Vì \(ABCD.\,A'B'C'D'\) là hình hộp nên \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = - \overrightarrow {C'C} \].

Do đó, vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {AA'} \] là vectơ \[\overrightarrow {C'C} \]. Chọn D.

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {D'C'} \) có giá song song nên cùng phương. Chọn D.

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 2\\x > 4\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,2} \right)\) và \(\left( {4\,;\, + \infty } \right)\). Chọn A.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\) nên loại A, D.

Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y = - x\) nên loại B. Chọn C.

a) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hệ số \[a < 0\].

b) Sai. Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có điểm cực tiểu là \(\left( { - 1;\, - 1} \right)\).

c) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\).

d) Sai. Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( { - 1;\, - 1} \right)\) và \(\left( {1;\,3} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 1 \Rightarrow - a + b - c + d = - 1\\f\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow a + b + c + d = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + c = 2\,\,(1)\].

\[f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\] có hai nghiệm \[x = 1,{\rm{ }}x = - 1\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + c = 0\\3a - 2b + c = 0\end{array} \right.\,\,\,(2)\].

Từ (1) và (2), giải hệ phương trình ta suy ra \[a = - 1;\,b = 0;\,c = 3;\,d = 1\].

a) Đúng. Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(BDD'B'\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'} \).

b) Đúng. Ta có: \(A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}} = \sqrt 2 \); \(A'C = \sqrt {A'{{C'}^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {A'C} } \right| = A'C = \sqrt 3 \). Tương tự, \(\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt 3 \).

c) Đúng. Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} \).

Mà \(\overrightarrow {A'B'} = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {D'D} \). Do đó, \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D'D} \).

d) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {A'C} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

            \( = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AD} ^2} - \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DD'} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {DD'} \cdot \overrightarrow {AB} \)

            \( = 0 - {1^2} + {1^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {A'C} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).

Gọi \(M\left( {{x_0};\frac{{4{x_0} - 5}}{{{x_0} + 1}}} \right) \in \left( H \right)\), \({x_0} \ne - 1,{x_0} < 0\).

Khi đó, ta có: \({d_1} = d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right|\) và \({d_2} = d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}.\)

\( \Rightarrow {d_1} \cdot {d_2} = \left| {{x_0} + 1} \right| \cdot \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 9\).

Ta có: \({d_1} + {d_2} \ge 2\sqrt {{d_1}{d_2}} = 6\) nên \(\min \left( {{d_1} + {d_2}} \right) = 6\) khi \({d_1} = {d_2} \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 1} \right| = \frac{9}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 4\end{array} \right.\).

Do \({x_0} < 0\) nên chọn \({x_0} = - 4\), khi đó \(M\left( { - 4;7} \right) \Rightarrow S = 9.\)

Đáp án: 9.

Vì \(A\left( {0;5} \right) \in \left( C \right)\) nên \(b = - 5\). Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + ax - 5}}{{x - 1}}\).

Gọi \(A'\left( {{x_{A'}};{y_{A'}}} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\left( {0;5} \right)\) qua điểm \(I\left( {1;1} \right)\), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_{A'}} + 0}}{2} = 1\\\frac{{{y_{A'}} + 5}}{2} = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(A'\left( {2; - 3} \right)\).

Vì \(\left( C \right)\) nhận điểm \(I\left( {1;1} \right)\) làm tâm đối xứng nên \(A'\left( {2; - 3} \right) \in \left( C \right)\). Suy ra \(\frac{{ - {2^2} + 2a - 5}}{{2 - 1}} = - 3 \Leftrightarrow a = 3\).

Vậy \(T = \frac{a}{b} = \frac{3}{{ - 5}} = - 0,6\).

 Đáp án: \( - 0,6\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y' = 1 - \frac{9}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{9}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \notin \left[ { - 4;\, - 1} \right]\\x = - 2 \in \left[ { - 4;\, - 1} \right]\end{array} \right.\).

Ta thấy \(y\left( { - 4} \right) = - \frac{{29}}{5}\); \(y\left( { - 2} \right) = - 5\); \(y\left( { - 1} \right) = - \frac{{11}}{2}\). Vậy \(\mathop {\max y}\limits_{\left[ { - 4;\, - 1} \right]} = y\left( { - 2} \right) = - 5\).

 Đáp án: \( - 5\).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \)\( = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = - \vec a + \vec b + \frac{1}{2}\vec c\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}m = - 1\\n = 1\end{array}\\{p = \frac{1}{2}\,\,}\end{array}} \right.\) . Vậy \(26m + 3n - 4p = 26 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 1 - 4 \cdot \frac{1}{2} = - 25\).

 Đáp án: \( - 25\).

Ta có, thể tích hình trụ là \(V = \pi {r^2}h = 330{\rm{ (ml)}} = 330{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}) \Rightarrow h = \frac{{330}}{{\pi {r^2}}}{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích toàn phần của hộp đựng là: \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot h = 2\pi {r^2} + \frac{{660}}{r}\).

Ta có \(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{660}}{{{r^2}}};\,\,S'\left( r \right) = 0 \Rightarrow {r^3} = \frac{{165}}{\pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}}{\rm{ (cm)}}\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta kết luận \(r = \sqrt[3]{{\frac{{165}}{\pi }}}{\rm{ (cm)}}\) thì chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất.

Gọi \(x\,\,{\rm{(km/h)}}\) là vận tốc của tàu, \(x > 0\).

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: \(\frac{1}{x}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất để tàu chạy 1 km là: \(\frac{1}{x} \cdot 480 = \frac{{480}}{x}\) (nghìn đồng).

Hàm chi phí cho phần thứ hai là \(p = k{x^2}\) (nghìn đồng/ giờ).

Khi \(x = 10,p = 10 \Rightarrow k = 0,1\) nên \(p = 0,1{x^2}\) (nghìn đồng/ giờ).

Do đó chi phí phần thứ hai để tàu chạy 1 km là: \(\frac{1}{x} \cdot 0,1{x^2} = 0,1x\) (nghìn đồng).

Vậy tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy 1 km đường sông: \(f\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + 0,1x\) (nghìn đồng).

Thay \(x = v = 30\) (km/giờ) vào ta có \(f\left( {30} \right) = \frac{{480}}{{30}} + 0,1 \cdot 30 = 19\) (nghìn đồng).

Từ giả thiết, ta suy ra được:

\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b ;\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\); \(\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Giả sử lực tổng hợp là \(\overrightarrow m \), tức là \(\overrightarrow m = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \).

Khi đó, \({\overrightarrow m ^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 2\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c + 2\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a \)

                        \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} + 0 + 2\left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) + 2\left| {\overrightarrow c } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right)\)

                        \( = {10^2} + {10^2} + {20^2} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

                        \( = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}\).

Suy ra \({\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow m ^2} = 600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}\). Do đó, \(\left| {\overrightarrow m } \right| = \sqrt {600 + \frac{{800}}{{\sqrt 3 }}} \approx 32,6\).

Vậy độ lớn hợp lực của các lực \(\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \) bằng khoảng \(32,6\) N.