(Đúng sai) 33 bài tập Phương trình mặt cầu (có lời giải)

a) Tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {1; - 2;3} \right)\). Do đó câu này đúng.

b) Bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R = \sqrt {16}  = 4\). Do đó câu này sai.

c) Ta có \(I{M^2} = {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( {0 + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 9 < {R^2}\) nên điểm\(M\left( {2;0;1} \right)\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\). Do đó câu này đúng.

d) Khoảng cách từ tâm \[I\]của mặt cầu \(\left( S \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 6 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2\)

Vậy bán kính r của đường tròn giao tuyến là: \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}}  = \sqrt {16 - 4}  = \sqrt {12}  \approx 3,5\). Do đó câu này sai.

a) Mặt cầu tâm \(M\) và bán kính \(R = 5\) có phương trình là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 25\). Do đó câu này sai.

b) Gọi  I  là tâm của mặt cầu đường kính \[MN\] \[ \Rightarrow \] I  là trung điểm của MN \[ \Rightarrow I\,(1;2;1)\] . Do đó câu này đúng.

c)  Bán kính  \[IM = \sqrt {{{(3 - 1)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(5 - 1)}^2}}  = 6\]. Do đó câu này đúng.

d) Mặt cầu đường kính \[MN\] có tâm \[I\left( {1;2;1} \right);{\rm{ }}R = 6\].

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\)cần tìm có dạng \[2x + y - 2z + m = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{Do }}\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow m \ne  - 20} \right)\].

Điều kiện tiếp xúc: \[d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{3} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 20{\rm{ }}\left( {loai} \right)\\m = 16\end{array} \right.\]. Vậy phương trình \(\left( Q \right)\)là \(2x + y - 2z + 16 = 0\). Do đó câu này đúng.

a) Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1}\\{b = \frac{0}{{ - 2}} = 0}\\{c = \frac{4}{{ - 2}} =  - 2}\end{array}} \right.\) nên \[I\,(1;0; - 2)\]. Do đó câu này đúng.

b) Bán kính mặt cầu: \(R = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 4}  = 3\). Do đó câu này đúng.

c) Ta có \(I{M^2} = {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( {3 - 0} \right)^2} + {\left( {2 + 2} \right)^2} = 26 > 9 = {R^2}\) nên M nằm ngoài mặt cầu. Do đó câu này sai.

d) Mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\] có tâm \[I\left( {1;0; - 2} \right)\] bán kính \[R = 3\].

Do diện tích đường tròn giao tuyến \[S = \pi {r^2} = 6\pi  \Rightarrow r = \sqrt 6  \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt 3 \].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với \[\left( \alpha  \right)\] \[ \Rightarrow \left( P \right):x + y - z + D = 0\]

Ta có: \[d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + D} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 0\\D =  - 6\end{array} \right.\].

Vì vậy \[\left( P \right):x + y - z = 0\] hoặc \[x + y - z - 6 = 0\]. Do đó câu này sai.

a) Mặt cầu tâm \[A\] đi qua \[B\]có bán kính \(R = AB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 2} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 \). Do đó câu này đúng.

b) Phương trình mặt cầu tâm \[A\] đi qua \[B\] là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 50\). Do đó câu này sai.

c) Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z =  - 1\\x + 7y =  - 2\\ - 4y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\\z = 1\end{array} \right.\).

Do đó: \(I\left( { - 2;0;1} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {26} \). Vậy (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 26\).

d) Phương trình tham số đường thẳng \[CD\]là : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2 - 2t}\end{array}} \right.\)

Do tâm \[I\]mặt cầu \(\left( S \right)\) thuộc \[CD\] nên có \(I\left( {2 - t;3 + t;2 - 2t} \right)\).

Vì \(IA = IB\) nên \(\sqrt {{{\left( { - 1 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 7 - t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( { - 1 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2} + {{\left( { - 5 + 2t} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 4{t^2} + 49 + 14t + {t^2} = 25 - 20t + 4{t^2} + 4 + 4t + {t^2}\)

\( \Leftrightarrow 30t =  - 20 \Leftrightarrow t =  - \frac{2}{3}\)

Vậy \(I\left( {\frac{8}{3};\frac{7}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\) và \(R = IA = \frac{{2\sqrt {93} }}{3}\).

Vậy phương trình mặt cầu là : \({\left( {x - \frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{10}}{3}} \right)^2} = \frac{{124}}{3}\). Do đó câu này sai.

