z – 1 = 0.
Ta có 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng ∆ nhận vectơ 
làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:
(t là tham số).
Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số:
(t là tham số).
Tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) có thỏa mãn hệ phương trình
hay không?
Vì M(x; y; z) ∈ ∆ nên 
.
Khi đó 
, 
, 
.
Suy ra 
.
Vậy tọa độ (x; y; z) của điểm M (nằm trên ∆) thỏa mãn hệ phương trình 
.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết phương trình tham số của ∆ là: 
(t là tham số).
Ta có 
.
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là 
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(3; 5; 9). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là 
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(3; 5; 9). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
là:
(t là tham số).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và B(3; 5; 9). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương 
là:
.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM, biết M(a; b; c) với abc ≠ 0.
Phương trình chính tắc của đường thẳng OM là:
.
Cho hai đường thẳng phân biệt ∆1, ∆2 lần lượt đi qua các điểm M1, M2 và tương ứng có vectơ chỉ phương là 
.
Giả sử ∆1 song song với ∆2 (Hình 25). Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không: 
và 
; và 
?
Vì ∆1 song song với ∆2 nên hai vectơ 
và 
cùng phương; hai vectơ và 
không cùng phương.
Cho hai đường thẳng phân biệt ∆1, ∆2 lần lượt đi qua các điểm M1, M2 và tương ứng có vectơ chỉ phương là 
.
Giả sử ∆1 và ∆2 cắt nhau (Hình 26). Hai vectơ 
và 
có cùng phương hay không? Ba vectơ , và 
có đồng phẳng hay không?
Vì ∆1 và ∆2 cắt nhau nên hai vectơ 
và 
không cùng phương.
Ba vectơ , và 
đồng phẳng vì giá của mỗi vectơ này đều cùng nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau ∆1 và ∆2.
Cho hai đường thẳng phân biệt ∆1, ∆2 lần lượt đi qua các điểm M1, M2 và tương ứng có vectơ chỉ phương là 
.
Giả sử ∆1 và ∆2 chéo nhau (Hình 27). Hai vectơ và có cùng phương hay không? Ba vectơ , và có đồng phẳng hay không?
Vì ∆1 và ∆2 chéo nhau nên hai vectơ 
và 
không cùng phương.
Ba vectơ , và 
không đồng phẳng.
Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 
và 
(t1, t2 là tham số).
Xét hệ phương trình 
.
Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là t1 = 2, t2 = 1.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau.
Cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là 
. Giả sử ∆'1, ∆'2 là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1, ∆2 (Hình 28).
Nếu mối liên hệ giữa hai góc (∆1, ∆2) và (∆'1, ∆'2).
Ta có (∆1, ∆2) = (∆'1, ∆'2).
Cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là 
. Giả sử ∆'1, ∆'2 là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1, ∆2 (Hình 28).
Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng ∆'1 và ∆'2 sao cho 
, 
. So sánh:
.
Ta có 
.
Mà 
, 
nên 
.
Vậy 
.
Cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là 
. Giả sử ∆'1, ∆'2 là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1, ∆2 (Hình 28).
So sánh cos (∆1, ∆2) và 
.
Ta có cos (∆1, ∆2) = 
.
Cho đường thẳng 
. Tính côsin của góc giữa đường thẳng ∆ và các trục tọa độ.
Đường thẳng 
có vectơ chỉ phương là 
.
Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là 
, 
và 
.
Ta có:
cos (∆, Ox) = 
;
cos (∆, Oy) = 
;
cos (∆, Oz) = 
;
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
, đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là 
và đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ∆' là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (P) (Hình 29).
Hãy xác định góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).
Ta kí hiệu góc đó là (∆, (P)).
Vì ∆' là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (P) nên góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng ∆'. Ta có (∆, (P)) = (∆, ∆').
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
, đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là 
và đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ∆' là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (P) (Hình 29).
So sánh sin (∆, (P)) và 
.
Ta có sin (∆, (P)) = sin (∆, ∆') = 
.
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
. Tính sin của góc giữa mặt phẳng (P) và các trục tọa độ.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
.
Các trục tọa độ Ox, Oy và Oz có vectơ chỉ phương lần lượt là 
, 
và 
.
Ta có:
sin (Ox, (P)) = 
;
sin (Oy, (P)) = 
;
sin (Oz, (P)) = 
.
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2). Lấy hai đường thẳng ∆1, ∆2 sao cho ∆1 ⊥ (P1), ∆2 ⊥ (P2) (Hình 31).
Nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2.
