10 bài tập Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn có lời giải
10 câu hỏi
(x – 12)2 + (y − 20)2 + (z – 50)2 = 122;
(x + 12)2 + (y + 20)2 + (z + 50)2 = 122;
(x − 12)2 + (y − 20)2 + (z − 50)2 = 202;
(x − 12)2 + (y − 20)2 + (z − 50)2 = 502.
Đáp án đúng là: D
Do quả cầu nằm trên mặt sàn nha đa năng nên mặt ngoài của quả cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.
Ta có d(I, (Oxy)) = R = 50.
Vậy mặt ngoài của quả cầu (S) có phương trình là
(x – 12)2 + (y – 20)2 + (z – 50)2 = 502.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(1; 5; 5) như hình vẽ. Ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 5 km.
Một người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(1; 5; 5) đến vị trí A(7; 14; 11). Điểm nào sau đây mà người đi biển đi qua và vẫn thuộc vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.
M(3; 8; 7);
N(0; 4; 8);
P(7; 3; 0);
(7; 11; 3).
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trong không gian là: (x – 1)2 + (y – 5)2 + (z – 5)2 = 25.
Ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;3;2} \right),\overrightarrow {IA} = \left( {6;9;6} \right) = 3\overrightarrow {IM} \)
Và \(IM = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {8 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {17} < 5\) nên điểm M nằm trong mặt cầu.
Vậy người đi biển đi qua điểm M mà vẫn thuộc vùng phủ sáng.
>
M(1; 0; 2);
N(2; −1; 1);
P(1; 1; \(\sqrt 2 \));
(3; 0; 0).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy quỹ đạo của Rađa là một khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S) có tâm là vị trí Rađa có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 2.
Do đó ta có phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 4.
Vật thể bắt đầu bị phát hiện khi nó nằm trong hoặc trên mặt cầu (S).
Trong các đáp án trên thì ta thấy đáp án C thỏa mãn phương trình mặt cầu (S) các đáp án còn lại đều nằm ngoài (S).
A(−4; 0; 2);
B(−5; −2; 5);
C(−6; 2; 2);
D(0; −1; 4).
Đáp án đúng là: B
Ta có IA = 3 > 2, \(IB = \sqrt 3 < 2,IC = \sqrt {13} > 2,ID = 6 > 2\).>
Vậy người đứng tại điểm B nằm trong mặt cầu sẽ sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng điện thoại di động.
Tâm I(100; 300; 2000), R = 100;
Tâm I(−100; −300; −2000), R = 10;
Tâm I(100; 300; 2000), R = 10;
Tâm I(−100; −300; −2000), R = 100.
Đáp án đúng là: C
Tâm của mặt cầu là I(100; 300; 2000),
Bán kính \(R = \sqrt {{{100}^2} + {{300}^2} + {{2000}^2} - 4099900} = 10\).
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z – 3)2 = 25;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25;
(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25000000;
(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25000000.
Đáp án đúng là: A
Tâm mặt cầu có tọa độ I(−1; 2; 3).
Bán kính mặt cầu R = 5000 m = 5 km.
Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng của trạm phát sóng là
(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 25.
\(I\left( {\frac{{453}}{{262}};\frac{{117}}{{262}};\frac{{1047}}{{262}}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{{453}}{{262}}; - \frac{{117}}{{262}}; - \frac{{1047}}{{262}}} \right)\);
\(I\left( {\frac{{453}}{{131}};\frac{{117}}{{131}};\frac{{1047}}{{131}}} \right)\);
\(I\left( { - \frac{{453}}{{131}}; - \frac{{117}}{{131}}; - \frac{{1047}}{{131}}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Để 4 thiết bị thu tín hiệu cùng một thời điểm thì điểm phát tín hiệu phải cách đều 4 điểm A, B, C, D.
Vậy điểm phát tín hiệu sẽ đặt tại tâm I của mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
Giả sử phương trình mặt cầu đó là x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2A + 3B + 5C + D = - 38\\2B + 8C + D = - 68\\A - 3B + 7C + D = - 59\\4A + B + D = - 17\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - \frac{{453}}{{131}}\\B = - \frac{{117}}{{131}}\\C = - \frac{{1047}}{{131}}\\D = - \frac{{298}}{{131}}\end{array} \right.\) tâm \(I\left( {\frac{{453}}{{262}};\frac{{117}}{{262}};\frac{{1047}}{{262}}} \right)\).
A(1; 0; 1);
B(1; 1; −1);
C(−2; 0; 1);
(1; −2; −1).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow {IB} = \left( {0;1;0} \right)\) IB = 1 < R nên điểm B(1; 1; −1) nằm bên trong mặt cầu trên.
Suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.
>
x2 + y2 + z2 = 4;
x2 + y2 + z2 = 16;
x2 + y2 + z2 = 2;
x2 + y2 + z2 = 5.
Đáp án đúng là: B
Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị tinh là 18900 + 6300 = 25200 tương ứng bằng 4 đơn vị.
Ta thấy quỹ đạo chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất là một mặt cầu có tâm là tâm Trái Đất có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 4.
Do đó phương trình mặt cầu là x2 + y2 + z2 = 16.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 10 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
9;
3;
6;
12.
Đáp án đúng là: C
Ta có x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z + 5 = 0 (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 32.
Khoảng cách xa nhất gữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 6 km.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
