a) Ta có: \(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 2}}{3}\)

Suy ra \(x = \frac{{15 \cdot ( - 2)}}{3} =  - 10\)

Vậy \(x =  - 10\).

b) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{x}{7} = \frac{y}{5} = \frac{{x - y}}{{7 - 5}} = \frac{6}{2} = 3\)

Suy ra \(x = 3 \cdot 7 = 21;\,\,y = 3 \cdot 5 = 15.\)

Vậy \(x = 21;\,\,y = 15.\)

c) Ta có: \[\frac{x}{y} = \frac{6}{5}\] nên \[\frac{x}{6} = \frac{y}{5}\] .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{{2x}}{{12}} = \frac{{3y}}{{15}} = \frac{{2x - 3y}}{{12 - 15}} = \frac{{ - 33}}{{ - 3}} = 11\)

Khi đó \[x = 6 \cdot 11 = 66\]; \(y = 5 \cdot 11 = 55\).

Vậy \[x = 66\]; \(y = 55\).

Gọi số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh lần lượt là \(a\), \(b\), \(c\) (học sinh).

Điều kiện: \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\), \(a,b,c < 60.\)

Theo đề bài, tổng số học sinh là \(60\)học sinh nên có: \(a + b + c = 60\)       (\(1\))

Số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, Ngữ Văn và Tiếng Anh tỉ lệ thuận với \(11\), \(10\), \(9\)

Ta có: \(\frac{a}{{11}} = \frac{b}{{10}} = \frac{c}{9} = k\) nên \(a = 11k\,;{\rm{ }}b = 10k\,;{\rm{ }}c = 9k\)

Thay vào phương trình (\(1\)), ta được:

\(11k + 10k + 9k = 60\)

\(30k = 60\)

\(k = 2\)

Khi đó \(a = 11.2 = 22\) (thỏa mãn)

\(b = 10.2 = 20\) (thỏa mãn)

\(c = 9.2 = 18\) (thỏa mãn)

Vậy số học sinh tham gia câu lạc bộ Toán, Ngữ Văn và Tiếng Anh lần lượt là \(22;{\rm{ }}20;{\rm{ }}18\) học sinh.

a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Vì \(AH\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\)nên \(HB = HC\)

 Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\)có:

Cạnh \(AH\) chung; \(AB = AC\); \(HB = HC\)

 Do đó\(\Delta AHB = \Delta AHC\) (c. c. c)

b) Xét \(\Delta DBI\) và \(\Delta HBI\) có:

\(BD = BH\) (giả thiết)

\[\widehat {DBI} = \widehat {HBI} = 90^\circ \] (\(BI\) vuông góc với \(BC\) tại \(B\))

\(BI\) là cạnh chung

 Do đó \(\Delta DBI = \Delta HBI\) (c.g.c)

 Suy ra \(\widehat {BDI} = \widehat {BHI}\) (hai góc tương ứng)

\(\widehat {BID} = \widehat {BIH}\) (hai góc tương ứng)

\(DI = HI\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \[\Delta DBI\] và \[\Delta HBI\] có:

\[IB\] cạnh chung; \[\widehat {IBH} = \widehat {IBD} = 90^\circ \]; \[BH = BD\left( {gt} \right)\]

Do đó \(\Delta DBI = \Delta HBI\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\)

Ta có: \[DB = BH = HC\].

Mà \[\Delta IBD\] vuông tại \[B\] nên \[DI > DB\] suy ra \[DI > HC\].

c) Ta có \(\Delta DBI = \Delta HBI\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {IHB} = \widehat {IDB}\) (2 góc tương ứng)

Mà \[\widehat {AHI} + \widehat {IHD} = 90^\circ \]; \[\widehat {IDH} + \widehat {IAH} = 90^\circ \] nên \[\widehat {IAH} = \widehat {AHI}\].

Suy ra \[\Delta AHI\] cân tại \[I\] nên \[IA = IH\].

Mặt khác \(ID = IH\) (2 cạnh tương ứng) nên \[IA = ID\].

Suy ra \[HI\] là trung tuyến của \[\Delta AHD\].

Xét \[\Delta AHD\] có: \[AB,HI,DE\] là 3 đường trung tuyến.

Có \[G\] là giao của \(AB\) và \(HI\) hay \[G\] là trọng tâm \[\Delta AHD\].

 Suy ra \(D,\)\[G,\]\[E\] thẳng hàng.

a)  \[3\] thành phố \(A,B,C\) không cùng nằm trên một đường thẳng nên \(3\) điểm \(A,B,C\) tạo thành một tam giác \(\Delta ABC\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: \(BC > \left| {AB - AC} \right| = \left| {90 - 30} \right| = 60.\)

Khoảng cách từ thành phố \(C\) đến thành phố \(B\) là \(BC > 60\) km nên thành phố B nằm ngoài bán kính hoạt động của máy phát sóng đặt tại thành phố \(C\).

Vậy thành phố \(B\) không nhận được tín hiệu.

b)  Ta có \(b > 0,d > 0\)và \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\]\[ \Rightarrow ad < bc \Rightarrow ad - bc < 0\].

Xét \(\frac{a}{b} - \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{a\left( {{b^2} + {d^2}} \right) - b\left( {ab + cd} \right)}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{a{d^2} - bcd}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{d\left( {ad - bc} \right)}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}\)

Vì \(b,d > 0\), \(ad - bc < 0\) (cmt), \({b^2} + {d^2} > 0\) với mọi \(b,\,\,d > 0\).

Khi đó \(\frac{a}{b} - \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{d(ad - bc)}}{{b\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} < 0\) suy ra \(\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}}\).

Xét \(\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} - \frac{c}{d} = \frac{{\left( {ab + cd} \right)d - c\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{abd - {b^2}c}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} = \frac{{b\left( {ad - bc} \right)}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}\)

Vì \(b,d > 0\), \(ad - bc < 0\) (cmt), \({b^2} + {d^2} > 0\) với mọi \(b,\,\,d > 0\).

Khi đó \(\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} - \frac{c}{d} = \frac{{b\left( {ad - bc} \right)}}{{d\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}} < 0\) suy ra \(\frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}\).

Vậy \(\frac{a}{b} < \frac{{ab + cd}}{{{b^2} + {d^2}}} < \frac{c}{d}\) khi \(b > 0,d > 0\)và \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].