Dựng hai đường thẳng ∆'1, ∆'2 cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1, ∆2. Khi đó góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 bằng góc giữa hai đường thẳng ∆'1, ∆'2. Ta có (∆1, ∆2) = (∆'1, ∆'2).
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2). Lấy hai đường thẳng ∆1, ∆2 sao cho ∆1 ⊥ (P1), ∆2 ⊥ (P2) (Hình 31).
Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ∆1, ∆2 như trên hay không?
Vì ∆1 ⊥ (P1) và ∆'1 song song hoặc trùng với ∆1 nên ∆'1 ⊥ (P1).
Tương tự ∆'2 ⊥ (P2).
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng ∆'1, ∆'2 luôn là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) nên góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 không phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ∆1, ∆2.
Trong Ví dụ 10, tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (CDA'B').
Theo Ví dụ 10, ta có AD' ⊥ (CDA'B').
Mặt khác, ta có AB ⊥ (BCC'B'), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (CDA'B') là góc giữa hai đường thẳng AB và AD', đó là góc BAD'.
Lại có AB ⊥ (ADD'A'), suy ra AB ⊥ AD', do đó 
.
Vậy ((BCC'B'), (CDA'B')) = .
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2). Gọi 
lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P1), (P2); ∆1, ∆2 lần lượt là giá của hai vectơ 
(Hình 33). So sánh:
cos ((P1), (P2)) và cos (∆1, ∆2);
Vì ∆1, ∆2 lần lượt là giá của hai vectơ 
lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P1), (P2) nên ∆1 ⊥ (P1) và ∆2 ⊥ (P2).
Khi đó, ((P1), (P2)) = (∆1, ∆2). Suy ra cos ((P1), (P2)) = cos (∆1, ∆2).
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2). Gọi 
lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P1), (P2); ∆1, ∆2 lần lượt là giá của hai vectơ 
(Hình 33). So sánh:
cos (∆1, ∆2) và 
.
Vì ∆1, ∆2 lần lượt là giá của hai vectơ 
nên hai vectơ lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ∆1, ∆2. Do đó cos (∆1, ∆2) = 
.
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
. Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng tọa độ.
Các vectơ 
, 
và 
lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng tọa độ (Oyz), (Ozx) và (Oxy).
Ta có:
cos ((P), (Oyz)) = 
;
cos ((P), (Ozx)) = 
;
cos ((P), (Oxy)) = 
.
Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận 
làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng đi qua điểm A(3; 2; 5) nhận 
làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: 
(t là tham số).
Đường thẳng đi qua điểm B(– 1; 3; 6) nhận 
làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng đi qua điểm B(– 1; 3; 6) nhận 
làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: 
.
Mặt phẳng (P): x – 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. (P1): x + 2 = 0.
B. (P2): x + y – 2 = 0.
C. (P3): z – 2 = 0.
D. (P4): x + z – 2 = 0.
Đáp án đúng là: C
Các vectơ 
lần lượt là các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (P1), (P2), (P3), (P4).
Ta có 
. Suy ra 
.
Vậy mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (P3).
Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số 
(t là tham số).
Chỉ ra tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng ∆.
Với t = 0 ta có 
. Suy ra A(1; 3; – 1) ∈ ∆.
Với t = 1 ta có 
. Suy ra B(0; 5; 2) ∈ ∆.
Cho đường thẳng ∆ có phương trình tham số 
(t là tham số). Điểm nào trong hai điểm C(6; – 7; – 16), D(– 3; 11; – 11) thuộc đường thẳng ∆?
Thay tọa độ điểm C(6; – 7; – 16) vào phương trình đường thẳng ∆ ta được:
. Do đó, C ∈ ∆.
Thay tọa độ điểm D(– 3; 11; – 11) vào phương trình đường thẳng ∆ ta được:
(vô lí). Do đó, D ∉ ∆.
Vậy trong hai điểm C và D, chỉ có điểm C thuộc đường thẳng ∆.
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương 
;
+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương 
là: 
(t là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương là: 
.
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau: ∆ đi qua điểm M(2; – 1; 3) và N(3; 0; 4).
Ta có 
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: 
(t' là tham số).
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 
.
Lưu ý: Ở ý b này, ta có thể lấy điểm N làm điểm mà đường thẳng ∆ đi qua để viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của ∆.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau:
và 
(t là tham số);
Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có 
là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 11; – 6; 10) và có 
là vectơ chỉ phương.
Ta có 
, suy ra 
, 
cùng phương;
và 
nên 
không cùng phương.