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\). Do đó câu này sai.

b) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 4 - 3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 3\).Do đó câu này sai.

c) Vì \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3 = R\) nên \(\left( P \right)\)tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).  Do đó câu này đúng.

d)  Tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)là:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(H\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\), ta có: \(2\left( {1 + 2t} \right) - 2\left( {2 - 2t} \right) - \left( {3 - t} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Vậy \(H\left( {3;0;2} \right)\). Do đó câu này đúng.

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 3\). Do đó câu này sai.

b) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 - 4 - 3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 3\).Do đó câu này sai.

c) Vì \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 3 = R\) nên \(\left( P \right)\)tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).  Do đó câu này đúng.

d)  Tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu của điểm \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)là:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(H\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\), ta có: \(2\left( {1 + 2t} \right) - 2\left( {2 - 2t} \right) - \left( {3 - t} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Vậy \(H\left( {3;0;2} \right)\). Do đó câu này đúng.

a) Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {3; - 2;1} \right)\]; \[R = 10\]. Do đó câu này đúng.

b) Khoảng cách từ \[I\]đến \[\left( P \right)\] là \[IK = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {6 + 4 - 1 + 9} \right|}}{3} = 6\]. Do đó câu này sai.

c) Đường thẳng qua \[I\left( {3; - 2;1} \right)\] vuông góc với \[\left( P \right)\] có phương trình tham số là\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

Do đó câu này đúng.

d) Tọa độ tâm \[K\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 2 - 2t\\z = 1 - t\\2x - 2y - z + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 1;2;3} \right)\].

Bán kính: \[r = \sqrt {{R^2} - I{K^2}}  = \sqrt {100 - 36}  = 8\]. Do đó câu này đúng.

a) Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;0;2} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt {10} \]. Do đó câu này sai.

b) Phương trình mặt cầu tâm B và có bán kính \[R = 5\] là \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 14} \right)^2} = 25\). Do đó câu này sai.

c) Mặt cầu tâm A và qua B có bán kính là \(AB = \sqrt {{0^2} + {0^2} + {{18}^2}}  = 18\)

Phương trình mặt cầu tâm A và qua B là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 324\). Do đó câu này đúng.

d) Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {1;0;2} \right)\] và bán kính \[R = \sqrt {10} \].

Ta có \[IA = 2\sqrt {10}  = 2R\] nên tồn tại điểm \[C\] cố định sao cho \[MA = 2MC;\forall M \in \left( S \right){\rm{  }}\left( 1 \right)\]

Thật vậy, gọi \[C\left( {a;b;c} \right)\]. Khi đó, với mọi điểm \[M\left( {x;y;z} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 2x + 4z + 5\], ta có: \[M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 8{\rm{z}} + 21\]

\[ = 2{\rm{x}} + 4{\rm{z}} + 5 - 2{\rm{x}} - 4y + 8{\rm{x}} + 21 =  - 4y + 12{\rm{z}} + 26\]

\[M{C^2} = {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2a{\rm{x}} - 2by - 2c{\rm{z}} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

\[ = 2{\rm{x}} + 4{\rm{z}} + 5 - 2a{\rm{x}} - 2by - 2c{\rm{x}} + {a^2} + {b^2} + {c^2} = \left( {2 - 2a} \right)x - 2by + \left( {4 - 2c} \right){\rm{z}} +  + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 5\]

Nên \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{C^2};\forall M \in \left( S \right)\]

\[ \Leftrightarrow  - 4y + 12{\rm{z}} + 26 = 4\left[ {\left( {2 - 2{\rm{a}}} \right)x - 2by + \left( {4 - 2c} \right)z + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 5} \right];\forall x;y;z \in \mathbb{R}\]

 \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {2 - 2{\rm{a}}} \right) = 0}\\{4\left( { - 2b} \right) =  - 4}\\{4\left( {4 - 2c} \right) = 12}\\{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 5} \right) = 26}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = \frac{1}{2}}\\{c = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Lúc này, \(IC = \frac{{\sqrt {10} }}{2} < R < IB = 2\sqrt {37} \)  nên \(C\) nằm trong \(\left( S \right)\) còn \(B\) nằm ngoài \(\left( S \right)\) và

\(MA + 2MB = 2MC + 2MB = 2\left( {MC + MB} \right) \ge 2BC = 3\sqrt {82} \).

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow M\) là giao điểm của đoạn \(BC\) và mặt cầu \(\left( S \right)\).

