Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 6)

Ta có $u_n=u_1+(n-1)d=-2017+(n-1)\cdot 3=3n-2020$.

Ta có $u_n>0\iff 3n-2020>0\iff n>\frac{2020}{3}\approx 673,33333$.

Giả sử $w=x+yi,(x,y\in ℝ)$. Khi đó $w=i\cdot \overline{z}+12-i\iff x+yi=i\cdot \overline{z}+12-i$

$\iff \overline{\text{z}}=\frac{\text{x}-12+(\text{y}+1)\text{i}}{\text{i}}\iff \overline{\text{z}}=\text{y}+1+(12-\text{x})\text{i}\Rightarrow \text{z}=\text{y}+1-(12-\text{x})\text{i}$

Ta có: $|z-2+3i|=5\iff |y+1-(12-x)i-2+3i|=5\iff |y-1+(x-9\left)i\right|=5$

$\iff \sqrt{{(y-1)}^2+{(x-9)}^2}=5\iff {(x-9)}^2+{(y-1)}^2=25$.

Ta có A, B nằm cùng phía so với Ox. Điểm A;(1;-2) đối xứng với điểm A qua Ox.

Ta có: $\text{PA}+\text{PB}={\text{PA}}^{\text{'}}+\text{PB},\overrightarrow{{\text{PA}}^{\text{'}}}=\left(\frac{\text{b}-\text{a}}{\text{b}};-2\right),\overrightarrow{\text{PB}}=\left(\frac{3 \text{b}-\text{a}}{\text{b}};4\right)$.

Do đó, để $\text{PA}+\text{PB}$ nhỏ nhất thì ba điểm P, A', B thẳng hàng $\Rightarrow \overrightarrow{{\text{PA}}^{\text{'}}},\overrightarrow{\text{PB}}$ cùng phương.

Đường thẳng $\text{d}:\frac{\text{x}}{2}=\frac{\text{y}-1}{1}=\frac{\text{z}+1}{-1}\Rightarrow \mathrm{VTCP}\overrightarrow{{\text{a}}_1}=(2;1;-1)$.

Đường thẳng ${\text{d}}^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}\text{x}=1+\text{t}\\ \text{y}=-1-2\text{t}\\ \text{z}=2+\text{t}\end{array}\Rightarrow \mathrm{VTCP}\overrightarrow{{\text{a}}_2}=(1;-2;1)\right.$.

Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của (P).

Mặt phẳng (P) song song với d và d' nên ta có $\overrightarrow{\text{n}}=\left[\overrightarrow{{\text{a}}_1};\overrightarrow{{\text{a}}_2}\right]=(-1;-3;-5)$.

Vậy mặt phẳng (P)  đi qua A(0;1;2) có VTPT $\overrightarrow{\text{n}}=(-1;-3;-5)$ có phương trình là

Gọi $\text{O}=\text{AC}\cap \text{BD}$ và $\text{I}={\text{AC}}^{\text{'}}\cap \text{SO}$; Kéo dài BI cắt SD tại D'

Khi đó $\left(AB{C}^{\text{'}}\right)\cap \left(ABCD\right)=AB;\left(AB{C}^{\text{'}}\right)\cap \left(\text{SAB}\right)=\text{AB}$;

$\left({\text{ABC}}^{\text{'}}\right)\cap \left(\text{SBC}\right)={\text{BC}}^{\text{'}}$ và $\left(AB{C}^{\text{'}}\right)\cap \left(SAD\right)=A{D}^{\text{'}};\left(AB{C}^{\text{'}}\right)\cap \left(SBD\right)=C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$

Gọi M(x;y;z). Ta có $\frac{MA}{MB}=\frac{2}{3}\iff 3MA=2MB\iff 9M{A}^2=4M^2$ 

$$\begin{gathered} \iff 9\left[{(\text{x}+2)}^2+{(\text{y}-2)}^2+{(\text{z}+2)}^2\right]=4\left[{(\text{x}-3)}^2+{(\text{y}+3)}^2+{(\text{z}-3)}^2\right] \\ \iff x^2+y^2+z^2+12x-12y+12z=0\iff {(x+6)}^2+{(y-6)}^2+{(z+6)}^2=108 \end{gathered}$$

Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I(-6;6;-6) và bán kính $\text{R}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$.

Ta có d cắt mặt phẳng (Oyz) tại $\text{M}\Rightarrow \text{M}\left(0;\frac{5}{2};-\frac{7}{2}\right)$, chọn $\text{A}(-3;1;1)\in \text{d}$ và gọi B là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng $\left(\text{Oyz}\right)\Rightarrow \text{B}(0;1;1)$.

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Ta có: ${\text{g}}^{\text{'}}\left(\text{x}\right)=2{\text{xff}}^{\text{'}}\left({\text{x}}^2-2\right);{\text{f}}^{\text{'}}\left({\text{x}}^2-2\right)>0\iff \left[\begin{array}{l}{\text{x}}^2-2>1\\ {\text{x}}^2-2<-1\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}\text{x}<-\sqrt{3};\text{x}>\sqrt{3}\\ -1<\text{x}<1\end{array}\right.\right.$

Bảng biến thiên:

Giả sử điểm $A(m;0;0),B(0;n;0)$ với m > 0, n > 0.