Vậy ∆1 // ∆2.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau: 
(t là tham số) và 
;
Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có 
là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(– 3; – 6; 15) và có 
là vectơ chỉ phương.
Ta có: 
, suy ra 
, 
không cùng phương;
, 
.
Do 
(– 22) ∙ (– 4) + 14 ∙ (– 8) + 2 ∙ 12 = 0 nên 
đồng phẳng.
Vậy ∆1 cắt ∆2.
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau:
và 
.
Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M1(– 1; 1; 0) và có 
là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng ∆2 đi qua điểm M2(1; 3; 1) và có 
là vectơ chỉ phương.
Ta có: 
, 
.
Do 
4 ∙ 2 + (– 7) ∙ 2 + 5 ∙ 1 = – 1 ≠ 0 nên 
không đồng phẳng.
Vậy ∆1 và ∆2 chéo nhau.
Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
và 
(t1, t2 là tham số);
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 
, 
.
Ta có: cos (∆1, ∆2) = 
.
Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.
Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): 
(t là tham số) và 
;
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 
, 
.
Ta có: cos (∆1, ∆2) = 
.
Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 11°.
Tính góc giữa hai đường thẳng ∆1, ∆2 trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
và 
.
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là 
và 
.
Ta có: cos (∆1, ∆2) = 
.
Suy ra (∆1, ∆2) ≈ 80°.
Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
(t là tham số) và (P): 
x + z – 2 = 0;
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là 
và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
. Ta thấy vectơ chỉ phương của ∆ đồng thời là vectơ pháp tuyến của (P), do đó ∆ ⊥ (P), suy ra (∆, (P)) = 90°.
Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ): 
(t là tham số) và (P): x + y + z – 4 = 0.
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là 
và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là 
.
Ta có sin (∆, (P)) = 
.
Suy ra (∆, (P)) ≈ 19°.
Tính góc giữa hai mặt phẳng
(P1): x + y + 2z – 1 = 0 và (P2): 2x – y + z – 2 = 0.
Do (P1), (P2) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là 
, 
nên
cos ((P1), (P2)) = 
.
Suy ra ((P1), (P2)) = 60°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là
với a > 0 (Hình 36).
Xác định tọa độ của các vectơ 
. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Ta có: 
.
Các vectơ 
lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng SA và CD nên
cos (SA, CD) = 
(do a > 0).
Suy ra (SA, CD) = 60°.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là
với a > 0 (Hình 36).
Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Ta có 
.
Xét vectơ 
.
Khi đó, 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).
Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là 
.
Ta có sin (SD, (SAC)) = 
.
Suy ra (SD, (SAC)) ≈ 28°.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).
Viết phương trình đường thẳng AB.
Đường thẳng AB đi qua điểm A(3,5; – 2; 0,4) và nhận 
làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng AB là: 
(t là tham số).
Lưu ý: Ta có thể chọn điểm đi qua là B để viết phương trình tham số hoặc có thể viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).
Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5° đến 3,5° hay không.
Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có vectơ pháp tuyến là 
.
Ta có sin (AB, (Oxy)) = 
.
Suy ra (AB, (Oxy)) ≈ 3° ∈ (2,5°; 3,5°).
Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).
Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng (α) đi qua ba điểm M(5; 0; 0), N(0; – 5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
Ta có 
.
Xét vectơ 
, hay 
.
Khi đó 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) hay chính là mặt phẳng (α).
Phương trình mặt phẳng (α) là:
– 2,5(x – 5) + 2,5(y – 0) – 25(z – 0) = 0 ⇔ x – y + 10z – 5 = 0.
Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α).
Vì C ∈ AB nên gọi tọa độ điểm C là C(3,5; – 2 + 7,5t; 0,4 – 0,4t).
Lại có C ∈ (α) nên ta có 3,5 – (– 2 + 7,5t) + 10(0,4 – 0,4t) – 5 = 0, suy ra t = 
.
Vậy C
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).
Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m.
Vì D ∈ AB nên gọi tọa độ điểm D là D(3,5; – 2 + 7,5t'; 0,4 – 0,4t').
D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120 m và bằng 0,12 km.
Ta có d(D, (Oxy)) = 
= |0,4 – 0,4t'|.
Khi đó, |0,4 – 0,4t'| = 0,12 
.
Với t' = 0,7, ta có D(3,5; 3,25; 0,12).
Với t' = 1,3, ta có D(3,5; 7,75; – 0,12).
Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn D(3,5; 3,25; 0,12).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; – 2; 0,4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3,5; 5,5; 0) trên đường băng EG (Hình 37).
Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 4,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).
Ta có 
(km)
Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m = 0,9 km < 1,256 km nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.