Vậy \(\min \left( {MA + 2MB} \right) = 3\sqrt {82} \). Do đó câu này đúng.

a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;3;3} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 3 \). Do đó câu này đúng.

b) Phương trình mặt cầu tâm \(B\) và có bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\). Do đó câu này sai.

c) Mặt cầu đường kính \[AB\] có tâm là trung điểm \[M\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\] của đoạn thẳng \[AB\] và bán kính là \[R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{( - 3 - 2)}^2} + {{(3 + 2)}^2} + {{( - 1 - 4)}^2}} }}{2} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\]

Phương trình mặt cầu là \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{75}}{4}\). Do đó câu này sai.

d) Gọi \(E\) là điểm thỏa mãn: \[2\overrightarrow {E{\rm{A}}}  + 3\overrightarrow {EB}  = \overrightarrow 0 \]. Suy ra \(E\left( { - 1;1;1} \right)\).

Xét \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {E{\rm{A}}} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {EB} } \right)^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2}\).

\(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(ME\)đạt giá trị nhỏ nhất.

\(IE = 2\sqrt 3  > R\) suy ra điểm \(E\) nằm ngoài mặt cầu nên \(ME\) nhỏ nhất bằng \(IE - R = 2\sqrt 3  - \sqrt 3  = \sqrt 3 \)

Vậy \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 5M{E^2} + 2E{A^2} + 3E{B^2} = 105\). Do đó câu này đúng.

a) Tập hợp điểm\[M(x;y;z)\] thỏa mãn phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 0\] chỉ gồm 1 điểm duy nhất \[O(0;0;0)\] nên đây không phải PT mặt cầu. Do đó câu này đúng.

b) Phương trình \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4\] là phương trình mặt cầu tâm \[I(1;0;2)\] bán kính \[R = 2\].   

Do đó câu này đúng.

c) Từ phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 2z + 17 = 0\] ta có: \[a = 1,b = 3,c =  - 1,d = 17\] nên

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 9 + 1 - 17 =  - 6 < 0\]. Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu. Do đó câu này sai.

d) Phương trình \[2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 12x + 8y - 4z - 40 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z - 20 = 0\] khi đó \[a = 3,b =  - 2,c = 1,d =  - 20\] nên \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 9 + 4 + 1 + 20 = 34 > 0\]. Đây là phương trình mặt cầu. Do đó câu này sai.

a) Mặt cầu tâm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) bán kính \(R = 5\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Do đó câu này sai.

b) Ta có: \(M{N^2} = {\left( { - 1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( { - 1 - 3} \right)^2} = 20 < 25 = {R^2}\) nên Điểm \(N\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\) nằm trong cầu tâm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\) bán kính \(R = 5\). Do đó câu này đúng.

c) Mặt cầu đường kính \(MN\) có tâm \(I\left( {0;\,2;\,1} \right)\), bán kính \(R = IM = \sqrt {1{}^2 + {0^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \) nên có phương trình: \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\). Do đó câu này đúng.

d) Vùng phủ sóng của thiết bị thuộc hình cầu tâm \(M\left( {1;\,2;\,3} \right)\), bán kính \(R = 3\) có phương trình:

 \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

Ta có: \(M{N^2} = {\left( { - 1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} + {\left( { - 1 - 3} \right)^2} = 20 > 9 = {R^2}\) nên \(N\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị. Do đó câu này sai.

Theo giả thiết: \(MA = 13\), \(MB = 10\), \(MC = 7\), \(MD = 17\) nên điểm\(M\) thuộc các mặt cầu tâm \(A\left( {2;\,6;\,4} \right)\) \(B\left( {1;\, - 6;\, - 4} \right)\), \(C\left( {1; - 4;\,1} \right)\), \(D\left( { - 8;\,2;\,4} \right)\) với các bán kính lần lượt là \(13,10,7,17\). Ký hiệu là:

\({S_1}\left( {A;13} \right);{S_2}\left( {B;10} \right);{S_3}\left( {C;7} \right);{S_4}\left( {D;17} \right)\)

a) Mặt cầu tâm \(A\left( {2;\,6;\,4} \right)\), bán kính \(MA = 13\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 169\). Do đó câu này đúng

Theo giả thiết: \(MA = 13\), \(MB = 10\), \(MC = 7\), \(MD = 17\) nên điểm\(M\) thuộc các mặt cầu tâm \(A\left( {2;\,6;\,4} \right)\) \(B\left( {1;\, - 6;\, - 4} \right)\), \(C\left( {1; - 4;\,1} \right)\), \(D\left( { - 8;\,2;\,4} \right)\) với các bán kính lần lượt là \(13,10,7,17\). Ký hiệu là:

\({S_1}\left( {A;13} \right);{S_2}\left( {B;10} \right);{S_3}\left( {C;7} \right);{S_4}\left( {D;17} \right)\)

Theo giả thiết: \(MA = 13\), \(MB = 10\), \(MC = 7\), \(MD = 17\) nên điểm\(M\) thuộc các mặt cầu tâm \(A\left( {2;\,6;\,4} \right)\) \(B\left( {1;\, - 6;\, - 4} \right)\), \(C\left( {1; - 4;\,1} \right)\), \(D\left( { - 8;\,2;\,4} \right)\) với các bán kính lần lượt là \(13,10,7,17\). Ký hiệu là:

\({S_1}\left( {A;13} \right);{S_2}\left( {B;10} \right);{S_3}\left( {C;7} \right);{S_4}\left( {D;17} \right)\)

Theo giả thiết: \(MA = 13\), \(MB = 10\), \(MC = 7\), \(MD = 17\) nên điểm\(M\) thuộc các mặt cầu tâm \(A\left( {2;\,6;\,4} \right)\) \(B\left( {1;\, - 6;\, - 4} \right)\), \(C\left( {1; - 4;\,1} \right)\), \(D\left( { - 8;\,2;\,4} \right)\) với các bán kính lần lượt là \(13,10,7,17\). Ký hiệu là:

\({S_1}\left( {A;13} \right);{S_2}\left( {B;10} \right);{S_3}\left( {C;7} \right);{S_4}\left( {D;17} \right)\)

Tọa độ tâm mặt cầu là\[I\left( { - 3;0;2} \right)\] và kán kính \[R = 3\]

\[IM = 5 > R = 4\] suy ra điểm \[M\left( { - 1;0;3} \right)\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\),

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) là \(R = \sqrt {16}  = 4\).

Tọa độ tâm mặt cầu là\[I\left( { - 3;0;2} \right)\] và kán kính \[R = 3\]

\[IM = 5 > R = 4\] suy ra điểm \[M\left( { - 1;0;3} \right)\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\),

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) là \(R = \sqrt {16}  = 4\).

Tọa độ tâm mặt cầu là\[I\left( { - 3;0;2} \right)\] và kán kính \[R = 3\]

\[IM = 5 > R = 4\] suy ra điểm \[M\left( { - 1;0;3} \right)\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\),

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) là \(R = \sqrt {16}  = 4\).

Tọa độ tâm mặt cầu là\[I\left( { - 3;0;2} \right)\] và kán kính \[R = 3\]

\[IM = 5 > R = 4\] suy ra điểm \[M\left( { - 1;0;3} \right)\] nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\),

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\) là \(R = \sqrt {16}  = 4\).

Thay điểm \[M\left( {2;0;2} \right)\] vào mặt cầu : \[{2^2} + {2^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 8 \Rightarrow M\left( {2;0;2} \right) \in \left( S \right)\]

Phương trình mặt cầu tổng quát: \[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow I\left( {0; - 2;2} \right),R = 2\sqrt 2 \].

Thay điểm \[M\left( {2;0;2} \right)\] vào mặt cầu : \[{2^2} + {2^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 8 \Rightarrow M\left( {2;0;2} \right) \in \left( S \right)\]

Phương trình mặt cầu tổng quát: \[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow I\left( {0; - 2;2} \right),R = 2\sqrt 2 \].

Thay điểm \[M\left( {2;0;2} \right)\] vào mặt cầu : \[{2^2} + {2^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 8 \Rightarrow M\left( {2;0;2} \right) \in \left( S \right)\]

Phương trình mặt cầu tổng quát: \[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow I\left( {0; - 2;2} \right),R = 2\sqrt 2 \].