Do đó phương trình mặt phẳng $\left(\text{P}\right):\frac{\text{x}}{\text{m}}+\frac{\text{y}}{\text{n}}+\frac{\text{z}}{3}-1=0$.

Theo giả thiết G(a;b;c) là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow \text{m}=3\text{a},\text{n}=3 \text{b},\text{c}=1$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;8;0) nên $\frac{1}{ \text{m}}+\frac{8}{\text{n}}-1=0\Rightarrow \text{m}=\frac{\text{n}}{\text{n}-8}$, với n > 8.

Vì OG nhỏ nhất nên $\text{P}={\text{a}}^2+{\text{b}}^2+{\text{c}}^2=\frac{{\left(\frac{\text{n}}{\text{n}-8}\right)}^2}{9}+\frac{{\text{n}}^2}{9}+1$ đạt GTNN.

Đặt $f\left(n\right)=\frac{{\left(\frac{n}{n-8}\right)}^2}{9}+\frac{n^2}{9}+1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(n\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{-2n}{n-8}\cdot \frac{8}{{(n-8)}^2}+2n\right)$.

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{2x+3}{x+2}=-2x+m$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ (x+2)(2x-m)+2x+3=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ 2x^2-(m-6)x+3-2m=0\end{array}\right.\right.$

Đường thẳng $\text{d}:\text{y}=-2\text{x}+\text{m}$ cắt (C) tại hai điểm phân biệt

<=>  phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác $-2\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta ={(m-6)}^2-8(3-2m)>0\\ 2\cdot {(-2)}^2-(m-6)\cdot (-2)+3-2m\ne 0\end{array}\right.$.

Khi đó $x_A,x_B$ là 2 nghiệm phân biệt của $\left(1\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=\frac{m-6}{2}\\ x_A{x}_B=\frac{3-2m}{2}\end{array}\right.$.

Ta có ${\text{y}}^{\text{'}}=\frac{1}{{(\text{x}+2)}^2}\Rightarrow {\text{k}}_1=\frac{1}{{\left({\text{x}}_{\text{A}}+2\right)}^2},{\text{k}}_2=\frac{1}{{\left({\text{x}}_{\text{B}}+2\right)}^2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\text{k}}_1{\text{k}}_2=\frac{1}{{\left[2\left({\text{x}}_{\text{A}}+{\text{x}}_{\text{B}}\right)+{\text{x}}_{\text{A}}{\text{x}}_{\text{B}}+4\right]}^2}=\frac{1}{{\left( \text{m}-6+\frac{3-2 \text{m}}{2}+4\right)}^2}=4 \\ \Rightarrow \text{P}={\text{k}}_1^{2020}+{\text{k}}_2^{2020}\ge 2\sqrt{{\text{k}}_1^{2020}{\text{k}}_2^{2020}}=2\sqrt{4^{2020}} \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra $\iff {\text{k}}_1={\text{k}}_2>0\iff \frac{1}{{\left({\text{x}}_{\text{A}}+2\right)}^2}=\frac{1}{{\left({\text{x}}_{\text{B}}+2\right)}^2}\iff \left[\begin{array}{l}{\text{x}}_{\text{A}}+2={\text{x}}_{\text{B}}+2\\ {\text{x}}_{\text{A}}+2=-\left({\text{x}}_{\text{B}}+2\right)\end{array}\right.$.

Do $\left\{\begin{array}{l}A\ne B\\ A,B\in \left(C\right)\end{array}\Rightarrow x_A\ne x_B\right.$ nên $\iff x_A+x_B=-4$.

Đặt $\text{t}={\text{x}}^2,\text{t}\ge 0$, phương trình trở thành ${\text{t}}^2+(\text{m}-\sqrt{3})\text{t}+{\text{m}}^2-3=0$ 

Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi phương trình (*) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương. Khi $\text{t}=0\Rightarrow \text{x}=0\Rightarrow {\text{m}}^2-3=0\Rightarrow \text{m}=\pm \sqrt{3}$.

$\text{m}=\sqrt{3}\Rightarrow$ phương trình ${\text{x}}^4=0\Rightarrow \text{x}=0$ (không thỏa).

$\text{m}=-\sqrt{3}\Rightarrow$ phương trình ${\text{x}}^4-2\sqrt{3}{\text{x}}^2=0\iff {\text{x}}^2\left({\text{x}}^2-2\sqrt{3}\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\text{x}=0\\ \text{x}=\pm \sqrt{2\sqrt{3}}\end{array}\right.$ (thỏa).

Ta có ${\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2+f\left(x\right)f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=x^3-2x\iff {\left[f\left(x\right)\cdot f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}=x^3-2x\Rightarrow f\left(x\right)\cdot f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-x^2+C$

Vì $\text{f}\left(0\right)={\text{f}}^{\text{'}}\left(0\right)=2$ nên C = 4.

Do đó $f\left(x\right)\cdot f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-x^2+4\Rightarrow \frac{f^2\left(x\right)}{2}=\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{3}+4x+C_1$.