(Trả lời ngắn) 29 bài tập Phương trình đường thẳng (có lời giải)

Đáp án: \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)

Giao điểm  của \({d_1}\)  và \({d_2}\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\\\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x - y = 0\\x - z =  - 1\\x - 2y = 3\\x - 2z =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{2}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)

Đáp án: 45^o

\[\left( P \right)\]qua O và nhận \[\overrightarrow {OH}  = \left( {2;1;2} \right)\]làm VTPT

\[\left( Q \right):x - y - 11 = 0\] có VTPT \[\overrightarrow n  = \left( {1;1;0} \right)\]

Đáp án: \[\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\]

Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là\[\overrightarrow {{n_p}}  = \left( {1; - 2;2} \right)\], \[\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;0;2m - 1} \right)\]

Vì \[(P)\] tạo với \[(Q)\] góc \[\frac{\pi }{4}\] nên 

$\begin{array}{l}\text{cos}\frac{\pi }{4}=\left|\text{cos}\left(\overrightarrow{n_p};\overrightarrow{n_Q}\right)\right|\iff \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\left|1+2(2m-1)\right|}{3.\sqrt{1+{(2m-1)}^2}}\\ \iff 2{\left(4m-1\right)}^2=9\left(4m^2-4m+2\right)\\ \iff 4m^2-20m+16=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=4\end{array}\right..\end{array}$

Đáp án: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;3\,;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = 2t\end{array} \right.\).

Đáp án: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2\,;\,3\,;\, - 1} \right)\) làm một véc tơ chỉ phương.

Phương trình của đường thẳng \(d\): \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Đáp án: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)

Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {0;1; - 1} \right)\)

\(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\) có VTCP là \(\overrightarrow u \left( {1; - 1;2} \right)\) nên đường thẳng \(\Delta \) cần tìm cũng có VTCP \(\overrightarrow u \left( {1; - 1;2} \right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{x + 1}}{2}.\)

Đáp án: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 2\\z = 3 - t\end{array} \right.\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\\{{\vec n}_{\left( Q \right)}} = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right.\] và \[\left[ {{{\vec n}_{\left( P \right)}},{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {2;0; - 2} \right) = 2\left( {1;0; - 1} \right)\].

Vì đường thẳng \(d\) song song với hai mặt phẳng, nên nhận véc tơ \(\left( {1;0; - 1} \right)\) làm véc tơ chỉ phương.

Đáp án: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.\)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: \(\overrightarrow {{u_d}}  = {\overrightarrow n _{_{\left( p \right)}}} = \left( {3;2; - 1} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với \(\left( P \right)\) là: \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)

Đáp án: $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+2t\\ z=2-2t\end{array}\right.$

Ta có $\underset{BC}{\to }=(0; -2; -2), \underset{BD}{\to }=(-1; -1; -1)$

Mặt phẳng $\left(BCD\right)$ có một véctơ pháp tuyến là 

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(0;2;-2\right)$.

Đường thẳng đi qua B và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1+2t\\ z=2-2t\end{array}\right.$.

Đáp án: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 + 4t\\z = 4 + 2t\end{array} \right..\)

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;0; - 1} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( {0; - 1;2} \right)\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_{BCD}}}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 1; - 4; - 2} \right)\]

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nhận vectơ pháp tuyến của \(\left( {BCD} \right)\)là vectơ chỉ phương \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 4 + 4t\\z = 4 + 2t\end{array} \right..\)

Đáp án: \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\]

\[\left( P \right):\,\,x + z - 5 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)\].

\[\left( Q \right):\,\,x - 2y - z + 3 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1\,;\, - 2\,;\, - 1} \right)\].

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2\,;2\,;\, - 2} \right)\].

Gọi \[\vec u\] là một vectơ chỉ phương của \[\Delta \], thì \[\vec u \bot \overrightarrow {{n_1}} \] và \[\vec u \bot \overrightarrow {{n_2}} \].

Suy ra \[\vec u\] cùng phương với \[\left[ {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right]\]. Chọn \[\vec u = \left( {1\,;1\,;\, - 1} \right)\].

Lấy \[M\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)\]thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\].

Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[M\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)\] có một véctơ chỉ phương \[\vec u = \left( {1\,;1\,;\, - 1} \right)\].

Vậy phương trình \[\Delta \] là: \[\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\].

Đáp án: \[AM:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}\]

Gọi \[M\left( {x;y;z} \right)\] là trung điểm \[BC\]. Khi đó \[M\left( {1; - 1;3} \right)\]

Ta có \[\overrightarrow {AM}  = vtcp\overrightarrow u  = \left( {2; - 4;1} \right)\]

PTĐT \[AM:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 2}}{1}\]

Đáp án: 3x + y - 2z - 1 = 0

Ta lấy điểm $M(2; 1; 3) \in (∆)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\underset{AM}{\to }=(2; 0; 3)\\ vtcp \underset{u_{(∆)}}{\to }=(1; -1; 1)\end{array}\right.\Rightarrow \underset{n}{\to }=[\underset{AM}{\to },\underset{u(∆)}{\to }] = (3; 1; -2)$

Đáp án: -3x - 2y - 10z + 23 = 0

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương $\underset{u}{\to }=(-4; 1; 1)$.

Ta có: $\underset{AM}{\to }=(2; -3; 0); [\underset{AM}{\to }, \underset{u}{\to }] = (-3; -2; -10)$

Mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d có vectơ pháp tuyến .

Đáp án: \(\left( P \right):2y - 2z + 1 = 0\)

Ta có:\({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\) và có VTCP \({\vec u_1} = \left( { - 1;1;1} \right)\)

\({d_2}\) đi qua điểm \(B\left( {0;1;2} \right)\) và có VTCP \({\vec u_2} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\)

Vì \(\left( P \right)\) song song với hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) nên VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\vec n = [{\vec u_1},{\vec u_2}] = \left( {0;1; - 1} \right)\)

Khi đó \(\left( P \right)\) có dạng \(y - z + D = 0 \Rightarrow \) loại đáp án A và C

Lại có \(\left( P \right)\) cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\) nên \(\left( P \right)\) đi qua trung điểm \(M\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)\) của \(AB\)

Do đó \(\left( P \right):2y - 2z + 1 = 0\)

Đáp án: \[P = 0\]

Ta có \[d{\rm{//}}\Delta \].

Chọn \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right) \in \left( d \right),\,B\left( {3;\, - 2;\,1} \right) \in \left( \Delta  \right)\].

\[\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 1;\,0} \right)\]

Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \[\left( d \right)\] và \[\left( \Delta  \right)\] qua \[A\left( {2;\, - 1;\,1} \right)\] và có VTPT \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} } \right] = \left( { - 2;\, - 2;\,4} \right) =  - 2\left( {1;\,1;\, - 2} \right)\] là:

\[1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z + 1 = 0\].

Đáp án: \[6x + 9y + z + 8 = 0\]

\[d\]có VTCP \[\overrightarrow u  = ( - 2;1;3)\]và đi qua \[M(1; - 2;4)\]

\[d'\]có VTCP \[\overrightarrow {u'}  = (1; - 1;3)\]và đi qua \[M'( - 1;0; - 2)\]

Từ đó ta có

\[\overrightarrow {MM'}  = ( - 2;2; - 6)\]

\[{\rm{[}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1) \ne \overrightarrow 0 \] và \[{\rm{[}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ].\overrightarrow {MM'}  = 0\]

Suy ra \[d\] cắt \[d'\].

Mặt phẳng \[(P)\] chứa \[d\] và \[d'\]đi qua giao điểm của \[d\] và \[d'\]; có VTPT \[\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ]\]

Từ phương trình đường thẳng \[d\] và \[d'\], ta có:

 \[\begin{array}{l}\frac{{ - 1 + t - 1}}{{ - 2}} = \frac{{ - t + 2}}{1} = \frac{{ - 2 + 3t - 4}}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2 + t}}{{ - 2}} = \frac{{ - t + 2}}{1} = \frac{{ - 6 + 3t}}{3}\\ \Leftrightarrow t = 2\end{array}\]

Từ đó suy ra giao điểm I của \[d\] và \[d'\] là \[I(1; - 2;4)\].