Thay điểm \[M\left( {2;0;2} \right)\] vào mặt cầu : \[{2^2} + {2^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 8 \Rightarrow M\left( {2;0;2} \right) \in \left( S \right)\]

Phương trình mặt cầu tổng quát: \[{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow I\left( {0; - 2;2} \right),R = 2\sqrt 2 \].

a) Chọn đúng

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 1\\c =  - 2\\d =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_2}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{4}\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_3}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - \frac{3}{2}\\d = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)         

\(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\\d = 10\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\)

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 1\\c =  - 2\\d =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_2}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{4}\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_3}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - \frac{3}{2}\\d = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)         

\(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\\d = 10\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\)

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 1\\c =  - 2\\d =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_2}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{4}\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_3}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - \frac{3}{2}\\d = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)         

\(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\\d = 10\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\)

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}\\b = 1\\c =  - 2\\d =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_2}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{1}{4}\\c = \frac{1}{4}\\d = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\(\left( {{S_3}} \right):2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 2\\c =  - \frac{3}{2}\\d = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)         

\(\left( {{S_4}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 2\\d = 10\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

(1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

(2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là :

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là :

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là :

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là :

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

      Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

\(\left( {{S_3}} \right):{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)

\(\left( {{S_4}} \right):{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 3 = 0.\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

      Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

\(\left( {{S_3}} \right):{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)

\(\left( {{S_4}} \right):{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 3 = 0.\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

      Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

\(\left( {{S_3}} \right):{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)

\(\left( {{S_4}} \right):{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 3 = 0.\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có hai dạng là:

      (1) \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\);

      (2) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

      Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

\(\left( {{S_3}} \right):{\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( {2z + 1} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)

\(\left( {{S_4}} \right):{\left( {x + y} \right)^2} = 2xy - {z^2} + 3 - 6x \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 3 = 0.\)

Ta có điều kiện xác định mặt cầu là \({a^2} + {b^2} > {c^2}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} + {m^2} - 5{m^2} - 9 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m > 1\end{array} \right.\).

Ta có điều kiện xác định mặt cầu là \({a^2} + {b^2} > {c^2}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} + {m^2} - 5{m^2} - 9 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m > 1\end{array} \right.\).

Ta có điều kiện xác định mặt cầu là \({a^2} + {b^2} > {c^2}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} + {m^2} - 5{m^2} - 9 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m > 1\end{array} \right.\).

Ta có điều kiện xác định mặt cầu là \({a^2} + {b^2} > {c^2}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} + {m^2} - 5{m^2} - 9 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m > 1\end{array} \right.\).

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\):  \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm  \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính bằng \(2\) là: \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\):  \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm  \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính bằng \(2\) là: \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\):  \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm  \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính bằng \(2\) là: \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\):  \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Vậy phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm  \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính bằng \(2\) là: \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\).

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là

\({\left( {x - {x_I}} \right)^2} + {\left( {y - {y_I}} \right)^2} + {\left( {z - {z_I}} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là

\({\left( {x - {x_I}} \right)^2} + {\left( {y - {y_I}} \right)^2} + {\left( {z - {z_I}} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là

\({\left( {x - {x_I}} \right)^2} + {\left( {y - {y_I}} \right)^2} + {\left( {z - {z_I}} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

Ta có \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

vậy phương trình mặt cầu tâm \(I\) và đi qua điểm \(A\) có phương trình là

\({\left( {x - {x_I}} \right)^2} + {\left( {y - {y_I}} \right)^2} + {\left( {z - {z_I}} \right)^2} = {R^2} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

Tâm \(I\) mặt cầu là trung điểm của \(AB\)

\(I\left( {1;1; - 2} \right)\) bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4}  = \frac{1}{2}\sqrt {24} \)

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6\)

Tâm \(I\) mặt cầu là trung điểm của \(AB\)

\(I\left( {1;1; - 2} \right)\) bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4}  = \frac{1}{2}\sqrt {24} \)

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6\)

Tâm \(I\) mặt cầu là trung điểm của \(AB\)

\(I\left( {1;1; - 2} \right)\) bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4}  = \frac{1}{2}\sqrt {24} \)

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6\)

Tâm \(I\) mặt cầu là trung điểm của \(AB\)

\(I\left( {1;1; - 2} \right)\) bán kính \(R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4}  = \frac{1}{2}\sqrt {24} \)

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6\)

Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm \[A,B,C,D\]. Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b =  - 3\\a - c =  - 1\\a - 2b - 3c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\]. Bán kính: \[R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \].

Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm \[A,B,C,D\]. Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b =  - 3\\a - c =  - 1\\a - 2b - 3c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\]. Bán kính: \[R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \].

Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm \[A,B,C,D\]. Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b =  - 3\\a - c =  - 1\\a - 2b - 3c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\]. Bán kính: \[R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \].

Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm \[A,B,C,D\]. Khi đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b =  - 3\\a - c =  - 1\\a - 2b - 3c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1;1} \right)\]. Bán kính: \[R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \].

Gọi tâm \[I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\] và phương trình mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Do \[I \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow c = 0 \Leftrightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( S \right)\\B \in \left( S \right)\\C \in \left( S \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b - d = 21\\2a - 6b - d = 11\\4a + 4b - d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\\d =  - 21\end{array} \right.\].\[ \Rightarrow R = \sqrt {26} \]. Vậy \[I\left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\].\[R = \sqrt {26} \]

Gọi tâm \[I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\] và phương trình mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Do \[I \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow c = 0 \Leftrightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( S \right)\\B \in \left( S \right)\\C \in \left( S \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b - d = 21\\2a - 6b - d = 11\\4a + 4b - d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\\d =  - 21\end{array} \right.\].\[ \Rightarrow R = \sqrt {26} \]. Vậy \[I\left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\].\[R = \sqrt {26} \]

Gọi tâm \[I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\] và phương trình mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Do \[I \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow c = 0 \Leftrightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( S \right)\\B \in \left( S \right)\\C \in \left( S \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b - d = 21\\2a - 6b - d = 11\\4a + 4b - d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\\d =  - 21\end{array} \right.\].\[ \Rightarrow R = \sqrt {26} \]. Vậy \[I\left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\].\[R = \sqrt {26} \]

Gọi tâm \[I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\] và phương trình mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]

Do \[I \in \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow c = 0 \Leftrightarrow \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by + d = 0\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( S \right)\\B \in \left( S \right)\\C \in \left( S \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b - d = 21\\2a - 6b - d = 11\\4a + 4b - d = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\\d =  - 21\end{array} \right.\].\[ \Rightarrow R = \sqrt {26} \]. Vậy \[I\left( { - 2\,;\,1\,;\,0} \right)\].\[R = \sqrt {26} \]

Gọi \[I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)\].

Do \[\left( S \right)\] đi qua hai điểm \[A,\,B\] nên \[IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5}  = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \]\[ \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\]

\[ \Rightarrow \left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\], bán kính \[R = IA = \sqrt {14} \].

\[ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2 = 0.\]

Gọi \[I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)\].

Do \[\left( S \right)\] đi qua hai điểm \[A,\,B\] nên \[IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5}  = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \]\[ \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\]

\[ \Rightarrow \left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\], bán kính \[R = IA = \sqrt {14} \].

\[ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2 = 0.\]

Gọi \[I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)\].

Do \[\left( S \right)\] đi qua hai điểm \[A,\,B\] nên \[IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5}  = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \]\[ \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\]

\[ \Rightarrow \left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\], bán kính \[R = IA = \sqrt {14} \].

\[ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2 = 0.\]

Gọi \[I\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right) \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {1 - a\,;\,1\,;\,2} \right);\,\overrightarrow {IB} \left( {3 - a\,;\,2\,; - 3} \right)\].

Do \[\left( S \right)\] đi qua hai điểm \[A,\,B\] nên \[IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5}  = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \]\[ \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4\]

\[ \Rightarrow \left( S \right)\] có tâm \[I\left( {4\,;\,0\,;\,0} \right)\], bán kính \[R = IA = \sqrt {14} \].

\[ \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2 = 0.\]

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\)tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

\(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = R\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\)đi qua \(A\left( {1; - 1;4} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = R\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {R^2}\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {R^2}\\a = c =  - b = R > 0\,\,\,\,(do\left( 1 \right))\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - a + 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} - 12a + 18 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = 3\\b =  - 3\\R = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\)tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

\(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = R\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\)đi qua \(A\left( {1; - 1;4} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = R\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {R^2}\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {R^2}\\a = c =  - b = R > 0\,\,\,\,(do\left( 1 \right))\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - a + 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} - 12a + 18 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = 3\\b =  - 3\\R = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\)tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

\(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = R\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\)đi qua \(A\left( {1; - 1;4} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = R\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {R^2}\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {R^2}\\a = c =  - b = R > 0\,\,\,\,(do\left( 1 \right))\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - a + 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} - 12a + 18 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = 3\\b =  - 3\\R = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\)tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ

\(d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right)\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = R\) \(\left( 1 \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\)đi qua \(A\left( {1; - 1;4} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA = R\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {R^2}\\a > 0;c > 0;b < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {R^2}\\a = c =  - b = R > 0\,\,\,\,(do\left( 1 \right))\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( { - a + 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} - 12a + 18 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 = 0\\a = c =  - b = R > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = 3\\b =  - 3\\R = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).