 Khi đó ta có \[(P)\] đi qua \[I(1; - 2;4)\] và có VTPT \[\overrightarrow n {\rm{ = [}}\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ] = (6;9;1)\]

Phương trình mặt phẳng \[(P)\] cần tìm là

\[6(x - 1) + 9(y + 2) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0\]\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 1 + 2.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 0\\\end{array}\].

Đáp án: \(OM = 2\sqrt 2 \)

* Ta có : \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 6} \right) = 2\left( {1;2; - 3} \right)\)

Gọi \(I\left( {4;3;4} \right)\) là trung điểm của \(AB\)

Phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( Q \right)\) của \(AB\) là : \(\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y - 3} \right) - 3\left( {z - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 2 = 0\)

Gọi \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Đường thẳng \(d\) có \(1\) vpcp là \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( { - 2;0;0} \right)\), có phương trình là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\)

* Gọi \(M \in \left( P \right):MA = MB\). Khi đó \(M \in {\rm{d}}\)và \(M\left( { - 2 + t;t;t} \right)\)

Theo giả thiết, ta có : \(MA = \sqrt {35} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t - 5} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 7} \right)}^2}}  = \sqrt {35} \)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} - 26t + 40 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{20}}{3}\\t = 2 \Rightarrow M\left( {0;2;2} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(OM = 2\sqrt 2 \)

Đáp án: \[h - k = 0\]

\[H \in {\Delta _1} \Leftrightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\].

\[K \in {\Delta _2} \Leftrightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\].

Ta có\[\overrightarrow {HK}  = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\].

Đường thẳng \[d\] có một VTCP là \[\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 2} \right)\].

\[\Delta  \bot d \Leftrightarrow \]\[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK}  = 0\]\[ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \overrightarrow {HK}  = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right).\]

Ta có\[H{K^2} = {\left( { - t - 4} \right)^2} + {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} = 2{\left( {t + 1} \right)^2} + 27 \ge 27,\forall t \in \mathbb{R}\]

\[ \Rightarrow minHK = \sqrt {27} ,\]đạt được khi \[t =  - 1\].

Khi đó ta có \[\overrightarrow {HK}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)\], suy ra \[\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\]

Đáp án: \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = 4\)

Gọi \(M\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)\) là điểm cần tìm.

\(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 3\,;\,y - 1\,;\,z - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 3\,;\,y + 1\,;\,z} \right)\).

Vì \(\Delta MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9 + {y^2} - 1 + {z^2} - 2z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11\].

\( \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Nhận xét thấy \(d\left( {I\,,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 0 + 3.1 - 14} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^3}} }} = \sqrt {11}  = R\).

\( \Rightarrow \left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(M\)

\( \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Vậy \(d\left( {M\,,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| 4 \right| = 4\).

Đáp án: khoảng cách từ \(A\)đến mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng \(3\).

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'C'\) là hình chiếu vuông góc của \(A'C\) trên $\left(ABCD\right)\Rightarrow (A\text{'}C,(ABCD\left)\right)=(A\text{'}C,A\text{'}C\text{'})=\widehat{CA\text{'}C\text{'}}={30}^0.$

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{3};\tan \widehat{CA\text{'}C\text{'}}=\frac{CC\text{'}}{A\text{'}C\text{'}}\Rightarrow CC\text{'}=a.$

Kết hợp với giả thiết ta được \(ABB'A'\) là hình vuông và có \(H\) là tâm.

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(K\) trên \(A'D'\& A'A.\)

Ta có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A\text{'}{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}}{3};A\text{'}K=\sqrt{A\text{'}{A}^2-A{K}^2}=\frac{a}{\sqrt{3}};$

$\frac{1}{K{F}^2}=\frac{1}{K{A}^2}+\frac{1}{A\text{'}{K}^2}\Rightarrow KF=\frac{a\sqrt{2}}{3};KE=\sqrt{A\text{'}{K}^2-K{F}^2}\Rightarrow KE=\frac{a}{3}.$

Ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) thỏa mãn \(O \equiv A'\) còn \(D',{\rm{ }}B',{\rm{ }}A\) theo thứ tự thuộc các tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.\) Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:

$A(0;0;a),B\text{'}(0;a;0),H(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}),K(\frac{a\sqrt{2}}{3};0;\frac{a}{3}),E(\frac{a\sqrt{2}}{3};0;0),F(0;0;\frac{a\sqrt{2}}{3}).$

Mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là mặt phẳng \((yOz)\) nên có VTPT là \({\overrightarrow n _1} = (1;0;0);\)

Ta có $\left[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH}\right]=\frac{a^2}{6}{\overrightarrow{n}}_2,{\overrightarrow{n}}_2(2;\sqrt{2};\sqrt{2}).$

Mặt phẳng \((AKH)\)có VTPT là \({\overrightarrow n _2} = (2;\sqrt 2 ;\sqrt 2 );\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng\(\left( {AHK} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right)\).

Ta có $cos\alpha =\left|cos({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^0.$

Đáp án: \[\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]

Đáp án: \(\frac{1}{3}\)

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \[B\left( {0;0;0} \right)\], \[A\left( {a\sqrt 2 ;0;0} \right)\], \[C\left( {0;a\sqrt 2 ;0} \right)\], \[S\left( {x;y;z} \right)\].

Ta có \[\left( {ABC} \right):z = 0\], \[\overrightarrow {AS}  = \left( {x - a\sqrt 2 ;y;z} \right)\], \[\overrightarrow {CS}  = \left( {x;y - a\sqrt 2 ;z} \right)\]

Do \[\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AB}  = 0\]\[ \Rightarrow \left( {x - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2  = 0\]\[ \Rightarrow x = a\sqrt 2 \], \[d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = 2a\]\[ \Rightarrow z = 2a\] \[\left( {z > 0} \right)\]

\[\overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB}  = 0\]\[ \Rightarrow \left( {y - a\sqrt 2 } \right)a\sqrt 2  = 0\]\[ \Rightarrow y = a\sqrt 2 \]\[ \Rightarrow S\left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {AS}  = \left( {0;a\sqrt 2 ;2a} \right)\], \[\overrightarrow {CS}  = \left( {a\sqrt 2 ;0;2a} \right)\], \[\overrightarrow {BS}  = \left( {a\sqrt 2 ;a\sqrt 2 ;2a} \right)\].

\[\left( {SBC} \right)\] có 1 vtpt \[\vec n = \left( { - \sqrt 2 ;0;1} \right)\], \[\left( {SAB} \right)\] có 1 vtpt \[\vec m = \left( {0;\sqrt 2 ; - 1} \right)\]\[ \Rightarrow \cos \varphi \]\[ = \frac{1}{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}\]\[ = \frac{1}{3}\].

Đáp án: \(\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\)

Gọi \(O\) là trung điểm \(BC\).

Ta có: $BO=AB.{\text{cos30}}^o\iff AB=\frac{BO}{{\text{cos30}}^o}=\frac{a\sqrt{3}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}=a=AC$ và $AO=AB.{\text{sin30}}^o=\frac{a}{2}$.

Theo đề bài:

$2\overrightarrow{CM}=3\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\iff \overrightarrow{CM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\iff \overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}+\overrightarrow{C^{\text{'}}M}=\frac{3}{2}\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\iff \overrightarrow{C^{\text{'}}M}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}\Rightarrow C^{\text{'}}M=\frac{a}{2}$

Coi \(a = 1\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)như hình vẽ với \(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\frac{1}{2};\,0} \right)\), \(B\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(C\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,0} \right)\), \(B'\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,1} \right)\), \(M\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\,0;\,\frac{3}{2}} \right)\).

Khi đó \(\left( {ABC} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0 \Rightarrow \left( {ABC} \right)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;\,0;\,1} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB'}  = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,1} \right)\), \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\, - \frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}}  = 4\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {1;\,5\sqrt 3 ;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'M} \right)\).

Vậy \[{\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {AB'M} \right)}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2\sqrt 3 } \right|}}{{1.2\sqrt {22} }} = \sqrt {\frac{3}{{22}}}  \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }  = \sqrt {\frac{{19}}{{22}}}  = \frac{{\sqrt {418} }}{{22}}\].

Đáp án: \[\frac{{2\sqrt {43} }}{{43}}\]